云南省昆明一中2025屆高三數(shù)學(xué)診斷性考試試題理含解析

PAGE20-云南省昆明一中2025屆高三數(shù)學(xué)診斷性考試試題理（含解析）本試卷共4頁(yè)，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答;用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則集合B可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，利用可得出集合．【詳解】集合，滿意條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算的應(yīng)用，考查指數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，就能判別相應(yīng)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第四象限.選D．【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定a，b，c的范圍，進(jìn)而比較大小即可.【詳解】由題可得，，.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.4.在的綻開式中，二次項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈木`開式中的通項(xiàng)公式為，，令，得，所以二次項(xiàng)為，所以二次項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，若，則（）A.511 B.512 C.1023 D.【答案】C【解析】【分析】由求得，再由求得公比，然后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得結(jié)論．【詳解】由得，所以，又因?yàn)?，得，所以，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量法，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合特別值，結(jié)合選項(xiàng)得出函數(shù)的圖象．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，解除A，C，當(dāng)時(shí)，，解除D，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.現(xiàn)有甲、乙、丙丁、戊5種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校要從中隨機(jī)選取2種作為老師“停課不停學(xué)”的教學(xué)工具，則其中甲、乙至少有1種被選取的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】甲、乙至少有1種被選取的狀況有：甲、乙中有一人被選取，甲、乙兩人都被選取，利用古典概率公式分別計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?、乙至少?種被選取的狀況有：甲、乙中有一人被選取，甲、乙兩人都被選取，所以甲、乙至少有種被選取的概率，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.8.已知單位向量，滿意，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算得，進(jìn)而得，從而得答案.【詳解】已知單位向量，，則，滿意，平方得，即，則，進(jìn)而得，所以與夾角是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的概念及范圍，屬于基礎(chǔ)題．9.如圖所示的程序框圖，是為計(jì)，則在空白推斷框中應(yīng)填入的是（）A. B.？ C.？ D.？【答案】A【解析】【分析】依據(jù)程序框圖，確定，由框圖的作用，即可得出結(jié)果.【詳解】由程序框圖可得，中的，，則空白推斷框應(yīng)填，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)全循環(huán)程序框圖，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為，若，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于，拋物線定義得到，再依據(jù)直線：過焦點(diǎn)且傾斜角為，得到為正三角形求解.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于，如圖所示:因，由拋物線定義得：，又直線：過焦點(diǎn)且傾斜角為，所以，所以為正三角形，所以，，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，可得選項(xiàng).【詳解】，設(shè)，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，所以，則，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，一般像這種較為困難函數(shù)求最大值與最小值和相關(guān)問題，常會(huì)考慮函數(shù)本身或者能否構(gòu)建成奇偶函數(shù)相關(guān)問題，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，若存在，使，則a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】存在，使，即．先證明恒成立，利用對(duì)數(shù)恒等式結(jié)合不等式放縮原函數(shù)，求出最值，可得a的最大值．【詳解】構(gòu)造，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；且時(shí)，，則恒成立，即，當(dāng)時(shí)取“”，所以的最小值為，所以，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，再令x=1解出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程．【詳解】解：令，，切線方程為．故填：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程．14.若變量，滿意約束條件，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】滿意約束條件的可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線，當(dāng)最小時(shí)，縱截距最小，所以平移直線過點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)最值，屬于簡(jiǎn)潔題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最終通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15.在等腰中，若，若點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義可求得，可得答案.【詳解】在等腰中，，設(shè)，則，所以，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.16.數(shù)學(xué)中有很多寓意美妙的曲線，曲線被稱為“幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于直線交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，則②存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；④曲線C上存在一個(gè)點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①③【解析】【分析】由對(duì)稱性推斷①，利用基本不等式求得曲線點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值后可推斷②③④．【詳解】曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以①正確；由，所以，即：，當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，點(diǎn)曲線上，而，所以②錯(cuò)誤，③正確，因?yàn)椋寓苠e(cuò)誤，綜上所述，①③正確．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查由方程探討曲線的性質(zhì)，用基本不等式求曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值．應(yīng)用基本不等式求最值是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某地六月份30天的日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表如下：日最高氣溫（單位：）天數(shù)711由于工作疏忽，統(tǒng)計(jì)表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清晰，但供應(yīng)的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為（1）求Y，Z的值；（2）把日最高氣溫高于32℃稱為本地區(qū)的“高溫天氣”，已知該地區(qū)某種商品在六月份“高溫天氣”有2天“旺銷”，“非高溫天氣”有6天“不旺銷”，依據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此是否有95%的把握認(rèn)為本地區(qū)的“高溫天氣”與該商品“旺銷”有關(guān)？說明理由高溫天氣非高溫天氣合計(jì)旺銷不旺銷合計(jì)附：0.0500.0100.0010旺銷3.8416.63510.828【答案】（1），；（2）填表見解析；沒有；答案見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.8，得到日最高氣溫高于的頻率為，由求解.（2）依據(jù)列聯(lián)表，利用求得，比照臨界表下結(jié)論.【詳解】（1）由已知得：日最高氣溫高于的頻率為，所以，.（2）高溫天氣非高溫天氣合計(jì)旺銷不旺銷合計(jì)因?yàn)椋詻]有％的把握認(rèn)為本地區(qū)的“高溫天氣”與該商品“旺銷”有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)表的應(yīng)用以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.18.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，，.（1）求A的值；（2）從①，②兩個(gè)條件中選一個(gè)作為已知條件，求的值.【答案】（1）；（2）選擇見解析；.【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合已知即得解；（2）選擇①，利用正弦定理求出，再利用即得解；選擇②，利用即得解.【詳解】（1）由得：，又因?yàn)?，所?（2）選擇①作為已知條件.在△中，由，以及正弦定理，得，解得，由，得為銳角，所以，因?yàn)樵凇髦校?，所以，所?選擇②作為已知條件，因?yàn)樵凇髦校?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.19.設(shè)數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前的和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)問求出后，再利用裂項(xiàng)公式求和可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，所以（），?dāng)時(shí)，也適合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)?，所以，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)，考查了利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.20.如圖，直三棱柱中，，，D，E分別是BC，的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADE；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)∽，可得，依據(jù)平面，可得，再依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面ADE；（2）因?yàn)椋?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得：，所以∽，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以，而，所以平面ADE；．（2）因?yàn)?，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，取，得，，所以，平面的法向量為，所以，所以，所以，平面與平面所成二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題.21.已知點(diǎn)和直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線2的距離為d，且.（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）已知，若直線與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，證明：P、B、C三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）干脆把已知條件用坐標(biāo)表示并化簡(jiǎn)即得軌跡方程；（2）設(shè)，，則，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去后整理后應(yīng)用韋達(dá)定理有，由兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程，由證明直線過點(diǎn)即證得結(jié)論．【詳解】解：（1）由已知，，所以，化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程：．（2）設(shè)，，則，由，得：，此時(shí)，所以，，由直線的方程：得：，令，則，所以直線過點(diǎn)，即，，三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查用干脆法求軌跡方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法．本題屬于中檔題．直線過定點(diǎn)的兩類問題：（1）未知定點(diǎn)，用參數(shù)寫出直線方程，參數(shù)較多時(shí)，可通過已知條件消去多余的參數(shù)，只留下一個(gè)參數(shù)，利用此方程關(guān)于參數(shù)是恒等式可得定點(diǎn)坐標(biāo)．（2）已知定點(diǎn)，同樣用參數(shù)表示出直線方程，驗(yàn)證定點(diǎn)在此直線上即可．22.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由，得，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)