高中數(shù)學習題2：高中數(shù)學人教A版2019 選擇性必修 第一冊 橢圓及其標準方程

二十橢圓及其標準方程

（25分鐘?50分）

一、選擇題（每小題5分，共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,

有選錯的得0分）

1.（多選題）已知在平面直角坐標系中，點A（-3,0）,B（3,0）,點P為一動點，且

|PA|+|PB|=2a（a20）,給出下列說法中正確的說法是（）

A.當a=2時，點P的軌跡不存在

B.當a=4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3

C.當a=4時，點P的軌跡是橢圓，旦焦距為6

D.當a=3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓

2.已知橢圓過點P（|,-4）和點Q（-g,3），則此橢圓的標準方程是（）

A.+x2=lB.—+y2=l或X2+2L=1

252525

C.L+y2=lD.以上都不對

25

3.若曲線ax2+by2=l為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a,b滿足（）

A.a2>b2B.i<i

ab

C.0<a<bD.0<b<a

4.橢圓5x2+ky-5的一個焦點是（0,2）,那么k=（）

A.-lB.1C.75D.一麻

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.橢圓x2+ky2=l的焦距為貝Uk=.

6.已知橢圓中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓與x軸的一個交點到兩焦點的距

離分別為3和1,則橢圓的標準方程為.

三、解答題（每小題10分，共20分）

7.設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且

|MD|=1|PD|.

5

當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程.

8.已知點P(6,8)是橢圓立+以1(a>b>0)上一點，為橢圓的兩焦點，若

a2b2

PF,?PF2=O.試求

(1)橢圓的方程.

(2)sinNPFR的值.

(15分鐘，30分)

22

1.(5分)橢圓土+2=1上的點M到焦點E的距離為2,N為ME的中點,pliJ|ON|(0為

259

坐標原點)的值為()

A.8B.2C.4D.-

2

2.(5分)已知F,(-1,0),F/U,0)是橢圓C的兩個焦點,過Fz且垂直于x軸的直線交

橢圓C于A,B兩點，且|AB|=3,則橢圓C的方程為()

A.E+yJlB.吟亡=1

232

C.t+WD.==1

4354

3.(5分)已知F是橢圓5x?+9y2=45的左焦點,P是此橢圓上的動點,A(1,1)是一定點，

則IPA|+1PF|的最大值為,最小值為.

4.(5分)在平面直角坐標系xOy中，已知aABC頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢

圓正+吐1上,則s—+s汾J______

259sinB

5.(10分)已知橢圓C:^+^=l(a>b>0)的左、右焦點分別為R,F2,點E在橢圓C上,

a2b2

且EF」FFz/EF』=±,|EF2|=—,求橢圓C的方程.

33

1.已知橢圓C：L+y2=l的焦點F(l,0),直線J:x=2,點AW/,線段AF交C于點B,若

2

FA=3FB,5!lJ|AF|=I)

A.73B.2C.72D.3

【加練?固】

已知圓E:&+1)2+/=16,點F(l,0),P是圓E上的任意一點,線段PF的垂直平

分線和半徑PE相交于點Q,則動點Q的軌跡方程為.

2.設F“Fz分別是橢圓L+y2=l的左、右焦點,B為橢圓上的點且坐標為(0,-1).

4

⑴若P是該橢圓上的一個動點，求|PF』?|PFz|的最大值.

⑵若C為橢圓上異于B的一點，且RF,=xC*,求人的值.

(3)設P是該橢圓上的一個動點,求△PBE的周長的最大值.

二十橢圓及其標準方程

(25分鐘?50分)

一、選擇題(每小題5分，共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,

有選錯的得0分)

1.(多選題)已知在平面直角坐標系中，點A(-3,0),B(3,0),點P為一動點，且

|PA|+|PB|=2a(a?0),給出下列說法中正確的說法是()

A.當a=2時，點P的軌跡不存在

B.當a=4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3

C.當a=4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6

D.當a=3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓

【解析】選AC.當a=2時，2a=4〈|AB|,故點P的軌跡不存在，A正確；當a=4

時,2a=8>|AB],故點P的軌跡是橢圓,且焦距為|AB|=6,B錯誤,C正確；當a=3時，點

P的軌跡為線段AB,D錯誤.

2.已知橢圓過點Pg,-4)和點3),則此橢圓的標準方程是()

A.l-+x2=lB.：—+y2=l或xz+—=1

252525

2

C.—r+y2=lD.以上都不對

25

f-X+165=1,

【解析】選A.設橢圓方程為Ax2+By2=l(A>0,B>0),由題意得《蕓解

隹A+9B=1,

(25

(A=1,

得1.

I25

所以此橢圓的標準方程為匕+X2=1.

25

3.若曲線ax2+by2=l為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a,b滿足()

A.a2>b2B.i<i

ab

C.0<a<bD.0<b<a

%2y2

【解析】選C.由題意，曲線ax2+by2=l可化為:=1.

ab

因為曲線ax2+by2=l為焦點在x軸上的橢圓，

11

所以—>_〉0,所以b〉a>0.

ab

4.橢圓5x2+ky2=5的一個焦點是(0,2),那么k=()

A.-1B.1C.V5D.-V5

y2

【解析】選B.由5x2+ky2=5得,x2+-5-=l.

k

因為焦點為(0,2),所以六三,b2=l,

k

所以c2=a2-b2=--l=4,所以k=l.

k

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.橢圓x2+ky-l的焦距為則k=.

2儼

【解析】橢圓x2+ky2=l轉換為標準形式±+丁=1,

1k

當焦點在X軸上時,c2=l」,即2c=2Il-i=V2>解得k=2,

k\k

當焦點在y軸上時,c^2T,即2c=2I--1，

ky/k

2

解得k=-.

3

答案：2或三

3

6.已知橢圓中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓與x軸的一個交點到兩焦點的距

離分別為3和1,則橢圓的標準方程為.

【解析】由題意可得所以(0-7

\a-c=1.lc=1.

22

故b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為土+2=1.

43

答案:蘭+吐1

43

三、解答題(每小題10分，共20分)

7.設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且

|MD|=-|PD|.

5

當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程.

［解析］設點M的坐標是(x,y),P的坐標是(xp,%),

4，

因為點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,1.|MD|=-|PD，所以x產(chǎn)x,且y=-y.

5P4

因為P在圓x2+y2=25上，

22222

所以x2+f-v)=25,整理得L+匕=1,即點M的軌跡C的方程是二十匕=1.

V4Z725162516

22

8.已知點P(6,8)是橢圓L+匕=l(a>b>0)上一點，F(xiàn)“R為橢圓的兩焦點，若

a2b2

PF,,PF2=0.試求

(1)橢圓的方程.

(2)sinNPFE的值.

【解析】⑴因為函?PF,=0,

所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,

所以F(T0,0),F2(10,0),所以2a=1PF/+|PF21

(6+10)2+82+J(6-10)2+82=12V5.

所以a=6j5,b2=80.所以橢圓方程為三卜匕1.

18080

⑵如圖所示，

過點P作PM_Lx軸,垂足為M,

則|PM|=8,|FM〕T0+6=16,

22=22=8

所以IPF』=JpM+F]MV8+16V5>

\PM\_8_x/5

所以sinZPF)F2=-

IPF1I8^5

（15分鐘?30分）

22

1.（5分）橢圓二+匕=1上的點M到焦點F,的距離為2,N為明的中點,pliJIONl（0為

259

坐標原點）的值為（）

A.8B.2C.4D.-

2

【解析】選C.由橢圓定義知|MF』+|MF2|=2a=10,又|MF1=2,所以|MFz|=8,由于N為

MF,的中點，所以0N為△FiMF2的中位線,所以10用=3MB|=4.

2

2.（5分）已知F,（-1,0）,R（l,0）是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交

橢圓C于A,B兩點，且|AB|=3,則橢圓C的方程為（）

2

A.^+y=l&次+亡=1

232

仁立+乙1D.心亡=1

4354

【解析】選C.設橢圓的方程為百+亡=l（a〉b>0）,

a2b2

令x=c,貝Uy=±—,SIABI=3,得更名①，

aa

又1七2=。2=1,②

22

聯(lián)立①②得a2=4,b2=3.所以橢圓的方程為土+2L=1.

43

3.(5分)已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點,P是此橢圓上的動點,A(1,1)是一定點,

則IPA|+1PF|的最大值為,最小值為.

22

【解析】橢圓方程化為土十二=1,

95

設K是橢圓的右焦點，則&(2,0),

所以|AFj=/,|PA|+|PF|=|PA|TPF1+6,

又-|AF』WIPAHPFJW|AF』(當P,A,F,共線時等號成立)，所以|PA國PF|W

6+V2-IPA|+|PF|>6-V2-

答案：6+或6-72

4.(5分)在平面直角坐標系xOy中,已知4ABC頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢

圓立只匕1上,則S+SEJ_____.

259sinB

【解析】由題意知,A,C為橢圓的兩焦點,

則|AC=8,|AB|+|BC1=10.所以sinA+sbig_BC|+|AB_10_5

sinB\AC\84

答案？

5.(10分)已知橢圓C：—+^=l(a>b>0)的左、右焦點分別為F?艮,點E在橢圓C上,

a2b2

且EF」FFz/EF』=±,|EF」=上求橢圓C的方程.

33

【解析】因為點E在橢圓C上所以2a=啪1+質號?6,即a=3.

在RtZ\EFE中,

=22==2

IFF」JEF2-\EFjV20V5>

所以橢圓c的半焦距c=V5.

所以b2=a2-c2=9-5=4,

22

所以橢圓C的方程為土+二=1.

94

y2

1.已知橢圓C:土+y2=l的焦點F(l,0),直線Lx=2,點AC1,線段AF交C于點B,若

2

FA=3FB,5HJ|AF|=I)

A..y/3B.2C.y[2D.3

【解析】選C.設A(2,yo),B(x“yJ,3=(l,y。)，G=(x「l,yJ,由誨=34,即

(1,Yo)=3(x「l,y),

4

打二一，

所以ITJ，又點B在橢圓C上,

所以G)+(￡)2=1,解得y0=±l,所以A點坐標為⑵±1),

所以?武尸J(2-1)2+(±卜0)2:6.

【加練?固】

已知圓E:(x+l)2+y2=16,點F(l,0),P是圓E上的任意一點,線段PF的垂直平

分線和半徑PE相交于點Q,則動點Q的軌跡方