初中數(shù)學(xué)公式大全(一)

初中數(shù)學(xué)重要公式定律

一、有理數(shù)

1.相反數(shù)與絕對值

(D數(shù)a的相反數(shù)是一〃.若明6互為相反數(shù)，則a+

b=0;反之，若a+b=O,則a、6互為相反數(shù).

ra(a>0),

(2)絕對值計算|a|=10(a=0),

、一a(aVO),

(a(a>0),ja(a>0),

或/…、或7/八、

\-a(a<ZO),(一a(a《O).

2.兩個有理數(shù)大小的比較

(1)在數(shù)軸上,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

(2)正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

(3)兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的負(fù)數(shù)反而小.

3.有理數(shù)的運(yùn)算

①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值

相加；

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值

加法

較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去

法則

較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加

得0；

③一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)

減法減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即a-b

法則=。+(—b)

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對

值相乘.任何數(shù)與0相乘，積仍得0;

②幾個不等于0的有理數(shù)數(shù)相乘，積的符號

乘法

由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個時，

法則

積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)為偶數(shù)個時，積為正.幾個

有理數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)為0,積就

為。

①兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對

值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得

除法0；0不能作除數(shù)；

法則②除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒

數(shù)，即a+b=a?

D

①正數(shù)的任何次騫都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次幕

是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)；0的任何正整

乘方

數(shù)次哥都等于0；

法則

②互為相反數(shù)的兩個數(shù)奇次賽互為相反數(shù)，

偶次塞相等

混合先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，

運(yùn)算從左到右進(jìn)行;有括號的，先算括號里面的

2

4.有理數(shù)運(yùn)算律

交換律a+6=6+a

加法運(yùn)算律

結(jié)合律(a+b)+c=a+(6+c)

交換律ab=ba

乘法運(yùn)算律結(jié)合律(a6)c=a(6c)

分配律a(6+c)=a6+ac

5.科學(xué)記數(shù)法

把一個大于10的數(shù)記作aXIO"的形式，其中a大

于或等于1且小于10,即是正整數(shù).

二、整式的加減

L合并同類項的法則

合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，所得的和作

為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變.

2.去括號法則

括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去

掉，括號里各項的符號都不改變;括號前面是“一”號，把

括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項都改變符號.

3.整式的加減法則

整式的加減實(shí)質(zhì)就是去括號、合并同類項，若有括

號，就要先去掉括號，然后再合并同類項，直到結(jié)果中沒

有同類項為止.

三、一元一次方程

1.等式的基本性質(zhì)

(1)如果a=b,那么a+c=5+c,a—c=b-c.

(2)如果a=6,那么〃=6c；如果”=6,那么0=2~(c#O).

cc

2.解一元一次方程的步驟

變形名稱具體做法依據(jù)注意事項

①不要漏乘不

把方程兩邊

含分母的項；

每項都乘各等式基

去分母②分子是一個

分母的最小本性質(zhì)2

整體，去分母后

公倍數(shù)

應(yīng)加括號

先去小括號，

①不要漏乘括

再去中括號，乘法分

號里的項；

去括號最后去大括配律，去

②注意“+”

號(或反之由括號法則

“一”的改變

外向內(nèi))

把含有未知數(shù)

的項都移到方

等式基①移項要變號；

移項程的一邊，其他

本性質(zhì)1②不要漏掉項

項都移到方程

的另一邊

3.命題、定理、證明

定義判斷一件事情的語句，叫做命題

真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題

假命題題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立的命題

一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明

互逆

是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理

定理

為互逆定理

六、實(shí)數(shù)

1.平方根和立方根

名稱表示性質(zhì)

一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為

平方根土后相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有

平方根

正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的

立方根

立方根是一個負(fù)數(shù),0的立方根是0

2.實(shí)數(shù)的性質(zhì)

(1)數(shù)Q的相反數(shù)是一人這里a表示任意一個

實(shí)數(shù).

(2)一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實(shí)數(shù)的

絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.

七、平面直角坐標(biāo)系

①z軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;

坐標(biāo)軸上

②y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0;

點(diǎn)的坐標(biāo)

直角坐③原點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為0;

特點(diǎn)

標(biāo)系內(nèi)④原點(diǎn)既在x軸上，又在y軸上

點(diǎn)的坐

各象限內(nèi)①點(diǎn)在第一象限，則a>096>0；

標(biāo)特點(diǎn)

點(diǎn)的坐標(biāo)②點(diǎn)在第二象限，則a<0,b>Q；

特點(diǎn)③點(diǎn)在第三象限，則a<0,6V0；

P36）④點(diǎn)在第四象限，則a>0,b<Q

角平分①在一、三象限的角平分線上,a=6;

線上點(diǎn)P(a,b)②在二、四象限的角平分線上，

的特點(diǎn)a——b

平面①關(guān)于z軸對稱，橫坐標(biāo)相同，縱

直角坐標(biāo)互為相反數(shù)，即（。，一0

坐標(biāo)系②關(guān)于y軸對稱，橫坐標(biāo)互為相

P(a,d)

中對稱反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，即（一

點(diǎn)的坐③關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，橫縱坐標(biāo)

標(biāo)特點(diǎn)都互為相反數(shù)，即（一以，一Q

與坐標(biāo)

軸平行①與X軸平行的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

的直線相同,

上的點(diǎn)②與丁軸平行的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的坐標(biāo)相同

特點(diǎn)

八、二元一次方程組

對于二元一次方程組,

2y=C2.

（1）當(dāng)生#3（收出#0）時，方程組有唯一解.

（2）當(dāng)生=3=&~（々2，仇"2#0）時，方程組有無數(shù)

。2。2

組解.

⑶當(dāng)生=善工"（如也，C2#。）時,方程組無解.

。2勿。2

九、不等式與不等式組

1.不等式性質(zhì)

性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加（或減）同一個數(shù)或同

一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即如果。〉人

那么a士加>6±利.

性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘（或除）同一個正數(shù),

不等號的方向不變，即如果。>6,且m>0,那么am>

bm或邑＞2.

mm

性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘（或除）同一個負(fù)數(shù),

不等號的方向改變，即如果。＞兒且加V0,那么

am＜Zbm或邑V2".

mm

2.一元一次不等式組的解集

不等式組

數(shù)軸表示解集口訣

x>a,I_

------------4jc>b同大取大

x>bab

zVa,

—《，—一x<ia同小取小

i%V6ab

x>a大小小大

ya<Zx<Zb

x<ibab中間找

\x<ia,小小大大

-----------T>-----》..A無解

[x>bcIb找不到

十、三角形

1.三角形的分類

八銳角不等邊人

△三角形按三角形￡\

邊

,直角

，底邊和腰不

為三角形分

類,相等的等腰

0駕形產(chǎn)「A

鈍角

三角形J

等邊△

【三角形

2.三角形三邊關(guān)系

三角形中任意兩邊的和大于第三邊，三角形中任意

兩邊的差小于第三邊.

3?三角形內(nèi)角和定理

三角形三個內(nèi)角的和是180°.

4,直角三角形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.

判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

5.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形的外角和為360°.

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和.

(3)三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個

內(nèi)角.

6.多邊形的內(nèi)角和與外角和

(1%邊形的內(nèi)角和是(〃-2)X180°.

(2丘邊形的外角和為360°.

H—、全等三角形

1.全等三角形的判定

方法內(nèi)容符號適用范圍

三條邊分別對應(yīng)相等的

定理1SSS所有三角形

兩個三角形全等

兩邊及其夾角分別對應(yīng)

定理2SAS所有三角形

相等的兩個三角形全等

兩角及其夾邊分別對應(yīng)

定理3ASA所有三角形

相等的兩個三角形全等

兩角及其中一個角的對

定理4邊對應(yīng)相等的兩個三角AAS所有三角形

形全等

斜邊和一條直角邊對應(yīng)

定理5相等的兩個直角三角形HL直角三角形

全等

2.角平分線的性質(zhì)及判定

(1)性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離

相等.

(2)判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角

的平分線上.

十二、軸對稱

1.軸對稱和線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；

②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么

對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平

軸對稱

分線,

的性質(zhì)

③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們

的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對

稱軸上

10

心a

若兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一直線垂

軸對稱

直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線

的判定

對稱

性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段

線段的

兩個端點(diǎn)的距離相等

垂直平

判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，

分線

在這條線段的垂直平分線上

2,三角形的性質(zhì)及判定

①等腰三角形是軸對稱圖形；

等腰三角②等腰三角形的兩個底角相等；

形的性質(zhì)③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的

中線、底邊上的高相互重合

等腰三角如果一個三角形有兩個角相等，那么這

形的判定兩個角所對的邊也相等

等邊三角等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等

形的性質(zhì)于60°

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

等邊三角②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

形的判定③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三

角形

11

①在直角三角形中，30°角所對的直角邊

直角三角等于斜邊的一半；

形的性質(zhì)②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半

十三、整式的乘法與因式分解

1?零的有關(guān)法則

塞的運(yùn)算法則:公式（利方是正整數(shù)）

同底數(shù)蹇

底數(shù)不變，指數(shù)相加d?a-CL

的乘法

塞的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘(am)"=a""

把每一個因式分別

積的乘方乘方，再把所得的(a6)M=a"6"

褰相乘

同底數(shù)塞am=amn

底數(shù)不變，指數(shù)相減

的除法(a^O,m>n)

任何不為0?的數(shù)的

零指數(shù)騫a°=l(aH0)

0次寨都等于1

任何非0的數(shù)的

負(fù)整數(shù)a"=2(aX0)

一力次第，等于這個

指數(shù)騫av

數(shù)的P次暮的倒數(shù)

2.乘法公式

2

平方差公式(a+6)(Q-6)—6

完全平方公式(。士6)2=1±2〃6+62

3.因式分解

提公因式法ma+7?6+me=7n(a+b+c)

a2一y=(a+6)(a—6)

公式法

a2±2ad+62=(a±6)2

x2+(p+q)%+pq=(x+p)(Z+q)

z

十字相乘法ax+bx+c=(aii+ci)(a2x+c2)

(a=ai?a2,c=Q-c2,RCz+a2cl=6)

ax+ay-\-bx+by=x{a+b}+y(a+6)

分組分解法

=(a+6)(z+y)

十四、分式

L分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的

整式，分式的值不變.即魯=崎，9=崎（其中

M是不等于。的整式）.

2.分式的運(yùn)算法則

（1）乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分

子，分母的積作為積的分母?即%?=襄

（2）除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母

顛倒位置后，與被除式相乘.即包+幺=2,.=與

acaaad

（3）乘方法則：把分子、分母分別乘方.即（告尸=

O

n

土n（九為正整數(shù)）.

b

（4）加減法法則：①同分母的分式相加減，分母不

變，把分子相加減.即色士2=包；②異分母分式相

CCC

加減,先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p.即看±￡=言

bd_ac士bd

士左=一^?

十五、二次根式

Q>/S>O(Q)O);②(后)2=a(a>0);

(a(a^O)

③"=|a|=9

二次根式—a(a<CO)；

的性質(zhì)?^/ab=y/a?揚(yáng)(a>0,6~0);

⑤,b>0)

乘法法則亞?網(wǎng)=，6>0）

亳=7￥（侖。出>。）

除法法則

2.中位線

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的

一半.

十八、一次函數(shù)

■

圖象

第*、—>%簞一二第一、二、第一二

經(jīng)過

三象限四象限四象限四象限

象限

與y軸

交點(diǎn)的正半軸負(fù)半軸正半軸負(fù)半軸

位置

圖象從左到右是上圖象從左到右是下降

增減性升的，y隨z的增大的O隨工的增大而

而增大減小

自變量

工的取全體實(shí)數(shù)

值范圍

十九、數(shù)據(jù)的分析

L平均數(shù)

（1）平均數(shù)：對于n個數(shù)百，/2，…，/，則x=—（xi

n

+B+…+/）就叫做這九個數(shù)的平均數(shù).

（2）加權(quán)平均數(shù):若兀個數(shù)了1，工2,工3,…，4的權(quán)分

PHe1nlz1IU1+K232+…nli

另IJ是Wi,w2,w3,—，以，貝II------TVV------叫

W]-rW2十.,?十w?,

做這〃個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).

2.數(shù)據(jù)的波動程度

（1）極差:一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差.

（2）方差:一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差

的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差.通常用52來表

示，計算公式：5?=—［（Xi—X）2+（X—xY+…+

n2

（x?—x）2］.’

（3）標(biāo)準(zhǔn)差:樣本方差的算術(shù)平方根表示樣本的標(biāo)

準(zhǔn)差，它也描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度.公式：s=

-％）2+（士-+…+（工—X）23.

二十、一元二次方程

1.一元二次方程的解法

直接開形如〃=5,（z+a）2=b的方程，利用平方

平方法根的定義直接開平方求解

通過配方將方程化為（z+a）2=b的形式，

配方法

應(yīng)用直接開平方的方法求解

①提公因式法：若ax2一任=0,則x（.ax—

因式6）=0,xi=0,s=—）

a

分解法

②十字相乘法:若/—（/>+口）］+pq=0,則

（X-g）=0,xi=p，4=q

ax2+6力+。=0（0*0）的根由系數(shù)a、6、c確

公式法定，求根公式為bi±（二4。。函一

4ac>0）

心匚

當(dāng)zVO時,y隨著當(dāng)x<0時，y隨著

x的增大而減?。粁的增大而增大；當(dāng)

增減性

當(dāng)1>0時,y隨著z>0時，y隨著工

X的增大而增大的增大而減小

極值x=0時，*■小=。力=0時,）量大=0

拋物線的形狀是由來確定的，一

般說來，|。|越大，拋物線的開口就越??；|。|越小，

拋物線的開口就越大

2.二次函數(shù)y=Q（。一數(shù)2+/a#0）的性質(zhì)

y=a(R-1)2+上y=a(R—/i)2+左

拋物線

(a>0)(a<0)

頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)(h,k)

對稱軸直線x=h直線x=A

位置由人和為的符號確定由人和氏的符號確定

開口方向向上向下

在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y

?隨著z的增大而隨著N的增大而增

增減性減??；在對稱軸的大；在對稱軸的右

右側(cè)，丁隨著x的側(cè),y隨著z的增大

增大而增大而減小

最值當(dāng)a=九時，y?小=k當(dāng)Lh時，'量大=4

18

▲

3.二次函數(shù)y=ax2+bz+c(a#O)的性質(zhì)

2

y^ax+6x+cy=ax2+6N+C

拋物線

(a>0)(a<0)

/__b_4ac-62\(b4ac-62\

頂點(diǎn)坐標(biāo)\2a94a)(2a'4a)

對稱軸直線z=_/直線1=一治

由ab和c的符號由和c的符號

位置9

確定確定

開口方向向上向下

在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y

y隨著1的增大而隨著z的增大而增

增減性,

減??；在對稱軸的大；在對稱軸的右

右側(cè)，y隨著土的側(cè)4隨著Z的增大

增大而增大而減小

當(dāng)工=—/時，當(dāng)Z=一及時，

La

最值；

4ac-624ac一〃

“小_4a“大一4a

有關(guān)拋物線y=axz+bx+c的符號問題：

(Da的符號：由拋物線的開口方向確定.

①開口向上㈡。＞0;

②開口向下㈡aV0.

(2)c的符號：由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定.

①交點(diǎn)在工軸上方㈡c>0；

②交點(diǎn)在x軸下方㈡cVO;

③經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)㈡。=0.

(3)6的符號：由對稱軸的位置確定.

①對稱軸在>軸左側(cè)㈡同號；

②對稱軸在y軸右側(cè)㈡異號;

③對稱軸是y軸㈡方=0.

4,二次函數(shù)解析式的確定

求拋物線的解析式主要有三種方法：

(1)一般式：已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為

j=ax2+bj：+c(aKO).

(2)頂點(diǎn)式：已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(衣,心，通常設(shè)拋

物線解析式為y=a(x—hy+^(a^O).

(3)交點(diǎn)式：已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)(口，0)、

(g,0),通常設(shè)解析式為y=a(x—x1)(a：—X2)(a^O).

5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y—ax2+bx-\rc的圖象和z軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，便是對應(yīng)的一元二次方程ax24-6x-i-c=0的解.

y==ax2+6%+cax2+5N+C=0

判別式

(。#0)(aWO)的根

與夕軸有兩個不

有兩個不同的解

b2—4ac>0同的交點(diǎn)(xi,0),

X—Xi，工=4

(亞，。)

與N軸有唯一的有兩個相等的解

2

b—4ac=0交點(diǎn)（一/，0）b

皿="2=一五

62—4ac<0與X軸沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根

二十二、旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)

（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

（2）旋轉(zhuǎn)三要素

①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.

2.中心對稱的性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)

過對稱中心，并且被對稱中心平分.

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即

點(diǎn)PG,y）關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是P'（一小一y）.

二十三、圓

L圓的有關(guān)性質(zhì)

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的

圓的對稱性直線都是它的對稱軸.圓又是中心對稱

圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性

21

①定理:垂直弦的直徑平分這條弦，并且

垂徑定理平分弦所對的兩條弧；

及推論②推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直

于弦，并且平分弦所對的兩條弧

①在同圓和等圓中，相等的圓心角所對

的弧相等，所對的弦也相等；

弧、弦、圓

②在同圓和等圓中，相等的弧所對的圓

心角之間

心角相等，所對的弦相等；

的關(guān)系

③在同圓和等圓中，相等的弦所對的弧

相等，所對的圓心角相等

①定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所

對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓周角

圓心角的一半；

定理

②推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是

直角，90°的圓周角所對的弦是直徑

2.與圓有關(guān)的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圓的半徑為廠，點(diǎn)到圓心的距離為a,則有:

①點(diǎn)p在圓外㈡&＞廠；

②點(diǎn)P在圓上㈡廠；

③點(diǎn)P在圓內(nèi)㈡dV廠.

22

(2)直線與圓的位置關(guān)系

關(guān)系相交相切相離

V?

圖形p)

公共點(diǎn)

01

L1Vn

個數(shù)

圓心。

到直線

Z的距

d=rd〉r

離d與

半徑廠

的關(guān)系

公共點(diǎn)

［交點(diǎn)切點(diǎn)

的名稱

直線一

割線切線

名稱

(3)圓與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形交點(diǎn)個數(shù)a與R、廠的關(guān)系

外離Ood>R+r

相離0

內(nèi)含◎O04dVR一廠

A

二十四、概率初步

概率P⑷=||瞿|羸,表示事件發(fā)生的

可能性:①隨機(jī)事件O<P(A)<1；②必然事件P(A)=1；

③不可能事件P(A)=O.

二十五、反比例函數(shù)

反比例函數(shù)_k

X

A的符號4>0k<0