2024年四川省宜賓市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析

宜賓市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘，全卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.2的絕對值是（）A. B. C. D.22.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.3.某校為了解九年級學(xué)生在校的鍛煉情況，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）A.方差為0 B.眾數(shù)為75 C.中位數(shù)為77.5 D.平均數(shù)為754.如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（）A. B. C. D.5.元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（）A.5天 B.10天 C.15天 D.20天6.如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1.2.3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）A.8 B.18 C.28 D.327.如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn)是（）A.B點(diǎn) B.C點(diǎn) C.D點(diǎn) D.E點(diǎn)8.某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（）A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱9.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.B及的中點(diǎn)M，軸，與y軸交于點(diǎn)N．則的值為（）A. B. C. D.11.如圖，在中，，以為邊作，，點(diǎn)D與點(diǎn)A在的兩側(cè)，則的最大值為（）A. B. C.5 D.812.如圖，拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)以點(diǎn)A.B.C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，；④當(dāng)時，在內(nèi)有一動點(diǎn)P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13.分解因式：=_________________________．14.分式方程的解為___________．15.如圖，正五邊形的邊長為4，則這個正五邊形的對角線的長是___________．16.如圖，在平行四邊形中，，E.F分別是邊上的動點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r，則_____________．17.如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標(biāo)有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標(biāo)數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計(jì)分（分?jǐn)?shù)為落入該小孔槽小球上所標(biāo)的數(shù)字），完成第一次操作．再重復(fù)以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計(jì)分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計(jì)分最高的是乙槽，則第二次操作計(jì)分最低的是___________（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．18.如圖，正方形的邊長為1，M、N是邊、上的動點(diǎn)．若，則的最小值為___________．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．20.某校為了落實(shí)“五育并舉”，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設(shè)了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學(xué)生對每個興趣小組的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了___________名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為___________度；（3）書法組成績最好的4名學(xué)生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機(jī)抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．21.如圖，點(diǎn)D.E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．22.宜賓地標(biāo)廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標(biāo)點(diǎn)C.D，在地標(biāo)廣場上選擇兩個觀測點(diǎn)A.B（點(diǎn)A.B.C.D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點(diǎn)A處測得點(diǎn)C在北偏西方向上，測得點(diǎn)D在北偏東方向上；在B處測得點(diǎn)C在北偏西方向上，測得點(diǎn)D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）23.如圖，一次函數(shù)．圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用圖象，直接寫出不等式的解集；（3）已知點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上．若以A.B.C.D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．24.如圖，內(nèi)接于，，過點(diǎn)A作，交的直徑的延長線于點(diǎn)E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求和的長．25.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．參考答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義即可求解．解：2的絕對值是是2，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對值的計(jì)算，掌握正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．2.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)．根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)的法則，逐個進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：A.，故本選項(xiàng)不符合題意；B.，故本選項(xiàng)不符合題意；C.，故本選項(xiàng)符合題意；D.，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查方差，眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，分別根據(jù)相關(guān)定義求解即可．解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題意；方差為，故選項(xiàng)A錯誤，不符合題意；這組數(shù)據(jù)中，75出現(xiàn)次數(shù)最多，共出現(xiàn)3次，故眾數(shù)是75，故選項(xiàng)B正確，符合題意；這組數(shù)據(jù)按大小順序排列為：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88．最中間的兩個數(shù)是75，75，故中位數(shù)為，故項(xiàng)C錯誤，不符合題意，故選：B．4.【答案】A【解析】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，同弧或等弧所對的圓周角相等得到，進(jìn)一步計(jì)算即可解答．解：是的直徑，，，，，故選：A．5.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，據(jù)題題意：，解得：．答：快馬20天可以追上慢馬．故選：D．6.【答案】C【解析】【分析】本題考查新定義，解題的關(guān)鍵是正確讀懂新定義．根據(jù)新定義逐個判斷即可得到答案．解∶∵，，∴8不是完美數(shù)，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，，∴18不是完美數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，，∴28是完美數(shù)，故選項(xiàng)C符合題意；∵，，∴32不是完美數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C7.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平面圖形和立體圖形，把圖形圍成立體圖形求解．解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)是C，故選：B．8.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解問題，設(shè)用個大箱，個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．解：設(shè)用個大箱，個小箱，∴，∴，∴方程的正整數(shù)解為：或，∴所裝的箱數(shù)最多為箱；故選C．9.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點(diǎn)，合理作輔助線為解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．解：如圖，連接、，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則三點(diǎn)共線，如圖所示∴，∵由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴．故選：A10.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，利用函數(shù)表達(dá)式設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，是中點(diǎn)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果．解：作過作的垂線垂足為，與軸交于點(diǎn)，如圖，在等腰三角形ABC中，，是中點(diǎn)，設(shè)，，由中點(diǎn)為，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中點(diǎn)為M，∴，即，由反比例函數(shù)上得，∴，解得：，由題可知，，∴．故選：B．11.【答案】D【解析】【分析】如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，求解，結(jié)合，（三點(diǎn)共線時取等號），從而可得答案．解：如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∵，（三點(diǎn)共線時取等號），∴的最大值為，故選D【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，二次根式的乘法運(yùn)算，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得當(dāng)時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計(jì)算公式求出，進(jìn)而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)時，，則，取點(diǎn)，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴當(dāng)時，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點(diǎn)、，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當(dāng)時，，∴，∴，當(dāng)時，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當(dāng)時，可得；綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A.B.C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；當(dāng)時，，則，如圖所示，取點(diǎn)，連接，則，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13.【答案】【解析】解：==．故答案為．14.【答案】【解析】【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵；先去分母，化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可．解：，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴方程的根為，故答案為：．15.【答案】##【解析】【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后由線段和差即可求出的長．解：如圖，連接交于點(diǎn)，∵五邊形是正五邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．16.【答案】【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當(dāng)最小時，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A.E.G三點(diǎn)共線時，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．解：延長，截取，連接，，如圖所示：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時，最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)A.E.G三點(diǎn)共線時，最小，即最小，且最小值為的長，∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．17.【答案】乙槽【解析】【分析】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當(dāng)時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小的是乙槽．本題考查了方程的應(yīng)用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當(dāng)時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計(jì)分最低的是乙槽．故答案為：乙槽．18.【答案】##【解析】【分析】將順時針旋轉(zhuǎn)得到，再證明，從而得到，再設(shè)設(shè)，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到，從而得解．解：∵正方形的邊長為1，∴，，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，∴，，，，∴點(diǎn)P、B.M、C共線，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，設(shè)，，則，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時，取最小值，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式等知識，證明和得到是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的化簡，熟記零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，分式化簡的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的意義計(jì)算；（2）原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時利用除法法則變形，約分即可得到最簡結(jié)果．解：（1）；（2）．20.【答案】（1）40；圖見解析（2）72（3）【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，及用列表法或樹狀圖法求概率，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由A組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去A.B.D人數(shù)求出C組人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；（2）用360度乘以C組人數(shù)所占比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．小問1解：本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為（名），C組人數(shù)為（名），補(bǔ)全圖形如下：；故答案為：40；小問2解：，故答案為：72；小問3解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果共有6種，∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為．21.【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．22.【答案】長江口的寬度為米.【解析】【分析】如圖，過作于，過作于，過作于，而，可得四邊形，都是矩形，由題意可得：，，證明，可得，設(shè)，，再利用三角函數(shù)建立方程組求解即可.解：如圖，過作于，過作于，過作于，而，∴四邊形，都是矩形，∴，，，，∵由題意可得：，，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，，∴，即，，即，∴，∴，∴，∴，∴；∴長江口的寬度為米.【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.23.【答案】（1），（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入，可求出k，把代入所求反比例函數(shù)解析式，可求n，然后把A.B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像，寫出一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方所對應(yīng)的自變量范圍即可；（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，分、為對角線，、為對角線，、為對角線三種情況，根據(jù)對角頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和分別相等列方程組，即可求解．小問1解∶∵經(jīng)過，∴，解得，∴，把代入，得，解得，∴，把，代入，得，解得，∴；小問2解：觀察圖像得：當(dāng)或時，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方，∴不等式的解集為或；小問3解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，①以、為對角線，則，解得，∴，∴；②以、為對角線，則，解得，∴，∴；③以、為對角線則，解得，∴，∴；綜上，當(dāng)C的坐標(biāo)為或或時，以A.B.C.D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)撥】本題考查求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，平行四邊形存在性問題等，掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）見解析（2），．【解析】【分析】（1）延長交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊對等角可得，，，，繼而可得是的角平分線，根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，繼而根據(jù)切線判定定理即可求證結(jié)論；（2）連接，先求得，利用圓周角定理結(jié)合勾股定理