魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

魯教版初二上數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理

第一章三角形

1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次

相接組成的圖形叫做三角形.

三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線

段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形吵角;

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，三角形產(chǎn)扁p

表示為△ABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角仁

的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

注意：(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；

(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形；

(3)AABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△

沒(méi)有意義.

2.三角形的分類：

(D按邊分類：

(2)按角分類干?.r底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形I

三角形JI等邊三角形

、不等邊三角形

'直角三象形

二角形“f銳角三角形

.斜三角形5

I鈍角三角形

3.三角形的主要線段的定義：

(1)三角形的中線A

三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的久段.

表示法：1.AD是aABC的BC上的中線.BDc

2.BD=DC=iBC.

2

注意：①三角形的中線是線段；

②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

④中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.

(2)三角形的角平分線1

三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)

角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段BD,

表示法：1.AD是4ABC的NBAC的平分線.

2.Z1=Z2=1ZBAC.

2

注意：①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn);

④用量角器畫三角形的角平分線.

(3)三角形的高A

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作

垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段.BD<

表示法：LAD是AABC的BC上的高線.

2.AD1BC于D.

3.ZADB=ZADC=90°.

注意：①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形

有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；

③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn).

如圖5,6,7,三角形的三條高交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條

高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角

形的外部，直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角

頂點(diǎn)上.

4.三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩

BC

邊之差小于第三邊.

注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；

（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.

5.三角形的角與角之間的關(guān)系：

⑴三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。；（三角形的內(nèi)角和定理）

（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余.圖8

6.三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三邊長(zhǎng)確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做

三角形的穩(wěn)定性.

注意：（1）三角形具有穩(wěn)定性；

（2）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性.

7.三角形全等：

全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形.

全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角：把兩個(gè)全等的三角形重合到一

起.重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合

的角叫做對(duì)應(yīng)角.

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.

三角形全等的判定方法：

1.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”

或"SS”）.

2.兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)

寫成“邊角邊"或?qū)懗伞保?

3.兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)

寫成“角邊角”或“ASA”）.

4.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.

對(duì)應(yīng)角相等

對(duì)應(yīng)邊相等

‘邊邊邊SSS

全等形f全等三角形邊角邊SAS

■角邊角ASA

角角邊AAS

斜邊、直角邊HL

作圖

角平分線

性質(zhì)與判定定理

三角形全等的應(yīng)用：測(cè)距離

要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。

（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等（AAS）

（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等（SAS）②第三組邊也相等（SSS）

（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等（AAS或ASA）②夾等角的另一組

邊相等（SAS）

第二章軸對(duì)稱

軸對(duì)稱現(xiàn)象

1.軸對(duì)稱圖形：（1）如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。這條直線

叫對(duì)稱軸。（注意:對(duì)稱軸是一條直線,不是線段，也不是射線）。

（2）軸對(duì)稱圖形至少有一條對(duì)稱軸,最多可達(dá)無(wú)數(shù)

條。

例:①圓的對(duì)稱軸是它的直徑（X）直徑是線段,而對(duì)稱

軸是直線（應(yīng)說(shuō)圓的對(duì)稱軸是過(guò)圓心的直線或直徑所在的直

線）；

②角的對(duì)稱軸是它的角平分線（X）角平分線是射線

而不是直線（應(yīng)說(shuō)角的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線）；

③正方形的對(duì)角線是正方形的對(duì)稱軸（X）對(duì)角線也

是線段而不是直線。

1.把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠

完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就

是它的對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直隸成

軸）對(duì)稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖

形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱。這條

直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)

2.軸對(duì)稱：（1）對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線折疊后，它

們能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就

是對(duì)稱軸。（成軸對(duì)稱的兩圖形本身可以不是軸對(duì)稱圖形）。

（2）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的關(guān)系：

①聯(lián)系:都是沿一條直線折疊后能夠互相重合;當(dāng)把成

軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體時(shí)，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；

②區(qū)別:軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形,軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形之

間的關(guān)系。

用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)：

1.在平面直角坐標(biāo)系中

①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

②關(guān)于J軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等；

③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

④與X軸或Y軸平行的直線的兩個(gè)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系;

⑤關(guān)于與直線X=C或Y=C對(duì)稱的坐標(biāo)

點(diǎn)（x,y）關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)（x,-y）.

點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,y）.

簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形

有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。

1.三線合一定理:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合（也稱為“三線合一”，它們所在的直線就是

等腰三角形的對(duì)稱軸）。注意:對(duì)于一般的等腰三角形，一定

要說(shuō)清哪邊上的中線、高和哪個(gè)角的平分線;等邊三角形有三

組三線合一,任意一邊上的中線和高及其所對(duì)的角的平分線。

2.等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，

那么它們所對(duì)的邊也相等；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)邊相等，

那么它們所對(duì)的角也相等。

3.角平分線定理:角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離

（垂線段）相等。

4.中垂線定理（1）概念:既垂直又平分線段的直線叫垂直平

分線,簡(jiǎn)稱中垂線；

（2）定理:垂直平分線上的任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離

（與端點(diǎn)的連線）相等。

（3）三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到

三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

5.（等腰三角形）知識(shí)點(diǎn)回顧

1.等腰三角形的性質(zhì)

①.等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）

②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互

相重合。（三線合一）

理解：已知等腰三角形的一線就可以推知另兩線。

2、等腰三角形的判定：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊

也相等。（等角對(duì)等邊）

6、（等邊三角形）知識(shí)點(diǎn)回顧

1.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于600o

2、等邊三角形的判定：

①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

②有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。

3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直

角邊等于斜邊的一半。

探索軸對(duì)稱的性質(zhì)

1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；

2.軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。

利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

1.畫點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N:1、過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱軸L的

垂線，垂足為B

2、延長(zhǎng)AB至A',使得B

A=AB

3、點(diǎn)A'就是點(diǎn)A關(guān)于直

線L的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

2.畫線段AB關(guān)于L的對(duì)應(yīng)線段A'B':1、過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱軸

L的垂線AA',使CA=CA'

2、過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱軸L

的垂線BB',使DB=DB

3、連接A'B',A'B'即是關(guān)于直線

L的對(duì)應(yīng)線段。

3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱

圖形A

BCC8-

BC

（1）軸對(duì)稱圖形是指（一'（1）軸對(duì)稱是指（兩個(gè)圖形

區(qū)別具有特殊形狀的圖形，的位置關(guān)系，必須涉及

只對(duì)（一個(gè)）圖形而言;（兩個(gè)）圖形；

（2）對(duì)稱軸不一定只有一條（2）只有（一條）對(duì)稱軸.

如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形

聯(lián)系分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形拼在一起看成一個(gè)整體，那

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

第三章勾股定理

探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為

c,那么?2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方。（一個(gè)直角三角形，以它的兩直角邊為邊長(zhǎng)所作的兩

正方形面積之和等于以它的斜邊為邊長(zhǎng)所作的正方形的面

積）

在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，

長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

注意:電視機(jī)有多少英寸,指的是電視屏幕對(duì)角線的長(zhǎng)度。

勾股數(shù)

L勾股定理的逆定理:若三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足才

+^=cf則該三角形是直角三角形。

在AABC中,a,b,c為三邊長(zhǎng)，其中c為最大邊，

若a2+〃=°2,貝必ABC為直角三角形；

若#+4>°2,則AABC為銳角三角形；

若a2+次02,則AABC為鈍角三角形。

2.勾股數(shù):滿足才+6:4的三個(gè)正整數(shù)（即能構(gòu)成一個(gè)直角

三角形三邊的一組正整數(shù)），稱為勾股數(shù)（勾股數(shù)是正整數(shù)）。

規(guī)律:一組能構(gòu)成直角三角形的三邊的數(shù)，同時(shí)擴(kuò)大或縮小

同一倍數(shù)（即同乘以或除以同一個(gè)正數(shù)），仍能夠成直角三角

形。

一組勾股數(shù)的倍數(shù)不一定是勾股數(shù),因?yàn)槠浔稊?shù)可能是小數(shù),

只有整數(shù)倍數(shù)才仍是勾股數(shù)。

常用勾股數(shù)：3,4,5（三四五）9,12,15（3,4,5的三倍）

5,12,13（5.12記一生）

8,15,17（八月十五在一起）6,8,10⑶4,5的兩倍）

7,24,25（企鵝是二百五）

勾股數(shù)須知:連續(xù)的勾股數(shù)只有3,4,5；連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)

只有6,8,10o

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、C滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三

角形是直角三角形。

根據(jù)勾股定理逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角

形的步驟：

(1)確定最大邊；

(2)算出最大邊的平方，另兩邊的平方和；

(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和，如果相等則

此三角形是直角三角形。不要盲目比較其中任意一邊平方與

另兩邊的平方和的關(guān)系。

勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，

其作用有：

(1)已知直角三角形的任兩邊，求第三邊問(wèn)題；

(2)證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系；

(3)作長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段.

注意：若已知直角三角形的兩邊求第三邊時(shí)，先確定是

直角邊還是斜邊。若求直角邊，則利用勾股定理的變形式或;

若求斜邊，則利用c2=a2+b2；若不能確定則分以上兩種情

況討論。

題型一：直接考查勾股定理

例1.在AABC中，ZC=90°.分析：

直接應(yīng)用勾股定理/+〃?

⑴已知AC=6，BC=8?求”的長(zhǎng)解：⑴

AB=y]AC2+BC2=10

⑵已知AB=17,AC=15,求BC的長(zhǎng)解：⑵

BC=dAB。-AC?=8

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程

例2.⑴在AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,C￡)_LAB于D,

CD=

⑵已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3:4,斜邊長(zhǎng)為15,則

這個(gè)三角形的面積為

⑶已知直角三角形的周長(zhǎng)為30的，斜邊長(zhǎng)為13.，則這個(gè)三

角形的面積為

分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的

乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方

程求解

解：(DAC=〃B、BC2=4,CD=ACBC=2A

AB

⑵設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)分別為3k,4k：.(3Jt)2+(4A:)2=152,.?"=3,S=54

⑶設(shè)兩直角邊分別為a,b,則a+b=17,片+巨=289,可得

ab=60/.S=-ab=30cm2

2

例3.如圖AABC中，ZC=90°,Z1=N2，8=1.5，BD=2.5,求AC的

長(zhǎng)

c

D

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)

解：作DEVAB^Ei

?.?Z1=N2,ZC=90°

DE=CD=L5

在MDE中

NBED=90°,BE=yjBD2-DE2=2

Rt/SACD=Rt/SAED

：.AC=AE

在Rt/^ABC中，NC=90°

/.AB2=AC2+BC2，(AE+EB)2=AC2+42:.AC=3

例4.如圖Rt^ABC,ZC=90°AC=3,BC=4,分別以各邊為直徑作半圓,

求陰影部分面積

AB

答案：6

題型三：實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高85，另一棵高2皿，兩樹相距8cm,

一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了

m

A

△

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB=8/n9CD=2m,BC=8m9

過(guò)點(diǎn)。作DE±AB9垂足為E,貝!|A￡=6機(jī)，DE=8m

在RfAWE中，由勾股定理得AQ=JA￡+QE2=10

答案：10m

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角

三角形

例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為“，b,c,判定AzWC是否為根

①“45，b=2,c=25②，，］,=|

222222

解：??.?a+6=1.5+2=6.25,c=2.5=6.25

.-.A4BC是直角三角形且NC=90。

②..E+C2=U,/=生，從+,2匐2.48C不是直角三角形

916

例7.二邊長(zhǎng)為a,b,c滿足a+A=10,a〃=18,c=8的二角形是什

么形狀？

解：此三角形是直角三角形

222

理由：；a+b=(a+b)-2ab=64,且c?=64

.-.a2+b2=c2所以此三角形是直角三角形

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知AABC中，AB=l3cm,BC=10cm,邊上的中線">=12加,

求證：AB=AC

證明：

為中線,,.BD=DC=5cm

在中，VA￡)2+BD2=169,AB2=169z.Alf+BD1=AB2,

.-.ZADB=90°tACZ=AD2+DC2=\69JAC=13cm,:.AB=AC

第四章實(shí)數(shù)

rr]正整數(shù)

,'[整數(shù)｝零、

Y有晶J負(fù)整數(shù)>有限小

數(shù)或電限循環(huán)小數(shù)

IIJ正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

小數(shù)

1.實(shí)數(shù)

正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

數(shù)軸上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

絕對(duì)值

aQa>O)

|a\=<O(a=O)

—vO)

無(wú)理數(shù)

有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示。反過(guò)來(lái)，任

何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。

1.無(wú)理數(shù)的概念：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)(兩個(gè)條件:①

無(wú)限②不循環(huán))。

練習(xí)：下列說(shuō)法正確的是()

(A)無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；

(B)帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)；

(C)無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；

(D)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)

2.無(wú)理數(shù)：(1)特定意義的數(shù)，如n；

(2)特定結(jié)構(gòu)的數(shù)；如2.02002000200002…

(3)帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)不盡方，如

3.分類:正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)。

算術(shù)平方根定義如果一個(gè)非負(fù)數(shù)X的平方等于即/

那么這個(gè)非負(fù)數(shù)X就叫做〃的算術(shù)平方根，記為，T,

算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)近20

正數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)

平方根，o的平方根是9

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根

2.無(wú)理數(shù)的表示定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于“，即Y=a,那么這個(gè)數(shù)就

叫做。的平方根，記為土布

正數(shù)的立方根是正數(shù)

立方根，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)

o的立方根是9

定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于“，即1=4,那么這個(gè)數(shù)X

就叫做〃的立方根，記為妙.

概念有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)

正數(shù)

f有理數(shù).、

分類，或＜0

無(wú)理數(shù)

負(fù)數(shù)

3.實(shí)數(shù)及其相關(guān)概念■

絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義同有理數(shù)

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律與有理數(shù)的運(yùn)算法則

運(yùn)算規(guī)律相同。

平方根

1.定義:如果一個(gè)數(shù)X的平方等于a,即f=a,那么這個(gè)數(shù)x

叫做a的平方根（也叫做二次方根）。

2.表示方法：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，一個(gè)是a的算術(shù)平方根

;另一個(gè)是一，它們是一對(duì)互為相反數(shù)，合起來(lái)是

3.開(kāi)平方:求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方（其中,a

叫被開(kāi)方數(shù)，且a為非負(fù)數(shù)）。開(kāi)平方與乘方是互為逆運(yùn)算。

判斷：（1）2是4的平方根（）

（2）-2是4的平方根（）

（3）4的平方根是2（）

（4）4的算術(shù)平方根是-2（）

（5）17的平方根是（）

（6）-16的平方根是-4（）

小結(jié)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);

0只有一個(gè)平方根,它是0本身；

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

立方根

L定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即爐=%那么這個(gè)數(shù)

x叫做a的立方根（三次方根）。

2.性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),0的立

方根是0。

3.開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方（其中,a

叫被開(kāi)方數(shù)）。

4.平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別：

⑴聯(lián)系:①0的平方根、立方根都有一個(gè)是0；

②平方根、立方根都是開(kāi)方的結(jié)果。

（2）區(qū)別:①定義不同；②個(gè)數(shù)不同；③表示方法不同；④被

開(kāi)方數(shù)的取值范圍不同。

方根的估算

1.估算無(wú)理數(shù)的方法是（D通過(guò)平方運(yùn)算，采用“夾逼法”，

確定真值所在范圍；（2）根據(jù)問(wèn)題中誤差允許的范圍，在

真值的范圍內(nèi)取出近似值。

2.“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四

舍五入到個(gè)位，答案惟一；誤差小于1m,答案在真值左右

1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于hn就是估

算到個(gè)位，誤差小于10m就是估算到十位。

用計(jì)算器開(kāi)方

實(shí)數(shù)

知識(shí)回顧：1、統(tǒng)稱有理數(shù)；

2、叫做無(wú)理數(shù)；

3、有理數(shù)分為—小數(shù)和小數(shù)；

4、有理數(shù)包括零、o

1.實(shí)數(shù):有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)(正實(shí)數(shù),0和負(fù)實(shí)數(shù))O

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范

圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣。

3.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示,反過(guò)來(lái),數(shù)軸上

的每一點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù),即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)

的。

例：a是一個(gè)實(shí)數(shù),它的相反數(shù)是,絕對(duì)值是

如果aWO,那么它的倒數(shù)是o

第五章平面直角坐標(biāo)系

5.1確定位置

引例：電影票、角、教室座位、經(jīng)緯度

在平面上確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)a和b記作

(a,b),

a表示:排、行、經(jīng)度、角度……

b表示:號(hào)、歹11、緯度、距離……

生活中還有哪些確定位置的其他方法？

(D如果全班同學(xué)站成一列做早操，現(xiàn)在教師想找某個(gè)同學(xué),

是否還需要用2個(gè)數(shù)據(jù)呢？

(2)多層電影院確定座位位置用兩個(gè)數(shù)據(jù)夠用嗎？

必須有三個(gè)數(shù)據(jù)(a,b,c),其中a表示層數(shù)，b表示排

號(hào)，c表示座號(hào)，即“a層b排c號(hào)”。

⑶確定小區(qū)中住戶的位置必須有四個(gè)數(shù)據(jù)，分別為樓號(hào)a,

單元號(hào)b,層數(shù)c和住戶號(hào)d,即“a樓b單元c層d號(hào)?！?/p>

⑷區(qū)域定位法：繪出所在區(qū)域代號(hào)如B3,D5等。排球比賽

隊(duì)員場(chǎng)上的位置等。

準(zhǔn)確定位需幾個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)？

(1)已知在某列或某行上,只需一個(gè)數(shù)據(jù)定位；

(2)在一個(gè)平面內(nèi)確定物體位置,需兩個(gè)數(shù)據(jù)；

(3)在空間中確定物體位置,需要三個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)。

5.2平面直角坐標(biāo)系

1.平面直角坐標(biāo)系:平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)

軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。

坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),第一二三四象限,注意:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬

于任何象限。

2.坐標(biāo):在平面直角坐標(biāo)系中，一對(duì)有序?qū)崝?shù)可以確定一個(gè)

點(diǎn)的位置；反之，任意一點(diǎn)的位置都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)

表示。這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做點(diǎn)的坐標(biāo)。

規(guī)律1：

⑴點(diǎn)P(x,y)在第一象限--^x>0,y>0；點(diǎn)P(x,y)

在第二象限一一xVO,y>0；

點(diǎn)P(x,y)在第三象限—xVO,y<0；點(diǎn)P(x,y)在

第四象限^*-->x>0,y<0o

⑵x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為O,表示為(x,0),y軸上的點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為0,表示為(0,y)

點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離為|y|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,到原點(diǎn)

的距離是。

例:到x軸的距離為2,至IJ,y軸的距離為3的點(diǎn)有個(gè)，

它們是o

規(guī)律2:

⑴關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

⑵關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

⑶關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

⑷平行于x軸的直線上的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)相同，兩點(diǎn)間的距離

-?

9

⑸平行于y軸的直線上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)相同，兩點(diǎn)間的距離

二?

9

⑹一、三象限的角平分線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，可記作：

(m,m)；

⑺二、四象限的角平分線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù),

可記作：(m,-m)o

點(diǎn)撥:同一點(diǎn)在不同的平面直角坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)不同;

根據(jù)實(shí)際需要，可以建適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。

第六章一次函數(shù)

6.1函數(shù)

常量:在變化過(guò)程中，保持不變?nèi)≈档牧拷谐Ａ俊?/p>

變量:在變化過(guò)程中，可以不斷變化取值的量叫變量。

函數(shù):一般地，設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y。如

果對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，

我們稱y是x的函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。

函數(shù)中自變量取值范圍的求法：

(1)用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

(2)用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0

的一切實(shí)數(shù)。

(3)用奇次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)

數(shù)。

用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使

被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)的一切實(shí)數(shù)。

(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分

的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

(5)對(duì)于與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)

際問(wèn)題有意義。

6.2一次函數(shù)

若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k,b為常

數(shù),k不為零)的形式,則稱y是x的一次函數(shù)。x為自變量,y

為因變量。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是X的正比例函數(shù)（正比

例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)）。

6.3一次函數(shù)的圖像

1.函數(shù)圖象的定義：一般的，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量

與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么在坐標(biāo)

平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

2.用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的一般步驟

1、列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。）

注意：列表時(shí)自變量由小到大，相差一樣，有時(shí)需對(duì)稱。

2、描點(diǎn)：（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)

的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。

3、連線：（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描的各點(diǎn)用平滑

的曲線連接起來(lái)）。

3.函數(shù)有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）

解析式法

4.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念：

一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，且kWO）的函數(shù)叫做正比例函

數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。

一般地，形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且kWO）的函數(shù)叫做一

次函數(shù).

當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函

數(shù)的特例.

5,正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

（1）圖象:正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，kWO））的圖象是經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線丫=1?O

（2）性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)第三，一象限，從左向

右上升，即隨著x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx

經(jīng)過(guò)二，四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減

小。

6.求函數(shù)解析式的方法：

待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中

未知的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法。

1.一次函數(shù)與一元一次方程：從“數(shù)”的角度看X為何值時(shí)函

數(shù)y=ax+b的值為0.

2.求好+。=03,力是常數(shù),。00）的解，從“形”的角度看，求

直線尸ax+A與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3.一次函數(shù)與一元一次不等式：

解不等式"+力>0（用>是常數(shù)，aWO）.從“數(shù)”的角度看，

x為何值時(shí)函數(shù)ax+b的值大于0.

4.解不等式°元+。>03,力是常數(shù)，&W0）.從“形”的角度

看,求直線廣改+。在x軸上方的部分（射線）所對(duì)應(yīng)的的

橫坐標(biāo)的取值范圍.

7.一次函數(shù)的性質(zhì)：

（1）當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大；

⑵當(dāng)kVO時(shí),y隨x的增大而減小;

⑶函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,b)O

8.正比例函數(shù)的性質(zhì):

(1)當(dāng)k>0時(shí),圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,v隨x的增大而增大;

⑵當(dāng)k<0時(shí),圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,v隨x的增大而減小;

⑶函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0)o

9.作正比例函數(shù)圖像:

對(duì)于正比例函數(shù)y=kx,通常取兩個(gè)點(diǎn)(0,0),(1,k),兩點(diǎn)的連

線就是其圖象(兩點(diǎn)確定一條直線)，所以正比例函數(shù)的圖象

是一條直線。

10.作一次函數(shù)圖像:

通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來(lái)畫它的圖象。在x軸上的交點(diǎn)

(-b/k,0),y軸上的交點(diǎn)(0,b)

11.一次函數(shù)y=kx+b的圖像的位置與k,b符號(hào)的關(guān)系:

(Dk>0,b>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限;

(2)k>0,b<0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限;

(3)k<0,b>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限;

(4)k<0,b<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限;

(5)k>0,b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；

(6)k