河北省新樂市第一中學2025屆高三數(shù)學下學期沖刺試題含解析

PAGEPAGE21河北省新樂市第一中學2025屆高三數(shù)學下學期沖刺試題（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)一次不等式和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，求交集得到答案.【詳解】，，故.故選：D.【點睛】本題考查了交集運算，依據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學生的計算實力和應用實力.2.已知復數(shù)，則復數(shù)虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由復數(shù)的乘除法法則計算出復數(shù)，再由定義可得．詳解：，虛部為．故選C．點睛：本題考查的運算復數(shù)的概念，解題時依據(jù)復數(shù)運算法則化復數(shù)為簡潔形式，可得虛部與實部．3.綻開式中全部二項式系數(shù)之和是512，常數(shù)項為，則實數(shù)的值是（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二項式系數(shù)和得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】綻開式中全部二項式系數(shù)之和是，故，的綻開式的通項為：，取得到常數(shù)項為：，解得.故選：A.【點睛】本題考查了二項式系數(shù)和，依據(jù)常數(shù)項求參數(shù)，意在考查學生的計算實力和應用實力.4.設，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜c＜a【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性干脆求解．【詳解】∵0＜a=0.50.4＜0.50b=log0.40.3＞log0.4c=log80.4＜log81=0，∴a，b，c的大小關(guān)系是c＜a＜b．故選C．【點睛】利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面留意特別值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?.執(zhí)行如下圖所示程序框圖，若輸出的，則①處填入的條件可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循環(huán)得到：，不輸出；其次次循環(huán)得到：，不輸出；第三次循環(huán)得到：，不輸出；第四次循環(huán)得到：，退出循環(huán)；因此推斷框中的條件為：，故選B.6.已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由余弦定理得，進而可得，再由三角形的面積公式求得答案..【詳解】，，由可得，，故選：C.【點睛】本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，屬于簡潔題.7.已知圓，一個直徑為的小圓與是圓相內(nèi)切且在圓內(nèi)滾動，若在圓內(nèi)任取一點，則能被小圓覆蓋的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，找出小圓能覆蓋的區(qū)域為圓環(huán)，并計算出圓環(huán)的面積與圓的面積，利用幾何概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】如下圖所示：由題意可知，點所在的區(qū)域為小圓覆蓋的區(qū)域，即由圓和圓構(gòu)成的圓環(huán)，圓環(huán)的面積為，圓的面積為.因此，能被小圓覆蓋的概率為.故選：D.【點睛】本題考查幾何概型概率計算，解答的關(guān)鍵就是確定點運動的區(qū)域，考查計算實力，屬于基礎題.8.已知實數(shù)滿意，直線過定點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由直線可得，可知解得即直線過定點，作出可行域如圖，所以目標函數(shù)，目標函數(shù)可視為點A與可行域中的點連線的斜率，∴，故選D．9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.1B.2C.3D.6【答案】B【解析】【分析】畫出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由題意可知幾何體的形態(tài)如圖：，，，，BCDE是矩形，，所以幾何體的體積為：．故選B．【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，三視圖與幾何體的對應關(guān)系的推斷是解題的關(guān)鍵．10.已知焦點為的拋物線上有一點，以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則（）A.2或 B.2 C.1 D.1或【答案】B【解析】【分析】把點坐標代入拋物線方程得出的關(guān)系,利用拋物線的定義求出圓的半徑,利用垂徑定理列方程解出.【詳解】由點在拋物線上，則，得，，拋物線的準線方程為，則半徑，到軸的距離則，得，解得.故選：B.【點睛】本題考查了拋物線的定義和垂徑定理，學生的運算實力，屬于簡潔題.11.已知數(shù)列的首項，對隨意，都有，則當時，()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令得到，故數(shù)列是等比數(shù)列，，故答案為C．12.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿意，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，由圖像可確定，，，由此可將所求式子轉(zhuǎn)化為，依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求得取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：又設當時，單調(diào)遞增，又，的取值范圍是本題正確選項：【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應用、函數(shù)與方程的綜合運用等基礎學問，考查運算求解實力，數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，若，則__________．【答案】【解析】∵，，∴又，∴，解得，∴，∴．答案：14.__________．【答案】2【解析】分析】利用微積分基本定理及定積分的幾何意義計算可得；【詳解】解：，表示以為圓心，為半徑的圓在軸上方部分的面積，所以．故答案為：2【點睛】本題考查微積分基本定理以及定積分幾何意義的應用，屬于基礎題.15.已知函數(shù)，，，已知時，函數(shù)的全部零點和為21，則當時，函數(shù)的全部零點的和為__________．【答案】35【解析】【分析】確定三角函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)的對稱中心為，依據(jù)零點和得到有三個零點，畫出圖象得到答案.【詳解】時，，是函數(shù)的對稱中心，周期為，，則是函數(shù)的對稱中心，的全部零點和為21，故有三個零點，直線與三角函數(shù)相切，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：當時，，是函數(shù)的對稱中心，依據(jù)圖象知有五個零點，故全部零點和為.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)零點問題，意在考查學生的計算實力和應用實力，確定對稱中心畫出圖象是解題的關(guān)鍵.16.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》的輪割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不能割，則與圓合體而無所失矣”它體現(xiàn)了一種無限與有限轉(zhuǎn)化過程．比如在表達式“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，它可以通過方程求得，類似上述過程，則__________．【答案】2024【解析】【分析】依據(jù)題意得到方程，解得答案.【詳解】設，則，即，解得或（舍去）.故答案為：.【點睛】本題考查了類比推理，意在考查學生的計算實力和推理實力.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選做題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.在等比數(shù)列中,,且,又的等比中項為16.（1）求數(shù)列的通項公式:（2）設,數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得對隨意恒成立.若存在,求出正整數(shù)的最小值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）（2）3.【解析】試題分析：（1）由題意可得，又，故，由此可得等比數(shù)列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，從而，求和可得，所以可得，故存在滿意題意得，且的最小值為3．試題解析：（1）設等比數(shù)列的公比為，∵的等比中項為16．∴，又，，∴，∴．（2）由（1）得，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且．∴，∴，∴，∴，∴存在滿意題意得，且的最小值為3．點睛：用裂項法求和原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)覺被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項，消項后的剩余部分具有對稱性．18.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2024年在北京-張家口實行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高變成如右所示的莖葉圖（單位：）：若身高在以上（包括）定義為“高個子”，身高在以下（不包括）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔當“禮儀小姐”．（1）假如分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（2）若從全部“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔當“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學期望．【答案】（1）（2）見解析，1【解析】【分析】（1）先依據(jù)分層抽樣確定5人中“高個子”和“非高個子”人數(shù)，再先求對立事務（都不是“高個子”）概率，最終依據(jù)對立事務概率公式求結(jié)果；（2）先確定隨機變量，再分別求對應概率，寫出分布列，最終依據(jù)數(shù)學期望公式得結(jié)果.【詳解】解：（1）依據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是，所以選中的“高個子”有人，“非高個子”有人．用事務表示“至少有一名高個子”被選中”，則它的對立事務表示“沒有一名“高個子”被選中”，則，因此，至少有一人是“高個子”的概率是．（2）依題意，的取值為0，1，2，3．，，，．因此，的分布列如下：0123∴．【點睛】本題考查分層抽樣、莖葉圖、古典概型概率、分布列、數(shù)學期望，考查基本分析求解實力，屬中檔題.19.在四棱錐中，側(cè)面底面，，為中點，底面是直角梯形，，=90°,，．（I）求證：平面；（II）求證：平面；（III）設為側(cè)棱上一點，，試確定的值，使得二面角為45°．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．（III）【解析】【詳解】（I）取PD的中點F，連結(jié)EF，AF，因為E為PC中點，所以EF//CD，且在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，所以EF//AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE//AF，BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE//平面PAD．（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz．則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.所以又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD．（III）平面PBD的法向量為所以，設平面QBD的法向量為=（a，b，c），，由，，得所以=所以留意到，得．20.過拋物線的對稱軸上的定點，作直線與拋物線相交于、兩點．（1）證明：、兩點的縱坐標之積為定值；（2）若點是定直線上的任一點，設三條直線，，的斜率分別為，，，證明【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)設，設直線的方程為與聯(lián)立方程組，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可證得為定值；(2)將，，表示出，并化簡可證得【詳解】（1）證明：由題意設直線的方程為，，，消得：．∴為定值．（2）解：三條直線，，的斜率成差數(shù)列，下證之：設點，則直線的斜率為，直線的斜率為，∴又∵直線的斜率為，∴．【點睛】本題考查直線和圓雉曲線的位置美系，斜率公式，考查了基本技巧：設而不解，聯(lián)立方程組，根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了學生的運算實力，屬于中檔題.21.設函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若曲線在y軸上的截距為，且在點處的切線垂直于直線，求實數(shù)a，b的值；記的導函數(shù)為，求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）實數(shù)a，b的值分別為1，；（2）【解析】【分析】Ⅰ將，代入，即可求得b的值，求導，由，即可求得a的值；Ⅱ求導，，分類分別取得在區(qū)間上的最小值解析式．【詳解】解：Ⅰ曲線在y軸上的截距為，則過點，代入，則，則，求導，由，即，則，實數(shù)a，b的值分別為1，；Ⅱ，，，當時，，，恒成立，即，在上單調(diào)遞增，．當時，，，恒成立，即，在上單調(diào)遞減，當時，，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，【點睛】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)探討曲線上某點切線方程考查發(fā)覺問題解決問題的實力．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中選一題作答．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（a＞b＞0，為參數(shù)），以Ο為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，已知曲線C1上的點對應的參數(shù)．與曲線C2交于點．（1）求曲線C1，C2的直角坐標方程；（2），是曲線C1上的兩點，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，消去參數(shù)，得曲線C1一般方程，先確定曲線C2極坐標方程ρ=2cosθ，再利用將極坐標化為直角坐標方程：（2）由題意得：，∴+=（+）+（+）=．．試題解析：（1）將M（2，）及對應的參數(shù)=；θ=；代入得：得：∴曲線C1的方程為：（為參數(shù)）即：．設圓C2的半徑R，則圓C2的方程為：ρ=2Rcosθ，將點D（，）代入得：=2R∴R=1∴圓C2的方程為：ρ