考點(diǎn)08 直線和平面的平行、垂直問(wèn)題9種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-【考點(diǎn)通關(guān)】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)期中期末復(fù)習(xí)備考講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

考點(diǎn)08直線和平面的平行、垂直問(wèn)題9種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

M二解題策略

1、證明方法“一找二作三證明”

“一找二作三證明”是筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)的一種證明線面平行或線面垂直方法，此證明方法分為三步,

具體的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：(1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)“找”

出一條直線與已知直線平行即可.(2)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，要證明線面垂直，就要在此平面內(nèi)“找”

出兩條相交的直線分別與此直線垂直.其次是“一找”的原則：一是要“找”的都是線線平行或線線垂直，二是

要在一個(gè)平面圖形中“我,,

第二步，就是“二作”:在分析題意之后，若不能直接"找''到所需要證明的線線平行或線線垂直的關(guān)系，

則進(jìn)入“二作”的程序.從三個(gè)方面去理解“二作”,第一方面，“作”就是作輔助線或輔助平面，有簡(jiǎn)單的“作”或

復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次“作”的時(shí)候都要圍繞證明所需去“作”,要證平行關(guān)系就去“作''線線平行，要證

垂直關(guān)系就去“作”線線垂直；第三方面，要把線線平行或線線垂直的關(guān)系“作”在一個(gè)平面圖形中。

第三步，就是“三證明”:經(jīng)過(guò)第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫(xiě)出證明

命題的整體過(guò)程.在“三證明”中要注意三點(diǎn)，

第一，數(shù)學(xué)符號(hào)要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語(yǔ)言表述要規(guī)范；第二，書(shū)寫(xiě)要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時(shí)

要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.

2、“一找”依據(jù)

線線平行的常見(jiàn)找法依據(jù)：

(1)構(gòu)造三角形的中位線證明線面平行，通常需運(yùn)用線面平行的判定定理：若

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直

線與此平面平行.那么在證明線面平行時(shí)，需找到一

組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線

在平面內(nèi).若已知一條線段的中點(diǎn)，且平面內(nèi)或外的

一條直線為三角形的底邊，則可過(guò)三角形的中點(diǎn)作三

角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性

質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來(lái)證明線面平行.

在構(gòu)造三角形的中位線時(shí)，要注意關(guān)注中點(diǎn)、線段的

垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征

尋找中位線。

（2）構(gòu)造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.在證

明線面平行時(shí)，可根據(jù)圖形的特點(diǎn)，找到一組對(duì)邊平

行且相等的線段，分別將這四點(diǎn)連接，便可構(gòu)造出平

行四邊形，使另一組對(duì)邊分別為平面內(nèi)外的一條直

線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定

理證明線面平行.通過(guò)直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直

線與平面外的一條直線長(zhǎng)度相等，一般猜想構(gòu)造平行

四邊形，這時(shí)利用平行四邊形對(duì)邊平行得出線線平

行，進(jìn)而得到線面平行。

（3）利用相似比尋找線平行如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)

線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三

角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工

具?題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時(shí)，可考慮利用比值關(guān)系，

尋找線線平行，進(jìn)而得到線面平行。

（4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直

線平行，進(jìn)而得到直線與平面平行。先證明線面平行

（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質(zhì)定

理，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行。

（5）構(gòu)造平行平面面面平行的性質(zhì)有很多，常見(jiàn)的有：（1）若兩

個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于

另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平

面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時(shí)，只

要證明直線/所在的平面a和平面夕平行，那么就可

以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線/和平面夕平行.

當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時(shí)，可以考慮構(gòu)造平

行平面.若要證明///平面a,只需構(gòu)造一個(gè)平面夕〃

平面a,且/e/7,那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可

證明///平面a.在構(gòu)造平行平面夕時(shí)，可在平面夕

內(nèi)作一條直線〃，使其平行于/.也可直接根據(jù)正方

體、長(zhǎng)方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.

(6)利用線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

(7)平行線的傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.

線線垂直的常見(jiàn)找法依據(jù):

(1)相交直線①等腰三角形(等邊三角形)的如圖：AB=AC,D為BC中點(diǎn)，則AOL3C

“三線合一”二

②勾股定理的逆定理

如圖：如果/+〃=c，2,則

B

K

b

③正方形、菱形的對(duì)角線互相垂如圖：四邊形ABCD是菱形，所以ACL3。

直

C

④直徑所對(duì)的圓周角是90。如圖：AB是圓的直徑，NAC8=90°

B

<A0

(2)異面直線①通過(guò)證線面垂直證線線垂直

/

<

/1a

}01-Lm

mua

注：若題目3更證1La,已知fnua且是異面

直線，要證1一般是證所在的平面。

注：直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，圓柱的母線垂直

于底面

②平移法通過(guò)三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行

平移

3、“二作”小結(jié)

在，，二作，，中，恰當(dāng)?shù)亍白鳎?，出滿足題意的輔助線或輔助面對(duì)解題帶來(lái)很大的便捷.對(duì)于一些復(fù)雜的題型，

常常需要找到準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，運(yùn)用“二作”構(gòu)造輔助線或輔助面，快速地把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,

從而打開(kāi)證明思路."二作''中常用的"作'’法：中位線、對(duì)角線、中線、垂線、過(guò)特定點(diǎn)“作”平行線或垂線、構(gòu)

造輔助平面等.前面“一找”小結(jié)中所有的“找”法依據(jù)都可以運(yùn)用.

4、“三證明”

在“三證明''中，要注意規(guī)范書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，做到層次分明.

5、垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

第二次

害高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一線面平行、垂直基本概念的判斷

考點(diǎn)二線面平行關(guān)系的證明

考點(diǎn)三面面平行關(guān)系的證明

考點(diǎn)四線面平行、面面平行關(guān)系的應(yīng)用

考點(diǎn)五線面垂直關(guān)系的證明

考點(diǎn)六線面垂直關(guān)系的應(yīng)用（證線線垂直）

考點(diǎn)七面面垂直關(guān)系的證明

考點(diǎn)八面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

考點(diǎn)九線面平行與垂直關(guān)系的探索性問(wèn)題

第三看

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一線面平行、垂直基本概念的判斷

1.（2023春?福建?高一校聯(lián)考期中）?,B是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若加//〃，nila,則B.若m//a,aH0,則初/月

C.若a//￡,mua,nu[3,則加〃/D.若a〃￡,m^a,則〃?//戶

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A：若m/ln,nila,則m//a或故A不正確；

對(duì)于B：若m//a,allp,則m〃萬(wàn)或相u4,故B不正確；

對(duì)于C：若a〃力，mua,則加〃"或m與"異面，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若a〃6，機(jī)u”，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得〃?〃戶，故D正確.

故選：D.

2.【多選】（2023春?吉林?高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰O(shè)有兩條不同的直線機(jī)、〃和兩個(gè)不同的

平面a、P,下列命題中錯(cuò)誤的命題是（）

A.若m//a,nl/a,貝!|巾//〃

B.若，"ua,〃ua,mlIp,nllp,則a〃/

C.若血/〃，機(jī)ua,則〃//a

D.若a〃4，〃zua,則m//￡

【答案】ABC

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面的位置關(guān)系判

斷C；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若m//a,ntla,則加,“可能平行、異面或相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若〃?ua,〃ua,ml1/3,“〃夕，也〃不一定為相交直線，

只有當(dāng)八〃為相交直線時(shí)，才可得到￡///，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)成/〃，“ua時(shí)，可能是“ua,推不出一定是〃〃ar,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a〃月，機(jī)ua,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知機(jī)///，D正確，

故選：ABC

3.（2023春?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期中）已知白,僅是兩個(gè)不同的平面，/,“是兩條不同

的直線，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若/_La,mVa,則/〃

B.若〃/a,allp,則/〃〃

C.若〃/a,lu0,a/3=m,則/〃加

D.若/與"，異面，lea,I//P,m<^p,mlla,則a〃夕

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷ABC；利用反證法可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線平行可知A正確；

對(duì)于B,若〃/a,a〃2，則/〃/或/u〃，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可知C正確；

對(duì)于D,假設(shè)aP=n,因?yàn)?ua,/〃￡,aJ3=n,所以〃/〃，

同理可得相〃”，所以/〃加，這與/與m異面相矛盾，故假設(shè)不成立，

則a//〃，故D正確.

n

故選：B

4.（2023春?浙江杭州?高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎恢睾系闹本€I,，“和不重合的平面a,夕，

下列命題正確的是（）

A.若/〃夕，U/p,貝ija〃/?B.若/_La,I,則加〃a

C.若/_La,I.\-P,則a〃尸D.若lua,mca,IH/3,m!!p,則a〃6

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中的線、面關(guān)系分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：若///a,〃/夕，則平面a,尸的位置關(guān)系有：平行、相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若/_La,Um,則犯。的位置關(guān)系有：m//a或機(jī)ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若/_La,夕，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：al1/3,故C正確；

對(duì)于D：根據(jù)面面平行的判定定理可得：若/，機(jī)相交，則a〃一，否則不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（2023春?浙江寧波?高一余姚中學(xué)?？计谥校┮阎埃琤為兩條不同的直線，a,4為兩個(gè)不同的平面,

則：

①若a_La,bL（3,且a〃/，則ab.②若4_La,b//p,且a〃/，則。J；

③若a〃￡,aua,bu0,則④若a_L（z,bVp,且c_L〃，則。j_1；

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判斷，即

可得出結(jié)論.

【詳解】由且a〃尸，可得匕，a,

而垂直同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，即6,故①正確；

由于a〃夕，a±a,所以aJ■人又因?yàn)樨啊ㄏ?，所?力，故②正確;

若a〃夕，aua,bup,則直線a與6平行或異面，故③錯(cuò)誤；

設(shè)a￡=/,在平面/內(nèi)作直線c」/,

因?yàn)閍_L￡,則c_Lc,又q_L（z,所以aPc,

又因?yàn)閎，〃,cu/7,所以從而有故④正確；

因此，真命題的個(gè)數(shù)是3,

故選：B.

考點(diǎn)二線面平行關(guān)系的證明

6.（2023春?北京?高一匯文中學(xué)?？计谥校?）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，。是AG的中點(diǎn).求證:

8G〃平面ABQ：

C

（2）如圖，在三棱錐P-A8C中，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)下在E4上，且AF=2fP.求證:

CM//平面應(yīng)廠.

A

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）運(yùn)用線線平行證明線面平行即可.

（2）運(yùn)用面面平行判定定理證得面〃面3EF,再運(yùn)用面面平行性質(zhì)可證得結(jié)果.

【詳解】（1）如圖所示，

證明：連接AB交4用于一點(diǎn)G,連接DG,

則G為AB的中點(diǎn)，

乂因?yàn)?。為AG的中點(diǎn)，

所以。G//8G，

乂因?yàn)镺Gu面ABQ,面ABQ,

所以BG〃面ABQ.

（2）如圖所示，

證明：取AF的中點(diǎn)H,連接C”、MH,

又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，AF^2PF,M為A8的中點(diǎn)，

所以EF//CH,MH//BF,

又因?yàn)镋Fu面5EF,CHU間BEF,BFu面BEF,MHB面BEF,

所以C”〃面3所，MH〃面BEF,

又因?yàn)镃”MH=H,CH、面CM”,

所以面CWH〃面BEF，

又因?yàn)镃Mu面CM”,

所以C0〃面8EF.

7.(2023春?吉林?高一校聯(lián)考期中)如圖，四棱柱ABC。-A4GA的底面ABC。是菱形，，平面ABCD,

AB=\,M=2,N84￡)=60。，點(diǎn)尸為。2的中點(diǎn).

(1)求證：直線8R〃平面PAC；

(2)求二面角4-AC-P的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵返

85

【分析】(1)連接交AC于點(diǎn)0,連接P。，根據(jù)線面平行的判定定理求解；

(2)連接B7，B0,可證明NBQP為二面角耳-AC-P的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.

【詳解】(1)連接BO交AC于點(diǎn)。，連接PO,如圖，

則。為3。的中點(diǎn)，

由于P是。2的中點(diǎn)，故PO1/BD,,

POu平面PAC,u平面PAC,

所以〃平面PAC：

(2)連接8/，4。，

因?yàn)槭珹=PC,。是AC的中點(diǎn)，所以PO1AC,

因?yàn)锳AJL平面A8CD,所以8耳1平面A3C。，

又ACu平面A8C。，所以B四，AC,

由底面ABC。是菱形，得AC上8D,

又BBqBD=B,BBy,BQu平面8?！?田，所以ACJL平面BDD、B、,

又4。u平面BOQ百，所以B0_LAC,

則NBQP為二面角B.-AC-P的平面角,

時(shí)小+出=耍即=卜+(￡|=4,4P=VFTF=0，

517.

PQ-+OB;-PB；彳+1［底

由余弦定理可知cos/B0P=

2POOB、.亞歷一~^~

2x——x—

22

8.（2022春?廣東?高一校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCO中，底面A8C。為平行四邊形，E為棱PC的

中點(diǎn)，平面4/與棱P￡）交于點(diǎn)F.

⑴求證：24〃平面5￡>E；

（2）求證：尸為陽(yáng)的中點(diǎn)；

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；

（2）詳見(jiàn)解析；

【分析】（1）連接AC交8。于點(diǎn)G,連接GE,根據(jù)A8CD為平行四邊形，得到G為AC的中點(diǎn)，再由E

為PC的中點(diǎn)，得到GE//Q4,再利用線面平行的判定定理證明；

（2）先由4?〃8,利用線面平行的判定定理得到C。//平面48EF,再利用線面平行的性質(zhì)定理得到

CD//EF求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示:

連接AC交B￡）于點(diǎn)G,連接GE,

因?yàn)锳8C。為平行四邊形，

所以G為4c的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，

所以GE〃24,又PA仁平面BDE,GEI平面BDE,

所以PA〃平面也汨；

（2）因?yàn)榈酌鍭BC。為平行四邊形，

所以AB//C。，

又ABu平面A3E尸，CDU平面ABEF,

所以8〃平面又平面ABEFc平面PDC=EF,

所以C。//砂，

又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，

所以尸為PE>的中點(diǎn).

9.（2023春?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCO是矩形，附為點(diǎn)P到平

PM

面ABCQ的距離，AB=4,">=3,科=3,點(diǎn)￡、M分別在線段A8、PC上，其中￡是A8中點(diǎn)，y=4,

MC

⑴當(dāng)2=1時(shí)，證明：直線用E//平面B4D：

⑵當(dāng)；1=2時(shí)，求三棱錐M-BCD的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）2

【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.

（2）根據(jù)塔PM=2,求出三棱錐的高，然后利用體積公式即可.

MC

【詳解】（1）取中點(diǎn)N,連接MN、AN,

.MN是PCD的中位線，；.MNHCD,且MN=；CO,

又AEMCD,且AE=；C￡>,.?.四邊形AEMN為平行四邊形，

：.ME//AN

乂平面出。，47匚平面以力，二%。/平面隙。.

PM

（2）v—=2,尸到平面4BCD的距離為3,.??點(diǎn)M到平面A3。的距離為1,

MC

?,VM-BCD=—x—x4x3xl=2.

32

10.（2023春?天津南開(kāi)?高一南開(kāi)中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)尸為正方形A3CO所在平面外一點(diǎn),

PMBN5

吁吁PC5-3,M、N分別為抬、上的點(diǎn)，且加=而下

⑴求證：MN//平面PBC；

（2）求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)AW=7

【分析】（1）過(guò)M作AB的平行線交PB于E,過(guò)N作CO的平行線交BCTF,連接EF，證明出四邊形MEFN

是平行四邊形，可得出ME//NF,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立;

（2）過(guò)E作PC的平行線交BC于G,計(jì)算出EG、FG的長(zhǎng)以及/或近的值，利用余弦定理可求得EF,

即可得出MN的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：過(guò)M作A8的平行線交PB于E,過(guò)N作CD的平行線交BC于F,連接EF,

因?yàn)镻M:M4=BN:N￡>=5:8,所以，ME:AB=NF:CD=5:T3,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，則45=8,所以，ME=NF,

因?yàn)镸E〃A8,NF//CD.AB//CD,所以，ME/INF.

所以，四邊形ME/W是平行四邊形，則MN//￡F,

因?yàn)镸Nu平面PBC,EFu平面PBC,所以，MN〃平面PBC.

（2）解：過(guò)E作PC的平行線交3C于G,

因?yàn)镻M:MA=BN:ND=5:8,PB=BC=13,旦ME//AB,NF//CD,

PEPM5

所以，出=等="，則PE=5,同理可得BF=5,

PBrA13

因?yàn)镋G//PC,所以，器=《|=磊，則CG=5,

所以，BG=8C-CG=13—5=8,則EG=BG—BF=3,

由黑=黑=2且PC=13可得EG=8，

因?yàn)槭?=PC=3C=13,則.PBC為等邊三角形，貝1"反/=/尸。3=60,

由余弦定理得EF?=EG?+FG2—2EG-FG-COSNEGF=8?+3?-2x8x3x4=49,

2

所以，EF=1,故MN=EF=1.

H.（2023春?浙江?高一期中）三棱柱ABC-A4G的棱長(zhǎng)都為2,。和E分別是和AG的中點(diǎn).

⑴求證：直線DE〃平面ABG；

⑵若ZAAC=60。，點(diǎn)B到平面4CGA的距離為6,求三棱錐。-4BC；的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析X1）法一,根據(jù)中位線可得線線平行,證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明DE//HG,

即可得證；

（2）根據(jù)線面平行可得力=，由等體積法求解.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，AB//A4,取B,G中點(diǎn)尸，連接。REF,

v。和E分別是BB、和AG的中點(diǎn),

;.DF//BC、,EFUA、B\,.-.EF//AB,

又。尸＜2面ABC-BRU面ABC-且砂（Z面A8G，43u面ABC一

OF〃面ABCt,EF〃面ABC,,又DFEF=F,DE,EFu面DEF,

：.面O￡F//平面ABC-而DEu面DEF,故直線QE〃平面ABC,.

法二，連接CE交AG于點(diǎn)G,連接CO交Bq于點(diǎn)H,連接"G,如圖,

在三棱柱A8C-ABC中，\CJ!AC,BB.//CC,,

.EGEC,1DH8)=1

?'GC=AC=2'~HC~~CC~V

，粵=埋，則DE//"G，又OE(Z面ABC-"GU面48G，

GCHC

，直線OE〃平面ABC一

（2）如圖，

???直線QE//平面ABC-

VD-ABG=又AC=60°,

所以平行四邊形ACC/邊AC上的高廳=2sin60。=百，

由8到面ACCM的高％=6，則%-Ag=%一入田=gs煙4=gx；xlx6x6=；.

12.（2023春?廣東深圳?高一紅嶺中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐P-ABC中，ABC是正三角形，PAL平

PFPFAD

面ABC,D,E,F分別為PAP8,PC上的點(diǎn)，且蘭=蕓=黑=：1.已知AB=6,AP=9.

PBPCAP3

P

（1）設(shè)平面OEFc平面A8C=/,證明：/，平面PBC；

（2）求五面體DEF-ABC的體積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）2573.

【分析】（1）首先證明跖〃3C,則有EF〃平面ABC,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到班7〃，則得到線

面平行；

12

（2）根據(jù)相似得S陽(yáng)=§S.，則%一陽(yáng)=為3則%樹(shù)=27?

PEPF

【詳解】（1）因?yàn)楣?大，所以￡F〃BC,

因?yàn)?Cu平面ABC,EF<￡平面ABC,

所以E尸〃平面48C,

又平面DEFC平面ABC=/,EFu平面DEF,所以EFUL

又EFu平面PBC,/《平面PBC,所以III平面PBC,

，八h4PEPFAD1.1

(2)因?yàn)樽C=/=”=Q，所rrH1以c=^Scme

222

所以七-PEF=§^A-PEF=^A-PBC=^P-ABC

25

所以五面體DEF-ABC的體積V=VP_ABC-VD_PEF=—VP.ABC

因?yàn)椋?板=9,6~**9=276,所以丫=256

考點(diǎn)三面面平行關(guān)系的證明

13.(2023春?山東臨沂?高一?？计谥?如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是A8,

PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面PA。；

(2)若尸8中點(diǎn)為。，求證：平面MVQ〃平面PAO.

(3)若B4_L平面ABC。，AB=PA=2,求直線尸8與面PAD所成的角.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)45°

【分析】(1)取PZ)的中點(diǎn)E,連接AE,NE,即可證明四邊形AMNE為平行四邊形，所以MW/A￡,從

而得證；

(2)依題意可得MQ〃AP即可得到MQ〃平面PAD,再結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證；

(3)依題意可得平面R4D_L平面ABC。，由面面垂直的性質(zhì)得到AB上平面R4Z),則NBR4即為直線PB與

面PAD所成的角，再根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系得解.

【詳解】(1)取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE,

因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以NE〃DCdNE=[DC,

2

乂〃是A8的中點(diǎn)，ABC。是正方形，所以AM〃0C且AM='A8=,￡>C,

22

所以NE//AM且NE=AM,

所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN//AE,

又MNU平面PAD，AEu平面叢。，所以MN〃平面PAD.

（2）因?yàn)?。為?的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)

所以MQ//AP,又MQ<Z平面外￡>,APu平面E4D,所以〃?！ㄆ矫鍾4D,

又MN〃平面PAD,MQcMN=M,MQ,MNu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面玄。.

（3）因?yàn)镻A_L平面ABC。，R4u平面PAD,所以平面24￡>"L平面ABC。，

又ABC。為正方形，所以AB_LAD,A8u平面ABC。，平面P4Z）c平面ABCO=AD,

所以AB2平面PAD，

所以N8孫即為直線P8與面尸A￡>所成的角，又相=%=2,所以人為等腰宜角三角形,

所以N8"=45°,

即直線PB與面PAD所成的角為45。.

14.（2022秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A^G中，D,E,F分別為BC,AC，AG的中

⑴44//平面。田；

⑵平面45尸//平面。EC；.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得4片〃平面DEC1；

（2）根據(jù)面面平行的判定定理證得平面4BF〃平面DEG.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-A4G中，RE分別為BC,AC的中點(diǎn)，

DEI/AB,AB"AB',;.DEHA.B,,

DEu平面DEC,,Ag①平面DEC,,

.?.4與〃平面。石。.

（2）.AB//DE,AB平面DEC、,DE0平面DEC、,

：.A3〃平面。Eq.

F,E分別為AG，AC的中點(diǎn)，AG〃AC，

:.FCt//AE,且FC|=AE.

四邊形FCEA是平行四邊形.

AF//EQ.

乂EC,G平面DEC,,AF<z平面DEC,,

AF〃平面DEC.

又AB,AFu平面ABF,ABcAF=A,

平面4BF〃平面。E￡.

15.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)都等于2,

E,F,G分別為BC，同與，AB的中點(diǎn).

（1）求證：平面AGG〃平面BEF；

（2）求CQ與平面BCC百所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵叵

14

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面AGG〃平面8EF；

（2）先依據(jù)線面角定義作出￡G與平面BCC出所成角，進(jìn)而求得其正弦值.

【詳解】（1）,E,尸分別為耳￡,44的中點(diǎn)，；.EF〃AG，

AGu平面AGG,即《平面466,；.所〃平面4。。，

又尸,G分別為分用,AB的中點(diǎn)，??.A尸=BG,

又A尸〃8G,.?.四邊形AG8F為平行四邊形，則8尸〃AG,

A,Gu平面ARG,8尸＜z平面ARG,

8尸〃平面AGG,

又EFBF=F,EF,BFu平面BEF,

二平面AGG〃平面BEF.

（2）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)G作GH，BC,垂足為“，連接G”.

?.?正三棱柱ABC-姬￡,

;.CG_L平面48c.乂G"i平面ABC,，CG_LG”.

又BCcCC、=C,BC,CGu平面BCC4，.?.G〃J_平面BCGA.

NGC\H即為GG與平面BCCtBt所成的角.

?.正三棱柱ABC-48IG的所有棱長(zhǎng)為2,G為A3中點(diǎn)，

;.BG=1,NGBH=60°,

又NBHG=9Q°,：.BH=[GH=—.

22

3

xCC,±BC,CH=j,CC,=2

2

:.C}H=yjCH+CC；

又GHLQH,

22

:.Cfi=4GH+C,H==y/1，

B

GH為亞,

sinNGC[H=

故GG與平面BCG4所成角的正弦值為叵.

14

16.（2023春?河南洛陽(yáng)?高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱柱ABC-A8G中，E,F,G,H分別是AB,AC,

AG，4耳的中點(diǎn)，求證:

B

(l)BCJ/平面AEF；

(2)平面\EFII平面BCGH.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）先證明EF〃平面BCGH,再證明4尸〃平面8CG”,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?..瓦尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，

?*.EF//BC.

又在三棱柱ABC-A4G中，BC〃B\G,

所以B￡〃EF.

又用Ga平面AEF,EFu平面AEF,

所以6G〃平面AEE

（2）證明：由（1）知EF〃BC,平面BCGH,BCu平面BCGH,

，砂〃平面BCG”,

又?:EG分別為AC,4G中點(diǎn)，

故尸C=；AC,AG=；AG，

又AC//AG，AC=FC//AG,FC=\G,

四邊形FCGA］為平行四邊形，

Z.\F//GC,

又AF<Z平面BCGH,GCu平面BCGH,

A/〃平面BCG”，

又AFp收=F,AF,EFu平面&EF,

平面AW”平面8CG”.

考點(diǎn)四線面平行、面面平行關(guān)系的應(yīng)用

17.（2023春?北京?高一北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體AB8-AAG。中，E為BB，中

點(diǎn)，4G與平面ARE交于點(diǎn)尸.

（1）求證：BCJ/面A*；

（2）求證：F為8c的中點(diǎn).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）證明A〃//BG，然后由線面平行的判定定理得證；

（2）由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而可證得結(jié)論成立.

【詳解】（1）因?yàn)锳3與GR平行且相等，所以ABG"是平行四邊形，所以AR//8C，

乂4〃u平面ARE,8^0平面AQE,

所以BG〃平面ARE；

（2）由（1）8CJ/平面ARE,BGu平面BCG4，平面1平面BCCg=",

所以BCJ/EF，又E是中點(diǎn),

所以F是qG中點(diǎn).

18.（2023春?福建?高一校聯(lián)考期中）如圖，在三棱臺(tái)￡＞七萬(wàn)一ABC中，AB=BC=CA=2DF=2,FC=\,

NACF=NBCF=90,G為線段AC中點(diǎn)，，為線段5c上的點(diǎn)，BD"平面FGH.

D

（1）求證：點(diǎn)”為線段8c的中點(diǎn)；

（2）求三棱臺(tái)DEF-ABC的表面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵述+邁+3

44

【分析】（1）連接CO,設(shè)C￡＞cFG=O,由比＞//平面FG",證得BD//HO,結(jié)合。是以?的中點(diǎn)，得

到點(diǎn)”是BC的中點(diǎn)；

（2）根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別5°砂=3和5板=6,再結(jié)合側(cè)面4DFC和側(cè)面

3

"TB均為直角梯形，求得面積為51=萬(wàn)，由側(cè)面AOEB為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)E作區(qū)求得的長(zhǎng)，

得到側(cè)面ABED的面積為52=空，即可求解.

4

【詳解】（1）連接CO,設(shè)CDcFG=O,連接H。、DG,

因?yàn)??！ㄆ矫鍲G",比＞u平面CB。，且平面C3。c平面尸G”="O,

所以BD//HO,

又因?yàn)樗倪呅蜵FCG是正方形，且。是CD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，是3c的中點(diǎn).

（2）:.棱臺(tái)DEF—ABC中，

因?yàn)锳B=BC=C4,所以“WC為等邊三角形，

所以所也為等邊三角形，且EF=DE=DF=1,

&

上底面防為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為1,可得面積為S4-XDE2=—,

4

亙

卜底面A3c為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2,可得面枳為S4XAB2=J3,

又因?yàn)镹AC尸=N8CF=90，所以側(cè)面4OFC和側(cè)面EFCB均為直角梯形，且FC=1,

13

其面積均為S,=「xa+2）xl=W，

22

側(cè)面43EB為等腰梯形，其中。E=1,AB=2,且AD=BE=。BH?+EH?=五,

_V7

過(guò)點(diǎn)E作垂足為M,可得EM=1BE2-BM?=

-2

所以側(cè)面他￡￡＞的面積為&=gx（l+2）x#=乎,

33775百3百

—I----=----1----

2444

19.（2023春?浙江?高一臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所求，四棱錐P-ABC。，底面A3CD為平行四

⑵已知”點(diǎn)在加上滿足EC〃平面求證的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）2

【分析】（1）連結(jié)AC交80于。，連結(jié)OF,通過(guò)證明PC〃。凡可證PC//平面BFD：

（2）如圖連結(jié)交AD延長(zhǎng)線于G,連結(jié)BG交CD于N,連結(jié)￡尸，F(xiàn)N,PG,EN.

山EC//平面屏”，可得N為CD中點(diǎn)，后通過(guò)證明EN//FD//BG,可得GMP,繼而可得答案.

【詳解】（1）證明：連結(jié)AC交5。于。，連結(jié)。尸，

因在△R4C中，E為以中點(diǎn)，。為AC中點(diǎn)，則尸C//尸。.

又PCs平面8尸￡）,FOu平面3皿，故PC//平面B/D；

p

M

3D

8匕

(2)如圖連結(jié)尸/W交AO延長(zhǎng)線于G,連結(jié)BG交CDTN,

連結(jié)EF,FN,PG,EN.

因EF//CN,則E,憶N,C四點(diǎn)共面.

又EC//平面3RW,平面BFMc平面EFNC=FN,

則EC〃/W,四邊形EFNC為平行四邊形，可得EF=CN=gcDnN為CO中點(diǎn).

則.BCN三GDN,N為BG中點(diǎn).

即EN為△PBG中位線，則ENIIPG,EN=-PG.

2

又EF=DN,EFUDN,則四邊形EFDN為平行四邊形，EN//FD.

從而FD//PG,FMDGMP=珠喟喟八

20.(2023春?陜西西安?高一交大附中?？计谥?如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB=\,CD=3,

AP=2,DP=2^3,ZPAD=60,ABI平面PAD,點(diǎn)M是棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

c

(1)證明：AP_LDM；

PM

(2)設(shè)正=2,求當(dāng)AP//平面8ZW時(shí)；l的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

吟

【分析】(1)根據(jù)AB1平面PAQ和A8〃C￡>推出CDL4P,根據(jù)余弦定理計(jì)算推出赫，PD,根據(jù)線面

垂直的判定定理得到AP1平面PCD,從而可得API.DM.

(2)連AC,BD交于點(diǎn)N,連MN,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推出"〃MN,再根據(jù)三角形相似可求出

結(jié)果.

【詳解】(1)證明：由于A3J,平面R4D且A3〃C￡),

所以C￡)_L平面PAO,乂APu平面PAD,所以C￡>_LAP.

由PD2=AP2+AD'-2AP-ADcosZPAD，

得12=4+AZ)2-2x2-A￡)xg