2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第五節(jié) 第1課時(shí) 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程含答案

10版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第五節(jié)第1課時(shí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程第五節(jié)橢圓第1課時(shí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會(huì)利用待定系數(shù)法確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【考情分析】考點(diǎn)考法:橢圓是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容,其中求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常出現(xiàn)在解答題的第一問中.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.【微點(diǎn)撥】(1)當(dāng)|PF1|+|PF2|=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2.(2)當(dāng)|PF1|+|PF2|<|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P不存在,無軌跡.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上:x2a2+y2b2(2)焦點(diǎn)在y軸上:y2a2+x2b2【微點(diǎn)撥】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大;焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.(2)a,b,c的關(guān)系:a2=b2+c2.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條直線【解析】選CD.因?yàn)?a=|F1F2|=8,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2,不是橢圓,故A錯(cuò)誤;由于2a<|F1F2|,動(dòng)點(diǎn)不存在,因此軌跡不存在,故B錯(cuò)誤;由于2a=|MF1|+|MF2|>|F1F2|,符合橢圓的定義,故C正確;平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線,故D正確.2.(選擇性必修第一冊P109練習(xí)T3變條件)已知橢圓C:x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),則△ABFA.10 B.15 C.20 D.25【解析】選C.由題意橢圓的長軸長為2a=225=10,由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周長是20.3.(2023·全國甲卷)設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,若PF1·PF2=0,則|PF1|·|PFA.1 B.2 C.4 D.5【解析】選B.方法一:因?yàn)镻F1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,從而S△F1PF2=b2tan45°=1=12×|PF1方法二:因?yàn)镻F1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由橢圓方程可知,c2所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|=2a=25,平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF14.(忽略隱含條件)若方程x25-k+y2k-【解析】由已知得5解得3<k<5且k≠4.【巧記結(jié)論·速算】橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示,設(shè)∠F1PF2=θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí),θ最大,S△F(2)S△F1PF2=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a+c).【即時(shí)練】1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是橢圓C:x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為A.13 B.12 C.9 D.6【解析】選C.由橢圓的定義可知,|MF1|+|MF2|=2a=6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|M當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時(shí)等號(hào)成立.2.設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:x2a2+y24=1(a>2)上一點(diǎn),F1,且∠F1PF2=60°,則△PF1F2的面積為__________.

【解析】方法一:由題意知,c=a2又∠F1PF2=60°,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2a2所以|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos60°=4a2-3|PF1||PF2|=4a2-16,所以|PF1||PF2|=163所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1方法二:由題意得b2=4,∠F1PF2=60°,所以S△PF答案:4【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用教考銜接類題串串聯(lián)題號(hào)類題說明(1)源自教材第108頁例2.此題可知一個(gè)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓(2)源自教材第108頁例3.此題給出橢圓的另一種定義方式(3)源自教材第113頁例6.此題給出橢圓的另一種定義方式[例1](1)如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),則線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為__________.

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0),由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn),得x=x0,y=y0因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,所以x02+y0把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即x24+y2答案:x24+y(2)如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是-49,則點(diǎn)M的軌跡方程為__________【解析】(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(-5,0),所以直線AM的斜率為kAM=yx+5(同理,直線BM的斜率為kBM=yx-5由已知,有yx+5·yx-5化簡,得點(diǎn)M的軌跡方程為x225+y2100答案:x225+y2(3)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線l:x=254的距離的比是常數(shù)45,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為【解析】(3)設(shè)d是點(diǎn)M到直線l:x=254根據(jù)題意,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合P=M|由此得,(x-4將上式兩邊平方,并化簡,得9x2+25y2=225,即x225+y答案:x225+【解題技法】(1)在圓x2+y2=a2(a>0)上取一點(diǎn)P(不取x軸上的點(diǎn)),過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD上的點(diǎn)M滿足|MD||PD|=ba(a(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)(a>0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是c2a2-1(a>c>0),則動(dòng)點(diǎn)(3)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線l:x=a2c(a>c)的距離的比是常數(shù)ca,則動(dòng)點(diǎn)【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·麗江模擬)一動(dòng)圓P與圓A:(x+1)2+y2=1外切,而與圓B:(x-1)2+y2=64內(nèi)切,那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是 ()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支【解析】選A.設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,又圓A:(x+1)2+y2=1的半徑為1,圓B:(x-1)2+y2=64的半徑為8,則|PA|=r+1,|PB|=8-r,可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),長軸長為9的橢圓.2.(2024·梅州模擬)已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若|AF2|=4,則△AF1F2的面積為A.23 B.13 C.4 D.15【解析】選D.橢圓C:x29+y25=1中,|F1F2|=29-5=4,由|因此△AF1F2為等腰三角形,底邊上的高h(yuǎn)=|AF2|2所以S△AF1F2=12|考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【考情提示】高考對橢圓方程的考查常以解答題的形式出現(xiàn),有關(guān)橢圓的幾何性質(zhì)的求解也常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).角度1定義法[例2]已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是 ()A.x264-y248=1 B.C.x248-y264=1 D.【解析】選D.設(shè)動(dòng)圓的圓心M(x,y),半徑為r,圓M與圓C1:(x-4)2+y2=169內(nèi)切,與圓C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由橢圓的定義,M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn),長軸長為16的橢圓,則a=8,c=4,所以b2=82-42=48,動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x264+y角度2待定系數(shù)法[例3]已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點(diǎn)(-32,52),(3,-5),則橢圓的方程為【解析】設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).由(-3所以橢圓的方程為y210+x答案:y210+【解題技法】根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法:根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法:根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a,b.若焦點(diǎn)位置不確定,可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·濰坊模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),且過點(diǎn)【解析】由題知:c=1,①又橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,32),所以1a2+又a2-b2=c2,③聯(lián)立解得:a2=4,b2=3,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y答案:x24+2.動(dòng)圓M過定點(diǎn)A(-3,0),且內(nèi)切于定圓B:(x-3)2+y2=100,動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為__________.

【解析】由圓B方程知其圓心為B(3,0),半徑r1=10.設(shè)圓M半徑為r2,則|MA|=r2,由題意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)且a=5,c=3的橢圓,所以b2=a2-c2=16.所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x225+y答案:x225+【加練備選】1.(2024·沈陽模擬)F,A分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若橢圓的長軸長是6,且cos∠OFA=23,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (A.x236+B.x29+C.x220+y236=1或D.x29+y25=1或【解析】選D.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),cos∠OFA=|OF||AF|=c因?yàn)?a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以橢圓方程為x29+同理,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓方程為x25+y2.已知點(diǎn)P為橢圓x225+y216=1上的任意一點(diǎn),O為原點(diǎn),M滿足OM=12【解析】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由OM=12OP得點(diǎn)P(2x,2y),而點(diǎn)P為橢圓x2于是得(2x)225+(所以點(diǎn)M的軌跡方程是4x225+答案:4x225第2課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.掌握橢圓幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【考情分析】考點(diǎn)考法:橢圓的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn),其中求橢圓的離心率問題常以選擇題的形式出現(xiàn),它常與方程、不等式、平面向量等知識(shí)相結(jié)合.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2by2a2+x2b性質(zhì)范圍-a≤x≤a,且-b≤y≤b-b≤x≤b,且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長=2a,短軸長=2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)離心率e=ca,且e∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2【微點(diǎn)撥】(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2,y2的系數(shù)有關(guān).(2)離心率表示橢圓的扁平程度,e越接近0,橢圓越接近于圓;e越接近1,橢圓越扁平.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo),長軸長,短軸長,離心率都與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸有關(guān)B.橢圓的焦點(diǎn)一定在長軸上C.橢圓x2a2+y2b2=1(a>D.橢圓x24+y23=1比橢圓【解析】選BD.橢圓的長軸長,短軸長,離心率都與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān),故A錯(cuò)誤;橢圓的焦點(diǎn)一定在長軸上,故B正確;橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的參數(shù)ba,ca均能刻畫橢圓的扁平程度,故C錯(cuò)誤;橢圓x24+y23=1的離心率為12,橢圓x216+y2.(選擇性必修第一冊P112練習(xí)T4變形式)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,-32b),且C的離心率為1A.x24+y23=1 B.C.x24+y22=1 D.【解析】選A.由題可知,1a解得a2所以橢圓的方程為x24+y3.(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1,則aA.233 B.2 C.3 D【解析】選A.由e2=3e1,得e22=3e12,即4-144.(橢圓的相關(guān)概念不清致誤)若橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,且長軸長是短軸長的2倍,則m的值為________,焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,由題意可得:2a=2×2b,則a2=4b2,因?yàn)闄E圓方程為x2+my2=1,即x2+y2且焦點(diǎn)在y軸上,則a2=1m,b2可得a2=1m=4,解得m=1所以c=a2-b2=3答案:14(0,±3【巧記結(jié)論·速算】1.設(shè)P為橢圓上不同于長軸兩端點(diǎn)的點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則①b≤|OP|<a;②a-c<|PF1|<a+c.2.橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)長為2b23.設(shè)P,A,B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三點(diǎn),其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,P與A,B均不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,則直線4.橢圓的離心率與橢圓的扁平程度有關(guān),當(dāng)a不變時(shí),e越大,b越小,橢圓越扁;e越小,b越大,橢圓越圓.5.若P(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex6.橢圓系方程:①與x2a2+y2b2=1共焦點(diǎn)的橢圓系為x2a2②與x2a2+y2b2=1有共同的離心率的橢圓系為x2a2+y2b2【即時(shí)練】1.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2100+y264=1,則橢圓上的點(diǎn)P到橢圓中心O的距離|OP|的取值范圍為A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]【解析】選C.方法一:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則|OP|=x0由橢圓的范圍,知|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以x02100則y02=64-所以|OP|=925因?yàn)?≤x02≤100,所以64≤即8≤|OP|≤10.方法二:設(shè)x0=10cosθ,y0=8sinθ,θ∈[0,2π),則|OP|=x02+64+36cos因?yàn)閏os2θ∈0,1,所以8≤|OP2.若橢圓C:x2m+y29=1(m>9)比橢圓D:x26+y2A.(6,62) B.(18,36)C.(62,+∞) D.(36,+∞)【解析】選C.橢圓C的離心率e1=m-9m,橢圓D的離心率e2=6-36=22,因?yàn)闄E圓C比橢圓D更扁,所以e1>e2則2m>62,所以橢圓C的長軸長的取值范圍是(62,+∞).3.(一題多法)過點(diǎn)(3,-5),且與橢圓y225+x2【解析】方法一:(待定系數(shù)法)設(shè)所求橢圓方程為y225-k+x29-k=1(k<9),將點(diǎn)(解得k=5(k=21舍去),所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220+x方法二:(定義法)橢圓y225+x29由橢圓的定義知,2a=(3-0)2+(-由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220+x答案:y220+【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一由橢圓的性質(zhì)求方程[例1](1)(多選題)(2024·天水模擬)橢圓以x軸和y軸為對稱軸,經(jīng)過點(diǎn)(2,0),長軸長是短軸長的2倍,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為 ()A.x24+y2=1 B.y24C.y216+x24=1 D.【解析】選AC.設(shè)長軸長為2a,短軸長為2b,因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍,則2a=2×2b,即a=2b,又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0),則有:若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可知a=2,b=1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,可知a=4,b=2,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x綜上所述:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1或y216(2)(2024·南昌模擬)已知橢圓的離心率為12,焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為 (A.x236+y227=1 B.C.x227+y236=1 D.【解析】選A.由橢圓的焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),得橢圓的半焦距c=3,由離心率為12,得ca=即a=6,因此橢圓的短半軸b=a2-c2=62-32【解題技法】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟【對點(diǎn)訓(xùn)練】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)長軸在x軸上,長軸的長為12,離心率為23【解析】(1)由已知,2a=12,e=ca=23,得:a=6,c=4,從而b2=a2-c2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)經(jīng)過點(diǎn)P(-6,0)和Q(0,8).【解析】(2)由橢圓的幾何性質(zhì)知,以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),所以點(diǎn)P,Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個(gè)端點(diǎn),于是有b=6,a=8.又短軸、長軸分別在x軸和y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y264+x【加練備選】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長軸長、短軸長分別為8和6;【解析】(1)由題意得:2a=8,2b=6,所以a=4,b=3,結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓方程為x216+y求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),短軸長為4;【解析】(2)由題意得:c=5,2b=4,故a2=b2+c2=4+25=29,因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,故橢圓方程為y229+x求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(3)對稱軸都在坐標(biāo)軸上,長半軸長為10,離心率是0.6;【解析】(3)由題意得:a=10,e=ca=0.所以c=6,b2=a2-c2=100-36=64,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓方程為x2100+y264=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓方程為y求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(4)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到右頂點(diǎn)的距離為1.【解析】(4)由題意得:a=2,a-c=1,所以c=1,b2=a2-c2=4-1=3,結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓方程為x24+y考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)【考情提示】高考對橢圓性質(zhì)的考查是歷年的重點(diǎn),主要以離心率或與橢圓有關(guān)的最值問題為載體考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力.角度1橢圓的離心率[例2](1)(2024·北京模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若以F1F2為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P,且△OPF2是等邊三角形,則橢圓A.12 B.3-12 C.2-3【解析】選D.由題意知∠F1PF2=90°,O為F1F2的中點(diǎn),故|OP|=12|F1F2|=c△OPF2是等邊三角形,即有|PF2|=c,∠PF2F1=60°,所以|PF1|=3c,又P在橢圓上,故|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以ca=23+1即橢圓E的離心率為3-1.(2)(2024·成都模擬)已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足MF1·MF2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是A.(0,22) B.(0,12] C.(0,1) D.【解析】選A.設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,因?yàn)镸F1·MF2=0?所以M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心,半焦距c為半徑的圓,又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,所以該圓內(nèi)含于橢圓,即c<b,c2<b2=a2-c2,2c2<a2,所以e2=c2a2<12,所以0<角度2與橢圓有關(guān)的最值問題[例3](1)(2024·南昌模擬)已知點(diǎn)F1,F2為橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則|PF1|·|PF2|的取值范圍為A.[3,4] B.[2,3] C.[1,4] D.[1,7]【解析】選A.橢圓C:x24+y23=1的焦點(diǎn)F1設(shè)P(2cosθ,3sinθ),0≤θ<2π,|PF1|2·|PF2|2=[(2cosθ+1)2+(3sinθ)2]×[(2cosθ-1)2+(3sinθ)2]=(cosθ+2)2×(cosθ-2)2=(cos2θ-4)2,所以|PF1|·|PF2|=(cos2θ由于0≤cos2θ≤1,3≤4-cos2θ≤4,所以|PF1|·|PF2|的取值范圍為[3,4].(2)(多選題)(2024·哈爾濱模擬)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且△F1AB的面積為2-32,點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則A.1 B.2 C.4 D.5【解析】選ABC.由已知得2b=2,故b=1,因?yàn)椤鱂1AB的面積為2-32,所以12(a-c)所以a-c=2-3,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,故a+c=2+3,所以a=2,c=3,所以1|PF1=2a|=4-|PF又a-c≤|PF1|≤a+c,即2-3≤|PF