2025版 數(shù)學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版六十九 二項式定理含答案

8版數(shù)學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版六十九二項式定理六十九二項式定理(時間:45分鐘分值:100分)【基礎落實練】1.(5分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4= ()A.40 B.41 C.-40 D.-41【解析】選B.令x=1,則a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,則a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+a0=1+812=412.(5分)(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是 ()A.56 B.84 C.112 D.168【解析】選D.在(1+x)8的展開式中含x2的項為C82x2=28x2,(1+y)4的展開式中含y2的項為C42y2=6y2,所以x2y3.(5分)在(x+13x)24的展開式中,x的指數(shù)是整數(shù)的項數(shù)是 (A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.因為(x+13x)24的展開式的通項公式為Tk+1=C24k(x)24-k(13x)k=C24kx12-56k4.(5分)設a=3n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-1為()A.3 B.4 C.7 D.8【解析】選A.因為Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+所以a=4n-1,當n=2023時,a=42023-1=4×161011-1=4×[(15+1)1011-1]+3,而(15+1)1011-1=C10110151011+C10111151010+…+C1011101015,故此時5.(5分)(多選題)在(1+2x)8的展開式中,下列說法正確的是 ()A.二項式系數(shù)最大的項為1120x4B.常數(shù)項為2C.第6項與第7項的系數(shù)相等D.含x3的項的系數(shù)為480【解析】選AC.因為n=8,所以二項式系數(shù)最大的項為T5,T5=C84(2x)4=1120x4,A(1+2x)8展開式的通項為Tk+1=C8k(2x)k=2kC8kxk,令第6項為T6=25C85x5=1792x5,第7項為T7=26C86x6=1792x6,第6項與第7含x3的項為T4=C83(2x)3=448x3,其系數(shù)為448,D6.(5分)(多選題)(2023·廈門模擬)若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=-25C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=1【解析】選CD.由題意知,令x=0得a0=25,A錯誤;令x=1得a0+a1+…+a5=1,所以a1+a2+…+a5=1-25,B錯誤;令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35,C正確;由題意知a0,a2,a4均為正,a1,a3,a5均為負,因此a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,D正確.7.(5分)(2024·桂林模擬)在二項式(2+x)【解析】二項式展開式的通項為C9r·29-r2·xr,當r=1,3,5,7,9時,答案:58.(5分)(2024·濰坊模擬)若(3+ax)(1+x)4展開式中x的系數(shù)為13,則展開式中各項系數(shù)和為______.(用數(shù)字作答)

【解析】因為(3+ax)(1+x)4展開式中x的系數(shù)為3C41+aC40=12+a令x=1,得(3+x)(1+x)4展開式中各項系數(shù)和為(3+1)(1+1)4=64.答案:649.(10分)已知二項式(2x+1x)n(n∈N*)的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2∶5,按要求完成以下問題(1)求n的值;(2)求展開式中1x3(3)計算式子C6026+C6125+C6224+C6323+C6422【解析】由題設知Tr+1=2n-rCn(1)展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是Cn1Cn2=2(2)Tr+1=26-rC6rx6-32r,令6-32r=-3,得r=6.所以展開式中含1x3(3)C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C65【能力提升練】10.(5分)設(5x-x)n的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,M-N=240,則展開式中x3的系數(shù)為 ()A.500 B.-500 C.150 D.-150【解析】選C.由題意可得N=2n,令x=1,則M=(5-1)n=4n=(2n)2,所以(2n)2-2n=240,2n=16,n=4.展開式中第k+1項Tk+1=C4k·(5x)4-k·(-x)k=(-1)kC4k54-k·x4-k2.令4-k2=3,11.(5分)在(2x+a)(x+2x)6的展開式中,x2的系數(shù)為-120,則該二項展開式中的常數(shù)項為 (A.3204 B.-160C.160 D.-320【解析】選D.(x+2x)6Tk+1=C6k·x6-k·(2x)k2xTk+1=C6k·2k+1·x7-2k,由k∈aTk+1=aC6k·2k·x6-2k,令則aC62·22=60a=-120,解得因為7-2k≠0,在-2Tk+1中,令6-2k=0,解得所以展開式中的常數(shù)項為-2C63·2312.(5分)(多選題)(2024·寧德模擬)若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6【解析】選ABD.令x=-1,則(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正確;令x=0,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,令x=-2,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729,則a0+a2+a4+a6=1+7292=365,故B正確(x-1)6=[(x+1)-2]6,則Tk+1=C6k(x+1)6-k(-2)k,令則a5=C61(-2)1=-12,故C由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6兩邊求導,得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a令x=0,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正確.13.(5分)(2024·泉州模擬)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,則m=________.

【解析】由題意,可得a3=C63m3,a6=C60=1.因為a3+a6=1,所以a3=0,答案:014.(10分)請從下面三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并解答.①第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為5∶2;②第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為36;③Cn+13-已知在(x-13x)n的展開式中(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中含1x的項【解析】(1)選①,(x-13x)n的展開式通項為Tr+1=(-1)r則第5項的系數(shù)為Cn4,第3項的系數(shù)為Cn2,所以Cn4∶Cn2=5∶2,若選②,第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)分別為Cn1和所以Cn1+Cnn-2解得n=-9(舍)或n=8;若選③,由Cn+13-Cn所以(x-13x)8的展開式通項為Tr+1=(-1)r當n=8時,若C8r取得最大值,則r=4,即第5所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T5=C84x(2)令24-5r6=-1,解得所以展開式中含1x的項為T7=C86x-115.(10分)(2023·福州模擬)在①只有第5項的二項式系數(shù)最大;②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等;③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128.這三個條件中任選一個,補充在下面(橫線處)問題中,解決下面兩個問題.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),________

(1)求a12+a222+(2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值.【解析】(1)若選①:因為只有第5項的二項式系數(shù)最大,所以展開式中共有9項,即n+1=9,得n=8.若選②:因為第4項與第6項的二項式系數(shù)相等,所以Cn3=Cn5若選③:因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128,所以2n-1=128,解得n=8.因為(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=12,則有(2×12-1)8=a0+a12+a2即有a0+a12+a222+…+a828=0,令x=0,得a0=1,所以a12綜上所述:a12+a222+(2)由(1)可知:無論選①,②,③都有n=8,(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,兩邊求導得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,令x=1,則有16=a1+2a2+3a3+…+8a8,所以a1+2a2+3a3+…+8a8=16.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展開式中的各項系數(shù)和為243,則a1+2a2+…+nan等于 ()A.405 B.810 C.243 D.64【解析】選B.(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,兩邊求導得,2n(2x+1)n-1=a1+2a2x+…+nan令x=1,則2n×3n-1=a1+2a2+…+na又因為(2x+1)n的展開式中各項系數(shù)和為243,令x=1,可得3n=243,解得n=5,所以a1+2a2+…+nan=2×5×34=810.17.(5分)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若(1-2x)2024=b0+b1x+b2x2+…+b2024x2024,數(shù)列{an}的首項a1=b12+b222+…+b202422024,an+1=Sn·A.-12024 B.C.2024 D.-2024【解析】選A.令x=12,得(1-2×12)2024=b0+b12+b22令x=0,得b0=1,所以a1=b12+b222+由an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-S得Sn+1-Sn所以1Sn+1所以數(shù)列{1Sn}是首項為公差為-1的等差數(shù)列,所以1Sn=-1+(n-1)·(-1)=-所以Sn=-1n,所以S2024=-1六十六變量的相關性與一元線性回歸模型(時間:45分鐘分值:100分)【基礎落實練】1.(5分)下列有關線性回歸的說法,不正確的是 ()A.具有相關關系的兩個變量不是因果關系B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關程度C.回歸直線最能代表線性相關的兩個變量之間的關系D.任一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗回歸方程【解析】選D.根據(jù)兩個變量具有相關關系的概念,可知A正確;散點圖能直觀地描述具有相關關系的兩個變量的相關程度,且回歸直線最能代表它們之間的相關關系,所以B,C正確;具有相關關系的成對樣本數(shù)據(jù)才有經(jīng)驗回歸方程,所以D不正確.2.(5分)下圖是某地區(qū)2001年至2021年環(huán)境保護建設投資額(單位:萬元)的折線圖.根據(jù)該折線圖判斷,下列結(jié)論正確的是 ()A.為預測該地2026年的環(huán)境保護建設投資額,應用2001年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠B.為預測該地2026年的環(huán)境保護建設投資額,應用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠C.投資額與年份負相關D.投資額與年份的相關系數(shù)r<0【解析】選B.因為2009年之前與2010年之后投資額變化較大,故為預測該地2026年的環(huán)境保護建設投資額,應用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠,所以A錯誤,B正確;隨年份的增長,投資額總體上在增長,所以投資額與年份正相關,r>0,故C,D錯誤.3.(5分)某單位為了了解辦公樓用電量y(kW·h)與氣溫x(℃)之間的關系,隨機統(tǒng)計了四個工作日的用電量與當天平均氣溫,并制作了對照表:氣溫(℃)181310-1用電量(kW·h)24343864由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程=-2x+,當氣溫為-4℃時,預測用電量為 ()A.68kW·h B.52kW·h C.12kW·h D.28kW·h【解析】選A.由題干表格可知x=10,y=40,根據(jù)經(jīng)驗回歸直線必過(x,y)得=40+20=60,所以經(jīng)驗回歸方程為=-2x+60,因此當x=-4時,=68.4.(5分)下列命題是真命題的為 ()A.經(jīng)驗回歸方程=x+一定不過樣本點B.可以用樣本相關系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關程度的強弱,r的值越小,說明兩個變量線性相關程度越弱C.在回歸分析中,決定系數(shù)R2=0.80的模型比決定系數(shù)R2=0.98的模型擬合的效果要好D.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好【解析】選D.對于A,經(jīng)驗回歸方程不一定經(jīng)過其樣本點,但一定經(jīng)過(x,y),所以A是假命題;對于B,由樣本相關系數(shù)的意義,當|r|越接近0時,表示變量y與x之間的線性相關程度越弱,所以B是假命題;對于C,用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好,所以C是假命題;對于D,由殘差的統(tǒng)計學意義知,D是真命題.5.(5分)(多選題)(2023·濟南模擬)某同學將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點圖,得到其經(jīng)驗回歸方程為l1:=0.68x+,計算其相關系數(shù)為r1,決定系數(shù)為R12.經(jīng)過分析確定點F為“離群點”,把它去掉后,再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為l2:=x+0.68,相關系數(shù)為r2,決定系數(shù)為R22.下列結(jié)論正確的是 ()A.r2>r1>0 B.R12C.0<<0.68 D.>0.68【解析】選AC.由題圖可知兩變量呈正相關,故r1>0,r2>0,去掉“離群點”后,相關性更強,所以r1<r2,故R12<R22,故A正確,B錯誤;根據(jù)題圖,當去掉F點后,直線基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上,直線的傾斜程度會略向x軸偏向,故斜率會變小,因此0<<0.68,故C正確6.(5分)(多選題)(2023·福州模擬)為研究混凝土的抗震強度y與抗壓強度x的關系,某研究部門得到下表的樣本數(shù)據(jù):x140150170180195y23a262828若y與x線性相關,且經(jīng)驗回歸方程為=0.1x+9.1,則下列說法正確的是 ()A.a=24 B.y與x正相關C.y與x的相關系數(shù)為負數(shù) D.若x=220,則y=31.1【解析】選AB.依題意,x=140+150+170+180+1955=167,y=23+a+26+28+28由a+1055=0.1×167+9.1,解得a=24,故A因為經(jīng)驗回歸方程=0.1x+9.1中x的系數(shù)為正,所以y與x正相關,且相關系數(shù)為正數(shù),故B正確,C錯誤;當x=220時,y的值約為31.1,故D錯誤.7.(5分)為了研究疫苗的有效率,在某地進行臨床試驗,對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗,一周后有20人感染,為了驗證疫苗的有效率,同期,從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人,分成5組,各組感染人數(shù)如下:調(diào)查人數(shù)x300400500600700感染人數(shù)y33667并求得y與x的經(jīng)驗回歸方程為=0.011x+,同期,在人數(shù)為10000的條件下,以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù),記為N;注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為n,則估計該疫苗的有效率為________.(疫苗的有效率為1-nN,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

【解析】由題表中的數(shù)據(jù)可得x=500,y=5,故=5-0.011×500=-0.5,故N=0.011×10000-0.5=110-0.5=109.5,而n=20,故疫苗的有效率為1-20109.5≈0.817.答案:0.8178.(5分)兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:x99.51010.511y1110865其經(jīng)驗回歸方程是=x+40,則相應點(9,11)的殘差為________.

【解析】因為x=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=1所以8=10+40,解得=-3.2,所以=-3.2x+40,當x=9時,=11.2,所以殘差為11-11.2=-0.2.答案:-0.29.(10分)(2020·全國Ⅱ卷節(jié)選)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得=60,=1200,=80,=9000,=800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關系數(shù)(精確到0.01).附:相關系數(shù)r=,2≈1.414.【解析】(1)樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)為120=120地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為200×60=12000.(2)樣本(xi,yi)的相關系數(shù)r==80080×9000=223≈0.【能力提升練】10.(5分)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A,B兩個變量的線性相關性做了試驗,并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m,如表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)的A,B兩變量有更強的線性相關性 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.|r|越接近1,m越小,線性相關性越強.11.(5分)(多選題)(2023·唐山模擬)某制衣品牌為使成衣尺寸更精準,選擇了10名志愿者,對其身高(單位:cm)和臂展(單位:cm)進行了測量,這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示.已知這10名志愿者身高的均值為176cm,根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展u關于身高v的經(jīng)驗回歸方程為=1.2v-34,則下列結(jié)論正確的是 ()A.這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差B.這10名志愿者的身高和臂展呈負相關C.這10名志愿者臂展的均值為176.2cmD.根據(jù)經(jīng)驗回歸方程可估計身高為160cm的人的臂展為158cm【解析】選AD.對于選項A,因為這10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差,故A正確;對于選項B,因為1.2>0,所以這10名志愿者的身高和臂展呈正相關關系,故B錯誤;對于選項C,因為這10名志愿者身高的均值為176cm,所以這10名志愿者臂展的均值為1.2×176-34=177.2(cm),故C錯誤;對于選項D,若一個人的身高為160cm,則由經(jīng)驗回歸方程=1.2v-34,可得這個人的臂展的估計值為158cm,故D正確.12.(5分)(多選題)針對某疾病,各地醫(yī)療機構(gòu)采取了各種有針對性的治療方法,取得了不錯的成效,某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后,每周治愈的患者人數(shù)如表所示,由表格可得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為=6x2+,則下列說法正確的是 ()周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)(y)2173693142A.=4 B.=-8C.此回歸模型第4周的殘差為5 D.估計第6周治愈人數(shù)為220【解析】選BC.設t=x2,則=6t+,由已知得t=15×(1+4+9+16+25)=11,y=1所以=58-6×11=-8,故A錯誤,B正確;在=6x2-8中,令x=4,得4=6×42-8=88,所以此回歸模型第4周的殘差為y4-4=93-88=5,故C正確;在=6x2-8中,令x=6,得6=6×62-8=208,故D錯誤.13.(5分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.x=46.6,y=563,w=6.8,=1.6,=1469,=108.8,其中wi=xi,w=18.則____________(y=a+bx與y=c+dx二選一)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程,其解析式為______________.

【解析】由題中散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程類型.令w=x,先建立y關于w的經(jīng)驗回歸方程.由于==108.81.6=68,=y-w=563-68×6.8=100.6,所以y關于w的經(jīng)驗回歸方程為=100.6+68w,因此y關于x的經(jīng)驗回歸方程為=100.6+68x.答案:y=c+dx=100.6+68x14.(10分)某地對一家企業(yè)進行深入調(diào)研,數(shù)據(jù)顯示,該企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入,其科技投入x(百萬元)與收益y(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:科技投入x1234567收益y19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點,甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線y=的周圍,據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理.如表:z514012391492134130其中zi=log2yi,z=17(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.1);(2)①乙認為樣本點分布在直線y=mx+n的周圍,并計算得經(jīng)驗回歸方程為=8.25x+3,以及該回歸模型的決定系數(shù)R乙2=0.893,試比較甲、乙兩人所建立的模型,誰的擬合效果更好②由①所得的結(jié)論,計算該企業(yè)欲使收益達到2.56億元,科技投入的費用至少要多少百萬元?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗回歸直線=u+的斜率和截距的最小二乘法估計分別為==,=v-u,決定系數(shù):.【解析】(1)將y=2bx+a兩邊取對數(shù)得log2y=bx+a,令z=log2y,則=x+,因為x=4,所以根據(jù)最小二乘估計可知==149-7×4×5140-7×42≈0.所以=z-x≈5-0.3×4=3.8,所以經(jīng)驗回歸方程為=0.3x+3.8,即=.(2)①甲建立的回歸模型:R甲2=1-1302134≈0.939>R乙所以甲建立的回歸模型擬合效果更好.②由①知,甲建立的回歸模型擬合效果更好.設≥256,解得0.3x+3.8≥log2256=8,解得x≥14.所以科技投入的費用至少要14百萬元,該企業(yè)的收益才能達到2.56億元.15.(10分)(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號i12345根部橫截面積xi0.040.060.040.080.08材積量yi0.250.400.220.540.51樣本號i678910總和根部橫截面積xi0.050.050.070.070.060.6材積量yi0.340.360.460.420.403.9并計算得=0.038,=1.6158,=0.2474.(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近