2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十一章 第三節(jié) 隨機(jī)事件的概率與古典概型含答案

14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十一章第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查隨機(jī)事件、樣本點(diǎn)、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.有限樣本空間與隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果.(2)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)隨機(jī)事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算項(xiàng)目含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生__A?B__

相等關(guān)系B?A且A?B__A=B__

并(和)事件__A與B至少一個(gè)發(fā)生__

A∪B或A+B交(積)事件A與B同時(shí)發(fā)生__A∩B或AB__

互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生__A∩B=?,且A∪B=Ω__

【微點(diǎn)撥】互斥事件不一定是對(duì)立事件,但是對(duì)立事件一定是互斥事件.3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(?)=0.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B).(5)如果A?B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).4.古典概型(1)古典概型及其特點(diǎn)①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);②等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).5.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).【微點(diǎn)撥】概率是一個(gè)常數(shù),是一個(gè)理論值,不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個(gè)試驗(yàn)值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,是一個(gè)變量.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12,3451.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的有 ()A.事件發(fā)生的頻率與概率是相同的B.兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生C.從-3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同D.若A∪B是必然事件,則A與B是對(duì)立事件【解析】選BC.因?yàn)轭l率的穩(wěn)定值為概率,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由兩個(gè)事件的和事件的定義可知,選項(xiàng)B正確;因?yàn)閺?3,-2,-1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù),不是小于0,就是不小于0,各有12因?yàn)橹挥蠥∪B是必然事件,且A∩B=?時(shí),A與B是對(duì)立事件,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.2.(必修第二冊(cè)P235練習(xí)1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.(必修第二冊(cè)P246習(xí)題9改編)從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】選B.由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.(樣本點(diǎn)理解錯(cuò)誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè),現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次,每次摸取一個(gè),觀察摸出球的顏色,則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)摸3次,所以隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個(gè).5.(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為________.

【解析】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C5甲、乙都入選的方法數(shù)為C3所以甲、乙都入選的概率P=310答案:3【巧記結(jié)論·速算】若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).【即時(shí)練】根據(jù)多年氣象統(tǒng)計(jì)資料,某地在夏至當(dāng)日下雨的概率為0.45,陰天的概率為0.20,則該地在夏至當(dāng)日為晴天的概率為 ()A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75【解析】選C.該地在夏至當(dāng)日下雨的概率為0.45,陰天的概率為0.20,則該地在夏至當(dāng)日為晴天的概率為P=1-0.45-0.20=0.35.【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率[例1](1)(多選題)一部機(jī)器有甲、乙、丙三個(gè)易損零件,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),每個(gè)零件至多會(huì)出故障一次,工程師統(tǒng)計(jì)了近100個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計(jì)概率,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),下列說法正確的是 ()A.至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8B.有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更大C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大【解析】選AD.由題圖可知,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)機(jī)器正常的概率為20100=0.2,則至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率為10+15+5100=0.3,只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為15+20+10100=0乙零件發(fā)生故障的概率為20+10+5+5100=0.4,甲零件發(fā)生故障的概率為15+10+15+5100=0由題圖可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正確.(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為 ()A.134石 B.169石C.338石 D.1365石【解析】選B.這批米內(nèi)夾谷約為28254×1534≈169(石)【解題技法】利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求隨機(jī)事件的概率(1)利用頻率的計(jì)算公式計(jì)算出頻率;(2)根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.某班要選一名學(xué)生做代表,每個(gè)學(xué)生當(dāng)選的概率是相同的,若“選出代表是男生”的概率是“選出代表是女生”的概率的13,則這個(gè)班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是__________【解析】設(shè)“選出代表是女生”的概率為a,則“選出代表是男生”的概率為13a,因?yàn)閍+13a=1,所以a=3答案:75%2.通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí),收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成,如某人收到的驗(yàn)證碼(a1a2a3a4)滿足a1<a2<a3<a4,則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼,某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼,則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為________.

【解析】因?yàn)閍1=2,2<a2<a3<a4,所以a2,a3,a4從3,4,5,6,7,8,9中選,選出3個(gè)數(shù),讓其按照從小到大的順序排列,有C710000(種),所以它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為3510000答案:7【加練備選】1.假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為__________.【解析】?jī)纱螖S飛鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1,2,3,4之一.它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個(gè),因此所求的概率為1020=1答案:12.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如表:

投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率;(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少?(3)若這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進(jìn)8次嗎?【解析】(1)表中進(jìn)球的頻率分別為:68=0.75,810=0.8,1215=0.8,1720=0.85,2530=56,3240=0(2)由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動(dòng),故這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是0.8.(3)不一定,一名運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會(huì)投進(jìn)8次.考點(diǎn)二互斥事件與對(duì)立事件[例2](1)從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩球,下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是 ()A.至少有一個(gè)紅球;至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球;都是白球C.至少有一個(gè)紅球;都是白球D.至多有一個(gè)紅球;都是紅球【解析】選B.對(duì)于A,“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球,“至少有一個(gè)白球”可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球,故兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生,所以不是互斥事件;對(duì)于B,“恰有一個(gè)紅球”,則另一個(gè)必是白球,與“都是白球”是互斥事件,而任取兩球還可能都是紅球,故兩個(gè)事件不是對(duì)立事件;對(duì)于C,“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白,與“都是白球”顯然是對(duì)立事件;對(duì)于D,“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白,與“都是紅球”是對(duì)立事件.(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中,事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”,則在一次試驗(yàn)中,事件A+B發(fā)生的概率為 ()A.13 B.12 C.23 【解析】選C.擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果,依題意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因?yàn)锽表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,所以事件A與B互斥,從而P(A+B)=P(A)+P(B)=13+13=【解題技法】1.求簡(jiǎn)單的互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法解此類問題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出所給的兩個(gè)事件是互斥事件還是對(duì)立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.(2)間接求法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)下列說法中正確的有 ()A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對(duì)立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件【解析】選ABC.事件A與事件B互斥,則A,B不可能同時(shí)發(fā)生,所以P(AB)=0,故A正確;事件A與事件B是對(duì)立事件,則事件B即為事件A,所以P(A+B)=1,故B正確;事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生,且二者必有一個(gè)發(fā)生,所以為對(duì)立事件,故C正確;事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生,即丙分得的是紅牌,所以不是互斥事件,故D錯(cuò)誤.2.一只袋子中裝有7個(gè)紅球,3個(gè)綠球,從中不放回地任意抽取兩次,每次只取一個(gè),取得兩個(gè)紅球的概率為715,取得兩個(gè)綠球的概率為115,則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為________;至少取得一個(gè)紅球的概率為【解析】由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件,取得兩個(gè)同色球,只需兩個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可,因而取得兩個(gè)同色球的概率為P=715+115=815.由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件,則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)=1-P(B)=1-1答案:815【加練備選】1.(多選題)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機(jī)},事件B={兩彈都沒擊中飛機(jī)},事件C={恰有一彈擊中飛機(jī)},事件D={至少有一彈擊中飛機(jī)},則下列關(guān)系正確的是 ()A.AD=? B.BD=?C.A+C=D D.A+B=B+D【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中且第二枚沒中或第一枚沒中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠?,BD=?,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A與河流B是水庫C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時(shí)不缺水的概率是0.65.則水庫C不缺水的概率為__________.【解析】記“河流A不缺水”為事件A,記“河流B不缺水”為事件B,記“水庫C不缺水”為事件C,則P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.即水庫C不缺水的概率為0.95.答案:0.95

考點(diǎn)三古典概型[例3](1)(2022·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為 ()A.15 B.13 C.25 【解析】選C.從6張卡片中無放回抽取2張,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15種情況,其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6種情況,故所求概率為615=2(2)將5名支援某地區(qū)的醫(yī)生分配到A,B,C三所醫(yī)院,要求每所醫(yī)院至少安排1人,則其中甲、乙兩名醫(yī)生恰好分配到同一醫(yī)院的概率為 ()A.12 B.625 C.716 【解析】選B.由題意可知,分配情況分為兩類:3,1,1或2,2,1,其方法總數(shù)為C53A33+C52C32C11A22·【解題技法】1.古典概型的概率求解步驟(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n(樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解方法主要是利用排列組合知識(shí),也可以利用列舉法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k;(3)代入公式P(A)=kn求解2.涉及“至多”或“至少”以及正面較復(fù)雜而對(duì)立面較簡(jiǎn)單的情況下可以利用對(duì)立事件的概率公式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”.現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片,則一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的概率是 ()A.23 B.13 C.29 【解析】選C.記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A,B,C,則樣本點(diǎn)有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9個(gè),其中一張為“琮琮”,一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A,B),(B,A),共2個(gè),所以所求的概率P=292.某校選定4名教師去3個(gè)地區(qū)支教(每地至少1人),則甲、乙兩人不在同一地區(qū)的概率是________.

【解析】該校選定4名教師去3個(gè)地區(qū)支教(每地至少1人),基本事件總數(shù)n=C42C甲、乙兩人在同一地區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)k=C22A33=6,所以甲、乙兩人不在同一地區(qū)的概率是P=1-k答案:5【加練備選】(2023·南通質(zhì)檢)我國數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素?cái)?shù)”研究方面取得突破,孿生素?cái)?shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù),就是指兩個(gè)相差2的素?cái)?shù),例如5和7.在大于3且不超過20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為 ()A.356 B.328 C.17 【解析】選D.大于3且不超過20的素?cái)?shù)為5,7,11,13,17,19,共6個(gè),隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),分別為(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15種選法,其中恰好是一組孿生素?cái)?shù)的有(5,7),(11,13),(17,19),共3種,故隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù),恰好是一組孿生素?cái)?shù)的概率為315=1第四節(jié)事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系,會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.3.會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查相互獨(dú)立事件、條件概率、全概率;條件概率、全概率是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.相互獨(dú)立事件(1)概念:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

(2)性質(zhì):若事件A與B相互獨(dú)立,那么A與B,A與B,A與B也都相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念:一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=P(AB)P(A(2)兩個(gè)公式:①利用古典概型:P(B|A)=n(②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.

【微點(diǎn)撥】P(B|A)與P(A|B)是兩個(gè)不同的概率,前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率.3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組__兩兩互斥__的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=.我們稱此公式為全概率公式.

【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是 ()A.對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)C.拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A,“第二枚正面朝上”為事件B,則A,B相互獨(dú)立D.若事件A1與A2是對(duì)立事件,則對(duì)任意的事件B?Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】選BCD.因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立時(shí)公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)槭录嗀,B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=P(AB)P(因?yàn)閽仈S2枚質(zhì)地均勻的硬幣,第一枚正面朝上,與第二枚正面的朝向無關(guān),所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)槭录嗀1與A2是對(duì)立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以選項(xiàng)D正確.2.(必修第二冊(cè)P253習(xí)題4改條件)甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題,破解出此謎題的概率分別為12,23,則此謎題沒被破解出的概率為 (A.16 B.13 C.56 【解析】選A.設(shè)“甲獨(dú)立地破解出此謎題”為事件A,“乙獨(dú)立地破解出此謎題”為事件B,則P(A)=12,P(B)=2故P(A)=12,P(B)=13,所以P(AB)=12×13=3.(條件概率公式使用錯(cuò)誤)已知3件次品和2件正品混在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是 ()A.310 B.35 C.12 【解析】選C.設(shè)事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,則在第一次取出次品的條件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=P(4.(2022·天津高考)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為________;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為________.

【解析】由題意,設(shè)第一次抽到A為事件B,第二次抽到A為事件C,則P(BC)=452×351=1221,P(B)=4所以P(C|B)=P(BC)P(答案:1221【巧記結(jié)論·速算】如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).【即時(shí)練】從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員,已知這批學(xué)生體型合格的概率為13,視力合格的概率為16,其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為15,從中任選一名學(xué)生,則該生各項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響) A.49 B.190 C.45 【解析】選B.各項(xiàng)均合格的概率為13×16×15【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一事件的相互獨(dú)立性角度1事件獨(dú)立性的判斷[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則 ()A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【解析】選B.設(shè)甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D).則P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=P(D)=66×6=1對(duì)于A選項(xiàng),P(AC)=0;對(duì)于B選項(xiàng),P(AD)=16×6=1對(duì)于C選項(xiàng),P(BC)=16×6=1對(duì)于D選項(xiàng),P(CD)=0.若兩事件X,Y相互獨(dú)立,則P(XY)=P(X)P(Y),因此B選項(xiàng)正確.【解題技法】?jī)蓚€(gè)事件相互獨(dú)立的判斷方法(1)定義法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)充要條件法:事件A,B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng),號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的主力軍,開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí),設(shè)事件A=“甲、乙兩人所選課程恰有一門相同”,事件B=“甲、乙兩人所選課程完全不同”,事件C=“甲、乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”,則 ()A.A與B為對(duì)立事件 B.A與C互斥C.A與C相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立【解析】選C.依題意,甲、乙兩人所選課程有如下情形:①有一門相同;②兩門都相同;③兩門都不相同.故A與B互斥不對(duì)立,A與C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C2角度2獨(dú)立性事件的概率[例2](2023·臨沂模擬)“11分制”乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,若甲先發(fā)球,兩人又打了2個(gè)球后該局比賽結(jié)束的概率為________;若乙先發(fā)球,兩人又打了4個(gè)球后該局比賽結(jié)束,則甲獲勝的概率為________.

【解析】記兩人又打了X個(gè)球后該局比賽結(jié)束,設(shè)雙方10∶10平后的第k個(gè)球甲得分為事件Ak(k=1,2,3…),則P(X=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先發(fā)球,且甲獲勝的概率P=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5=0.答案:0.50.1【解題技法】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積.(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2020·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.【解析】(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為116(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為116乙連勝四場(chǎng)的概率為116丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-116-116-1(3)丙最終獲勝有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116,18,因此丙最終獲勝的概率為18+116+18+1【加練備選】某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成,元件1和元件2同時(shí)正常工作,或元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件正常工作的概率均為34,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件正常工作的概率為 (A.764 B.1532 C.2732 【解析】選D.討論元件3正常與不正常:第一類,元件3正常,上部分正?；虿徽６疾挥绊懺摬考９ぷ?則正常工作的概率為34×1=34;第二類,元件3不正常,上部分必須正常,則正常工作的概率為14×(34×34)=964,故該部件正常工作的概率為考點(diǎn)二條件概率[例3](1)七巧板是中國民間流傳的智力玩具.它是由如圖所示的七塊板組成:五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.可以拼成人物、動(dòng)物、植物、房亭、樓閣等多種圖案.現(xiàn)從七巧板中取出兩塊,已知取出的是三角形,則兩塊板恰好是全等三角形的概率為 ()A.35 B.25 C.27 【解析】選D.設(shè)事件A為“從七巧板中取出兩塊,取出的是三角形”,事件B為“兩塊板恰好是全等三角形”,則P(AB)=2C72=221,P(A)=所以P(B|A)=P(AB)P((2)(2022·新高考Ⅰ卷改編)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):項(xiàng)目不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.P(B|A①證明:R=P(A|②利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|B)的估計(jì)值,并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值.【解析】①因?yàn)镽=P(B|A)P(B|A)所以R=P(AB)P(B)所以R=P(A|②由已知P(A|B)=40100=2P(A|B)=10100=1又P(A|B)=60100=3P(A|B)=90100=9所以R=P(A|B)P所以指標(biāo)R的估計(jì)值為6.【解題技法】求條件概率的常用方法(1)定義法:P(B|A)=P((2)樣本點(diǎn)法:P(B|A)=n(【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪,在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為 ()A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解析】選A.根據(jù)題意,在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),設(shè)選出的同學(xué)愛好滑冰為事件A,選出的同學(xué)愛好滑雪為事件B,由于該地中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪,則P(