2023九年級數(shù)學(xué)下冊 第二章 二次函數(shù)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第3課時(shí) 二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)教案 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學(xué)下冊第二章二次函數(shù)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第3課時(shí)二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)教案（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為北師大版2023九年級數(shù)學(xué)下冊第二章“二次函數(shù)”中的第3課時(shí)，著重探討二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容涉及二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式的圖象特征，包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向和寬度，以及通過a、h的值對圖象產(chǎn)生的影響。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生已在之前的課程中學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的基本概念，理解了二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2及其圖象的簡單性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生探索標(biāo)準(zhǔn)形式下二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的具體表現(xiàn)，讓學(xué)生通過實(shí)際觀察、分析和總結(jié)，深化對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的理解，并與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，增強(qiáng)知識的應(yīng)用能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.抽象二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)，形成對函數(shù)圖象變換的直觀認(rèn)識，提升數(shù)學(xué)抽象能力。

2.利用邏輯推理分析a、h的值對二次函數(shù)圖象的影響，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)邏輯推理素養(yǎng)。

3.建立實(shí)際情境與二次函數(shù)圖象性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，解決實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象特征及其性質(zhì)的理解。

2.通過a、h的取值分析圖象的平移、伸縮和開口變化。

難點(diǎn)：

1.將二次函數(shù)的圖象變換與具體參數(shù)a、h的關(guān)聯(lián)抽象化。

2.在實(shí)際問題中運(yùn)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)進(jìn)行建模和求解。

解決辦法：

1.利用多媒體演示二次函數(shù)圖象的變換過程，結(jié)合實(shí)際例子，幫助學(xué)生形成直觀認(rèn)識。

2.設(shè)計(jì)小組討論活動，讓學(xué)生合作探索參數(shù)變化對圖象的影響，總結(jié)規(guī)律，加深理解。

3.提供具有實(shí)際背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決，通過問題驅(qū)動法突破難點(diǎn)，強(qiáng)化知識應(yīng)用能力。教學(xué)資源1.軟件資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)軟件（如幾何畫板、MathType等）

-多媒體演示文稿（PPT）

-二次函數(shù)圖象變換動態(tài)演示動畫

2.硬件資源：

-投影儀

-計(jì)算機(jī)及網(wǎng)絡(luò)

3.課程平臺：

-電子白板

-在線學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)（LMS）

4.信息化資源：

-電子教材

-互動式在線練習(xí)題庫

5.教學(xué)手段：

-小組合作學(xué)習(xí)

-探究式教學(xué)

-實(shí)物模型展示

-課堂討論與問答

-課后作業(yè)與輔導(dǎo)材料教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對二次函數(shù)y=a(x-h)2圖象與性質(zhì)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道二次函數(shù)的圖象是如何變換的嗎？它在我們的生活中有什么作用？”

展示一些二次函數(shù)圖象變換的圖片，讓學(xué)生初步感受二次函數(shù)圖象的變換特點(diǎn)。

簡短介紹二次函數(shù)圖象變換的基本概念和實(shí)際意義，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。

2.二次函數(shù)基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生理解二次函數(shù)y=a(x-h)2的基本概念和圖象性質(zhì)。

過程：

講解二次函數(shù)y=a(x-h)2的定義，包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向和寬度等主要組成元素。

使用圖表或示意圖，詳細(xì)介紹a、h對圖象的影響，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)圖象的變換原理。

3.二次函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解二次函數(shù)圖象的特性和應(yīng)用。

過程：

選擇幾個(gè)典型的二次函數(shù)案例進(jìn)行分析，如拋物線與實(shí)際問題結(jié)合的案例。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、圖象特點(diǎn)和應(yīng)用意義，讓學(xué)生全面了解二次函數(shù)的多樣性。

引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和實(shí)際問題解決能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與二次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論問題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及運(yùn)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)的解決方案。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，加深全班對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的認(rèn)識。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括問題的背景、解決方案及二次函數(shù)圖象的應(yīng)用。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)圖象性質(zhì)的重要性和實(shí)際應(yīng)用。

過程：

簡要回顧二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象性質(zhì)、案例分析和小組討論成果。

強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)圖象性質(zhì)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探索和應(yīng)用。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于二次函數(shù)圖象性質(zhì)在實(shí)際問題中應(yīng)用的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-相關(guān)數(shù)學(xué)書籍：《二次函數(shù)解析》、《初中數(shù)學(xué)圖象變換》等，這些書籍詳細(xì)介紹了二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，以及圖象變換的方法和技巧。

-科普文章：收集一些關(guān)于二次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用實(shí)例，如物理學(xué)中的拋物線運(yùn)動、工程學(xué)中的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題等。

-數(shù)學(xué)競賽題目：選取一些涉及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的數(shù)學(xué)競賽題目，供學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)和練習(xí)。

-實(shí)際案例：搜集不同領(lǐng)域的實(shí)際案例，如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的最優(yōu)化問題、環(huán)境科學(xué)中的污染控制模型等，讓學(xué)生了解二次函數(shù)的廣泛用途。

2.拓展建議：

-鼓勵(lì)學(xué)生閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)書籍，加深對二次函數(shù)性質(zhì)和圖象變換理論的理解。

-建議學(xué)生通過科普文章和實(shí)際案例，探索二次函數(shù)在科學(xué)、技術(shù)和社會生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識。

-對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以嘗試解決數(shù)學(xué)競賽題目，提高解題能力和數(shù)學(xué)思維。

-組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)社團(tuán)或興趣小組，開展二次函數(shù)相關(guān)的研究性學(xué)習(xí)活動，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

-引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源或圖書館資料，自主查找二次函數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，撰寫小論文或報(bào)告，分享學(xué)習(xí)成果。

-鼓勵(lì)學(xué)生嘗試使用數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等）繪制二次函數(shù)圖象，直觀感受圖象變換過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)直觀認(rèn)識。典型例題講解例題1：求二次函數(shù)y=a(x-h)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

解答：二次函數(shù)y=a(x-h)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0)。因?yàn)楹瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式中，(h,k)表示拋物線的頂點(diǎn)，而在此函數(shù)中，k=0，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0)。

例題2：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(-2,5)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式。

解答：由題意知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5)，因此h=-2，k=5。二次函數(shù)的一般形式為y=a(x-h)2+k，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得y=a(x+2)2+5。為了求出a的值，我們需要另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果沒有其他信息，可以假設(shè)a=1（因?yàn)轭}目未指明a的值），則函數(shù)表達(dá)式為y=(x+2)2+5。

例題3：二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求線段AB的長度。

解答：首先，我們需要找到函數(shù)與x軸相交的點(diǎn)，即解方程3(x-1)2+2=0。令y=0，得到3(x-1)2=-2，由于平方項(xiàng)總是非負(fù)的，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)解，因此該二次函數(shù)與x軸無交點(diǎn)。但是，為了練習(xí)，我們可以求函數(shù)的零點(diǎn)。解得x=1±√(2/3)。假設(shè)有兩個(gè)交點(diǎn)，那么線段AB的長度為|1+√(2/3)-(1-√(2/3))|=2√(2/3)。

例題4：拋物線y=-2(x-3)2+8的對稱軸是什么？

解答：由二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式可知，對稱軸的方程是x=h。因此，對于函數(shù)y=-2(x-3)2+8，其對稱軸是直線x=3。

例題5：一個(gè)拋物線的頂點(diǎn)是(4,-1)，且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，求該拋物線的方程。

解答：已知頂點(diǎn)(4,-1)，因此h=4，k=-1。設(shè)拋物線的方程為y=a(x-4)2-1。由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，代入該點(diǎn)得3=a(2-4)2-1，解得a=1。因此，拋物線的方程為y=(x-4)2-1。

例題6：一個(gè)拋物線y=5(x-2)2+9與直線y=2x+1相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

解答：為了找到交點(diǎn)，我們需要解方程組：

5(x-2)2+9=2x+1

5(x-2)2=2x-8

(x-2)2=(2x-8)/5

x2-4x+4=2x/5-8/5

x2-(4+2/5)x+(4+8/5)=0

x2-(20/5+2/5)x+(20/5+8/5)=0

x2-(22/5)x+(28/5)=0

解這個(gè)一元二次方程，我們可以使用求根公式，得到x的值。然后，將x的值代入任一方程求解y的值。

例題7：如果一個(gè)拋物線的開口方向向下，且頂點(diǎn)在y軸上，求該拋物線的一般形式。

解答：由于拋物線的開口方向向下，a<0。又因?yàn)轫旤c(diǎn)在y軸上，所以頂點(diǎn)的x坐標(biāo)為0。因此，拋物線的一般形式為y=a(x-0)2+b，即y=ax2+b。

例題8：已知拋物線y=-3x2+12x-10，求其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。

解答：拋物線的一般形式為y=ax2+bx+c。我們可以通過完成平方來找到頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。

y=-3x2+12x-10

=-3(x2-4x)+10

=-3(x2-4x+4-4)+10

=-3((x-2)2-4)+10

=-3(x-2)2+12-10

=-3(x-2)2+2

因此，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，對稱軸為x=2。

例題9：如果一個(gè)物體的拋射路徑可以用y=-5x2+20x+10表示，求物體的最大高度。

解答：物體的最大高度發(fā)生在拋物線的頂點(diǎn)處。拋物線的方程為y=-5x2+20x+10，我們可以通過完成平方找到頂點(diǎn)。

y=-5x2+20x+10

=-5(x2-4x)+10

=-5(x2-4x+4-4)+10

=-5((x-2)2-4)+10

=-5(x-2)2+20-10

=-5(x-2)2+10

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,10)，因此物體的最大高度為10個(gè)單位。

例題10：已知拋物線y=2x2-8x+6，求其與x軸的交點(diǎn)。

解答：為了找到拋物線與x軸的交點(diǎn)，我們需要解方程2x2-8x+6=0。使用求根公式，我們可以找到x的值。

x=[8±√(64-4*2*6)]/(2*2)

x=[8±√(64-48)]/4

x=[8±√16]/4

x=[8±4]/4

因此，x的值為1和3/2。拋物線與x軸的交點(diǎn)