2024年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)13含解析新人教A版必修3_第1頁(yè)
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PAGE7-學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十三)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(建議用時(shí):45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.(2015·合肥檢測(cè))甲、乙兩人在一次射擊競(jìng)賽中各射靶5次,兩人成果的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖2-2-24所示,則()圖2-2-24A.甲的成果的平均數(shù)小于乙的成果的平均數(shù)B.甲的成果的中位數(shù)等于乙的成果的中位數(shù)C.甲的成果的方差小于乙的成果的方差D.甲的成果的極差小于乙的成果的極差【解析】由題意可知,甲的成果為4,5,6,7,8,乙的成果為5,5,5,6,9.所以甲、乙的成果的平均數(shù)均為6,A錯(cuò);甲、乙的成果的中位數(shù)分別為6,5,B錯(cuò);甲、乙的成果的方差分別為eq\f(1,5)×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,eq\f(1,5)×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=eq\f(12,5),C對(duì);甲、乙的成果的極差均為4,D錯(cuò).【答案】C2.十八屆三中全會(huì)指出要改革安排制度,要逐步變更收入不平衡的現(xiàn)象.已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn是上海一般職工n(n≥3,n∈N*)個(gè)人的年收入,設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方差為z,假如再加上世界首富的年收入xn+1,則這n+1個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說法正確的是()A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)肯定變大,方差可能不變B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變【解析】插入大的極端值,平均數(shù)增加,中位數(shù)可能不變,方差也因?yàn)閿?shù)據(jù)更加分散而變大.【答案】B3.如圖2-2-25是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)競(jìng)賽得分的莖葉圖,甲、乙兩人這幾場(chǎng)競(jìng)賽得分的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(-))甲,eq\o(x,\s\up6(-))乙;標(biāo)準(zhǔn)差分別是s甲,s乙,則有()圖2-2-25A.eq\o(x,\s\up6(-))甲>eq\o(x,\s\up6(-))乙,s甲>s乙 B.eq\o(x,\s\up6(-))甲>eq\o(x,\s\up6(-))乙,s甲<s乙C.eq\o(x,\s\up6(-))甲<eq\o(x,\s\up6(-))乙,s甲>s乙 D.eq\o(x,\s\up6(-))甲<eq\o(x,\s\up6(-))乙,s甲<s乙【解析】視察莖葉圖可大致比較出平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小關(guān)系,或者通過公式計(jì)算比較.【答案】C4.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(-))=2,方差是eq\f(1,3),那么另一組數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)和方差分別為()A.2,eq\f(1,3) B.2,1C.4,eq\f(1,3) D.4,3【解析】平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-))′=3eq\o(x,\s\up6(-))-2=3×2-2=4,方差為s′2=9s2=9×eq\f(1,3)=3.【答案】D5.為了解某校高三學(xué)生的視力狀況,隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力狀況,得到頻率分布直方圖,如圖2-2-26所示.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b,則a,b的值分別為()圖2-2-26A.0.27,78 B.0.27,83C.2.7,78 D.2.7,83【解析】由題意,4.5到4.6之間的頻率為0.09,4.6到4.7之間的頻率為0.27,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,∴d=-0.05.∴b=(0.27×4+6d)×100=78,a=0.27.【答案】A二、填空題6.一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列為:13,14,19,x,23,27,28,31,中位數(shù)為22,則x=________.【解析】由題意知eq\f(x+23,2)=22,則x=21.【答案】217.甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成果用莖葉圖表示如圖2-2-27所示,則平均分?jǐn)?shù)較高的是________,成果較為穩(wěn)定的是________.圖2-2-27【解析】eq\o(x,\s\up6(-))甲=70,eq\o(x,\s\up6(-))乙=68,seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,5)×(22+12+12+22)=2,seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,5)×(52+12+12+32)=7.2.【答案】甲甲8.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(2),則xy=________.【導(dǎo)學(xué)號(hào):28750040】【解析】由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50,∴x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=(eq\r(2))2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,∴xy=96.【答案】96三、解答題9.從高三抽出50名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽,由成果得到如圖2-2-28的頻率分布直方圖.圖2-2-28由于一些數(shù)據(jù)丟失,試?yán)妙l率分布直方圖求:(1)這50名學(xué)生成果的眾數(shù)與中位數(shù);(2)這50名學(xué)生的平均成果.【解】(1)由眾數(shù)的概念可知,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在直方圖中高度最高的小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求,所以眾數(shù)應(yīng)為75.由于中位數(shù)是全部數(shù)據(jù)中的中間值,故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等,即頻率也相等,從而就是小矩形的面積和相等.因此在頻率分布直方圖中將全部小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的成果即為所求.∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3,∴前三個(gè)小矩形面積的和為0.3.而第四個(gè)小矩形面積為0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5,∴中位數(shù)應(yīng)約位于第四個(gè)小矩形內(nèi).設(shè)其底邊為x,高為0.03,∴令0.03x=0.2得x≈6.7,故中位數(shù)應(yīng)約為70+6.7=76.7.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”,即全部數(shù)據(jù)的平均值,取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以每個(gè)小矩形的面積求和即可.∴平均成果為45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)=73.65.10.對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖,由莖葉圖你能獲得哪些信息?(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差,并推斷選誰參與競(jìng)賽比較合適?【解】(1)畫莖葉圖如下:中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù).從莖葉圖上看,甲、乙的得分狀況都是分布勻稱的,只是乙更好一些.乙發(fā)揮比較穩(wěn)定,總體狀況比甲好.(2)eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\f(27+38+30+37+35+31,6)=33.eq\o(x,\s\up6(-))乙=eq\f(33+29+38+34+28+36,6)=33.seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,6)[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,6)[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]≈12.67.甲的極差為11,乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知,選乙參與競(jìng)賽較合適.[實(shí)力提升]1.有一筆統(tǒng)計(jì)資料,共有11個(gè)數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,則這組數(shù)據(jù)的方差為()A.6 B.eq\r(6)C.66 D.6.5【解析】∵eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,11)(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=eq\f(1,11)(61+x)=6,∴x=5.方差為:s2=eq\f(42+22+22+12+12+02+12+22+32+52+12,11)=eq\f(66,11)=6.【答案】A2.將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分,去掉1個(gè)最低分,7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91,現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法分辨,在圖2-2-29中以x表示:eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(8,9))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(77,4010x91))圖2-2-29則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.eq\f(116,9) B.eq\f(36,7)C.36 D.eq\f(6\r(7),7)【解析】依據(jù)莖葉圖,去掉1個(gè)最低分87,1個(gè)最高分99,則eq\f(1,7)[87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91,∴x=4.∴s2=eq\f(1,7)[(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2]=eq\f(36,7).【答案】B3.若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56,平均數(shù)是eq\f(\r(2),2),則這組數(shù)據(jù)的方差是________,標(biāo)準(zhǔn)差是________.【解析】設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,40),平均數(shù)為x.則s2=eq\f(1,40)×[(x1-eq\o(x,\s\up6(-)))2+(x2-eq\o(x,\s\up6(-)))2+…+(x40-eq\o(x,\s\up6(-)))2]=eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)+xeq\o\al(2,2)+…+xeq\o\al(2,40)+40x2-2x(x1+x2+…+x40)]=eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56+40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)-2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))=eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56-40×\f(1,2)))=0.9.∴s=eq\r(0.9)=eq\r(\f(9,10))=eq\f(3\r(10),10).【答案】0.9eq\f(3\r(10),10)4.某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位:t)的分組及各組的頻數(shù)如下:[0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14;[3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5),2.(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖,并依據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn),若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi),當(dāng)?shù)卣f,85%以上的居民不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)說明對(duì)嗎?為什么?【解】(1)

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