高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 8.5 傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)也稱為三角級數(shù),是指形如的函數(shù)項級數(shù).三角函數(shù)表示諧波或簡諧振動,因此上述傅里葉級數(shù)可以看做是諧波的疊加.8.5傅里葉級數(shù)非正弦周期函數(shù):矩形波分解成不同頻率正弦波逐個疊加設(shè)想是把一個復(fù)雜的周期函數(shù)

f(t)表示為即8.5.1三角函數(shù)系

稱為三角級數(shù)各類正弦函數(shù)

的迭加,問題:(1)f(x)應(yīng)具備什么條件才能展開成如上三角級數(shù)?同樣需要考慮兩個問題:(2)如果f(x)可以展開成三角級數(shù),那么系數(shù)ak,bk為此,先介紹三角函數(shù)系.該如何確定?三角函數(shù)系其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間即在上的正交性是指:即上的積分不為0.

三角函數(shù)系中每個函數(shù)自身的平方在

8.5.2周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開問題:f(x)若能展開成三角級數(shù),

是什么?兩邊積分利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性由系數(shù)公式所確定的三角級數(shù)傅里葉系數(shù)公式:

稱為函數(shù)

f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級數(shù),f(x)

記為問題:當(dāng)

f(x)滿足什么條件時,它的傅里葉級數(shù)收斂?

收斂定理8.15(收斂定理狄利克雷充分條件)

設(shè)

f(x)是以

為周期的周期函數(shù),是

f(x)的傅里葉級數(shù),則如果

f(x)在逐段單調(diào),收斂定理等價于:如果設(shè)傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，即則特別地,當(dāng)

f(x)為奇函數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為當(dāng)

f(x)為偶函數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為f(x)的傅里葉級數(shù)為稱為正弦級數(shù);稱為余弦級數(shù).f(x)的傅里葉級數(shù)為設(shè)函數(shù)

f(x)以

為周期,且

其傅氏級數(shù)在

處收斂于().所以,周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開步驟:(由圖形寫出收斂域;求出第一類間斷點)(2)求出傅里葉系數(shù);(3)寫出傅里葉級數(shù),并注明它在何處收斂于

f(x).

畫出

f(x)的圖形,收斂定理條件;并驗證是否滿足狄利克雷解例1設(shè)將

f(x)展開為傅里葉級數(shù).

f(x)的圖象由狄利克雷充分條件收斂于

計算傅里葉系數(shù)故

f(x)的傅里葉級數(shù)為(2)將F(x)展開為傅里葉級數(shù);作法收斂定理的條件,也可展開成傅里葉級數(shù).(周期延拓);級數(shù)收斂于8.5.3只在區(qū)間上有定義的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開如果

f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足得到一定義在這樣就得到f(x)展開式;解例2

將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式在因函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件,收斂于

f(x).又f(x)是偶函數(shù)f(x)是偶函數(shù)已知函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式也可求數(shù)項級數(shù)的和設(shè)收斂定理的條件,我們首先將函數(shù)f(x)的定義延8.5.4將定義在區(qū)間上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)如果

f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足拓到區(qū)間上,得到一定義在上的函數(shù)F(x),使它在內(nèi)成為奇函數(shù)(偶函數(shù)),

按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓然后將F(x)展開成傅里葉級數(shù),這個級數(shù)必定是正弦級數(shù)(余弦級數(shù)).

(偶延拓).

(1)奇延拓則f(x)

的傅里葉級數(shù):再限制x在區(qū)間上,就得到f(x)展開式的正弦級數(shù)(余弦級數(shù))展開式.(2)偶延拓則f(x)

的傅里葉級數(shù):解

(1)展開成正弦級數(shù).正弦級數(shù)和余弦級數(shù).例3將函數(shù)分別展開成對f(x)進行奇延拓,(2)展開成余弦級數(shù).對f(x)進行偶延拓,解練習(xí)設(shè)練習(xí)已知級數(shù)求級數(shù)的和.解所以,(1)把f(x)展開為正弦級數(shù);(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在解(1)上的表達式;正弦級數(shù)練習(xí)設(shè)函數(shù)如圖所示(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在上的表達式;(3)先作變量代換

8.5.5周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)條件,若周期為2l的周期函數(shù)

f(x)滿足收斂定理的展開成傅里葉級數(shù)的方法是:

將函數(shù)變換到再利用周期為

的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法,最后回到變量x,就得到f(x)的傅里葉展開式則有(1)如果

f(x)為奇函數(shù),其中,傅里葉系數(shù)為則有(2)如果

f(x)