新高考I卷地區(qū)高三數(shù)學(xué)模擬題題型細(xì)分28立體幾何單選填空7球相關(guān)

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分28——立體幾何單選填空7試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！读Ⅲw幾何_——單選填空》主要分類有：多面體體積、表面積，旋轉(zhuǎn)體體積、表面積，線面關(guān)系判斷，截面，線線角、線面角、二面角，點(diǎn)點(diǎn)距離、長(zhǎng)度，點(diǎn)面距離，線線距離，外接球基礎(chǔ)，外接球中下，外接球中檔，內(nèi)切球，球截面，球的體積，表面積，球缺，其他球相關(guān)，點(diǎn)線距離等，軌跡，最短路徑，綜合，拓展，其他，中檔，中上等，大概226道題。內(nèi)切球：（2024年湘J07株洲一檢）13.若半徑為R的球O是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為_【答案】【解析】【分析】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為【答案】【解析】【分析】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，計(jì)算該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積即可得.【詳解】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，故該圓柱的側(cè)面積,該球的表面積,則.故答案為：.（2024年蘇J36七市三調(diào)）8．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（

8．D【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，，則，則，過作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，8．D【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)椋拾霃阶畲蟮那虿慌c上下底面同時(shí)相切，，則，則，過作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，

即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到正四棱臺(tái)內(nèi)半徑的最大的球是與側(cè)面和底面同時(shí)相切的，再求出其高，得到側(cè)棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.（2024年粵J25深圳一調(diào)）6.已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C（2024年粵J21中附一調(diào)）7.已知圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為（【答案】D【解析】【分析】作圖，找出圖中的幾何關(guān)系，求出母線長(zhǎng)和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長(zhǎng)定理可知：，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長(zhǎng)為l，球的半徑為，【答案】D【解析】【分析】作圖，找出圖中的幾何關(guān)系，求出母線長(zhǎng)和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長(zhǎng)定理可知：，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長(zhǎng)為l，球的半徑為，則有，過點(diǎn)D作BC的垂線，垂直是G，則有，∴，在中，，∴圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為；故選：D．（2024年冀J03冀州一調(diào)）15.已知一個(gè)圓錐內(nèi)切球的半徑為3，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為【答案】或【解析】【分析】根據(jù)已知條件，列出關(guān)于底面半徑和母線長(zhǎng)的方程組，解方程組可得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為【答案】或【解析】【分析】根據(jù)已知條件，列出關(guān)于底面半徑和母線長(zhǎng)的方程組，解方程組可得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l．如圖：為圓錐的軸截面所以由①得③．由得④．將③代入④，得或，所以或．故答案為：或.（2024年浙J04溫州一適）15.與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為【答案】【解析】【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，【答案】【解析】【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故答案為：（2024年鄂J04名校聯(lián)盟，末）8.已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線距離的最小值為（【答案】B【解析】【分析】分別為和的中點(diǎn)，平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點(diǎn)M到直線距離的最小值.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點(diǎn)為H，的中點(diǎn)為N，連接，【答案】B【解析】【分析】分別為和的中點(diǎn)，平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點(diǎn)M到直線距離的最小值.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點(diǎn)為H，的中點(diǎn)為N，連接，，，球O為四棱錐內(nèi)切球，底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，則平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，此圓為的內(nèi)切圓，半徑為r，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平面平面，交線為，平面，為正三角形，有，平面，平面，，，，則有，，，則中，，解得.所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為1，連接.平面，平面，，又，平面，，平面，平面，可得，所以內(nèi)切球表面上一點(diǎn)M到直線的距離的最小值即為線段的長(zhǎng)減去球的半徑，又.所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)M到直線的距離的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：四棱錐的內(nèi)切球，與四棱錐的五個(gè)面都相切，由對(duì)稱性平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)切圓，利用面積法求出半徑，即內(nèi)切球的半徑，由球心到直線的距離，求點(diǎn)M到直線的距離的最小值.（2024年粵J29珠海一中）7．將一個(gè)半徑為的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導(dǎo)數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長(zhǎng)，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，所以圓錐的體積為，令，得，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導(dǎo)數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長(zhǎng)，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，所以圓錐的體積為，令，得，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的軸截面圖如圖所示，則，因?yàn)椋?，所?即，解得，故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查圓錐的內(nèi)切球問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出圓錐的體積，化簡(jiǎn)后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，從而可確定圓錐的大小，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.（2024年蘇J02前黃一模，末）14.在正方體中，球同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)若以F為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過，，設(shè)球，的半徑分別為，，則_【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知條件得到球內(nèi)切于正方體，設(shè)，得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知條件得到球內(nèi)切于正方體，設(shè)，得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)F的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線距離即點(diǎn)到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體.不妨設(shè)，兩個(gè)球心，和兩球的切點(diǎn)F均在體對(duì)角線上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，則，，所以因?yàn)?，所以，所以，因此，得，所以故答案為：?024年粵J44梅州二月檢）4.某圓錐底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（【答案】B【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求解.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，則，所以，【答案】B【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求解.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，則，所以，又，即，解得，即內(nèi)切球的半徑為.故選：B（2024年蘇J07百師聯(lián)盟）5.已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺(tái)的體積為（【答案】D【解析】【分析】由題意可知圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，計(jì)算出梯形的高，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長(zhǎng)為，故梯形的高為，則該圓臺(tái)的體積為.故選：D.）

【答案】D【解析】【分析】由題意可知圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，計(jì)算出梯形的高，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長(zhǎng)為，故梯形的高為，則該圓臺(tái)的體積為.故選：D.（2024年湘J04師大附中）15.在正三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正三棱臺(tái)的體積為【答案】【解析】【分析】取BC和的中點(diǎn)分別為P，Q【答案】【解析】【分析】取BC和的中點(diǎn)分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設(shè)，內(nèi)切球半徑為r，根據(jù)題意求出側(cè)棱長(zhǎng)以及，，再根據(jù)切線的性質(zhì)及等腰梯形和梯形的幾何特點(diǎn)列方程組求出半徑即可.【詳解】如圖，取BC和的中點(diǎn)分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設(shè)，內(nèi)切球半徑為r，因?yàn)?，棱臺(tái)的高為2r，所以，，同理．因?yàn)閮?nèi)切球與平面相切，切點(diǎn)在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，則棱臺(tái)的高，所以棱臺(tái)的體積為．故答案為：.（2024年湘J05長(zhǎng)沙調(diào)研）13.一個(gè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點(diǎn)，連接是球與側(cè)面的切點(diǎn)，可知在上，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，由△∽△可知，即，解得，所以內(nèi)切球表面積為.故答案為：.（2024年浙J28寧波）7.在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（C；）

A.B.C.D.（中下）C；（2024年浙J37寧波模擬）7．在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

7．C【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺(tái)的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺(tái)的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接,所以，解得，所以球7．C【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺(tái)的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺(tái)的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C（2024年粵J128深圳二模）13．已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為13．【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長(zhǎng)為，則在三角形中有，即13．【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長(zhǎng)為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.故答案為：.（2024年魯J32濰坊二模）6．如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，半徑為4的球與圓臺(tái)的上、下底面及每條母線均相切，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（

6．D【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】如圖所示，作出軸截面，分別為上下底面圓的圓心，為側(cè)面切點(diǎn)，為內(nèi)切球球心，則為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，則過點(diǎn)作，垂足為，則，在中，由勾股定理得，6．D【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】如圖所示，作出軸截面，分別為上下底面圓的圓心，為側(cè)面切點(diǎn)，為內(nèi)切球球心，則為的中點(diǎn)，，因?yàn)椋?，則過點(diǎn)作，垂足為，則，在中，由勾股定理得，即，解得或，因?yàn)椋?，，故，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：D.（2024年魯J36濟(jì)南名校聯(lián)盟）8．已知正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P－ABC的體積為（

8．A【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得棱切球的球心即為底面正三角形的中點(diǎn)O，再求出三棱錐的高，最后根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，又因?yàn)榍虻陌霃?，即，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)O，如圖，過球心8．A【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得棱切球的球心即為底面正三角形的中點(diǎn)O，再求出三棱錐的高，最后根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，又因?yàn)榍虻陌霃?，即，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)O，如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，

所以，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，又由題意可知，平面，所以，所以所以，所以.故選：A.（2024年魯J43日照二模）6．已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

6．B【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得，判斷的最大值即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，

點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直徑時(shí)，，所以的最大值為.故選：B.6．B【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得，判斷的最大值即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，

點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直徑時(shí)，，所以的最大值為.故選：B.（2024年浙J02嘉興一中一模）7.正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為（【答案】C【解析】【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長(zhǎng)，再化簡(jiǎn)可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為【答案】C【解析】【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長(zhǎng)，再化簡(jiǎn)可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)最長(zhǎng)，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)，的最大值為，所以的最大值為.故選：C（2024年粵J35中山一中二調(diào)）7.在四面體PABC中，AP，AB，AC兩兩垂直，，若四面體PABC內(nèi)切球的半徑不小于，則AC的取值范圍是（【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)錐體體積公式表示出；再根據(jù)內(nèi)切球的特點(diǎn)，利用分割法表示出，建立關(guān)于的等式；最后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】取棱中點(diǎn)，記.由題意得：，，.因?yàn)椋敬鸢浮緿【解析】【分析】先根據(jù)錐體體積公式表示出；再根據(jù)內(nèi)切球的特點(diǎn)，利用分割法表示出，建立關(guān)于的等式；最后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】取棱中點(diǎn)，記.由題意得：，，.因?yàn)?，平面，平?所以平面.則.設(shè)，四面體PABC內(nèi)切球的半徑為.因?yàn)锳P，AB，AC兩兩垂直，.，則，.所以在中，，.則的面積為，因?yàn)?所以四面體PABC內(nèi)切球的半徑.因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)，，所以的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體內(nèi)切球問題及錐體的體積公式.解題關(guān)鍵在于根據(jù)內(nèi)切球的特點(diǎn)，利用分割法及錐體體積公式兩種方法表示出，建立關(guān)于內(nèi)切球半徑的等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解.（2024年蘇J08宿遷調(diào)研，末）14.在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入個(gè)小球，這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則的最大值為【答案】10【解析】【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系，然后再根據(jù)空隙處放入個(gè)小球相切的關(guān)系，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出小球最多的個(gè)數(shù).【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為.設(shè)實(shí)心球半徑為，由【答案】10【解析】【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系，然后再根據(jù)空隙處放入個(gè)小球相切的關(guān)系，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出小球最多的個(gè)數(shù).【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為.設(shè)實(shí)心球半徑為，由得：，，，，.設(shè)小球的半徑為，同理，，，，到直線的距離為.空隙處放入個(gè)小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個(gè)半徑為的圓上，如下圖所示：為相鄰兩球的切點(diǎn)，，分別為球心，設(shè)，則，，由三角函數(shù)性質(zhì)可知：，，，，又，，故小球個(gè)數(shù)最多為10個(gè),即的最大值為.故答案為：球截面：（2024年鄂J20黃岡浠水三模，魯J24棗莊三月考）7．在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，則以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長(zhǎng)的和為（

7．C【分析】借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得、、兩兩垂直，即以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線分別為三段半徑為，圓心角為的弧，借助弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【詳解】取中點(diǎn)，連接、，則有，，又，、平面，故平面，又7．C【分析】借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得、、兩兩垂直，即以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線分別為三段半徑為，圓心角為的弧，借助弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【詳解】取中點(diǎn)，連接、，則有，，又，、平面，故平面，又平面，故，又，，、平面，故平面，又、平面，故，，由正三棱錐的性質(zhì)可得、、兩兩垂直，故，即以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為：，即與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長(zhǎng)的和為.故選：C.

（2024年冀J46石家莊二檢）8．已知正方體的棱長(zhǎng)為，連接正方體各個(gè)面的中心得到一個(gè)八面體，以正方體的中心為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球的球面與八面體各面的交線的總長(zhǎng)為（8．B【分析】畫出圖形，求解正方體的中心與正八面體面的距離，然后求解求與正八面體的截面圓半徑，求解各個(gè)平面與球面的交線、推出結(jié)果.【詳解】如圖所示，為的中點(diǎn)，為正方體的中心，過作的垂線交于點(diǎn)，正八面體的棱長(zhǎng)為2，即，故，，，則，設(shè)球與正八面體的截面圓半徑為，如圖所示，則，由于，，所以，則，平面與球8．B【分析】畫出圖形，求解正方體的中心與正八面體面的距離，然后求解求與正八面體的截面圓半徑，求解各個(gè)平面與球面的交線、推出結(jié)果.【詳解】如圖所示，為的中點(diǎn)，為正方體的中心，過作的垂線交于點(diǎn)，正八面體的棱長(zhǎng)為2，即，故，，，則，設(shè)球與正八面體的截面圓半徑為，如圖所示，則，由于，，所以，則，平面與球的交線所對(duì)應(yīng)的圓心角恰為，則該球的球面與八面體各面的交線的總長(zhǎng)為故選：B（2024年蘇J21南通二適，末）8.在棱長(zhǎng)為2正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，平面截正方體外接球所得的截面面積為（【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑，設(shè)球心為，求解到截面的距離，從而可得截面圓的面積.【詳解】取正方體的中心為，連接，由于正方體的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體外接球球心為點(diǎn)，半徑，又易得，且，所以三棱錐為正四面體，如圖所示，取底面正三角形的中心為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑，設(shè)球心為，求解到截面的距離，從而可得截面圓的面積.【詳解】取正方體的中心為，連接，由于正方體的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體外接球球心為點(diǎn)，半徑，又易得，且，所以三棱錐為正四面體，如圖所示，取底面正三角形的中心為，即點(diǎn)到平面的距離為，又正三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，即，所以，即正方體外接球的球心到截面的距離為，所以截面被球所截圓的半徑，則截面圓的面積為.故選：A.（2024年粵J33珠海一中預(yù)測(cè)，末）8.已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（【答案】D【解析】【分析】設(shè)的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大.【詳解】如下圖，設(shè)的中心為，球O的半徑為【答案】D【解析】【分析】設(shè)的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大.【詳解】如下圖，設(shè)的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，在中，，解得R＝2，所以，因?yàn)锽E＝DE，所以，在中，，所以，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4π.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大.（2024年閩J19南平三檢）14．在正四棱臺(tái)中，，，且該正四棱臺(tái)的每個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球上，則平面截球所得截面的面積為14．/【分析】先求出外接球的半徑與球心位置；再做輔助線證明出平面，在中，設(shè)，結(jié)合圖象列出關(guān)于的方程組，最后解出截面圓的半徑即可.【詳解】

由球的表面積為，所以，可知球14．/【分析】先求出外接球的半徑與球心位置；再做輔助線證明出平面，在中，設(shè)，結(jié)合圖象列出關(guān)于的方程組，最后解出截面圓的半徑即可.【詳解】

由球的表面積為，所以，可知球的半徑為，設(shè)上下底面的中心分別為，因?yàn)?，從而可知球的球心與下底面的中心重合；分別取和的中點(diǎn)，連接，則在直角梯形中得，則在直角梯形中得，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由于平面，平面，所以，由，，平面，從而平面，在中，設(shè)，則，則，和，聯(lián)立解得：，又因?yàn)槠矫娼厍蛩闷矫鎴D形為圓面，所以圓面的半徑，所以圓面面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)建方程組利用勾股定理解截面圓半徑是解決立體幾何的一種重要方法.（2024年粵J135茂名二測(cè)）14．如圖，在梯形中，，將沿直線翻折至的位置，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積的最小值是14．【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)到底面的距離最大，即此時(shí)平面平面，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，是三棱錐的外接球球心，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截外接球的截面面積最小，此時(shí)，截面的圓心就是點(diǎn)，從而求解.14．【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)到底面的距離最大，即此時(shí)平面平面，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，是三棱錐的外接球球心，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截外接球的截面面積最小，此時(shí)，截面的圓心就是點(diǎn)，從而求解.【詳解】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，由于底面的面積是定值，所以此時(shí)到底面的距離最大，平面平面，且平面平面，取的中點(diǎn)，則，故平面，取的中點(diǎn)，則，又，且，則，又∵，故是三棱錐的外接球球心，且該外接球的半徑；顯然，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截外接球的截面面積最小，此時(shí)，截面的圓心就是點(diǎn)，記其半徑為，則；由于，平面，所以平面，而平面，則，則，在中，，故；又，故，又，故由余弦定理有，∴，故所求面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取的中點(diǎn)，由，確定點(diǎn)是三棱錐的外接球球心.球的體積，表面積：（2024年浙J30嘉興二模）5．如圖，這是一個(gè)水上漂浮式警示浮標(biāo)，它的主體由上面一個(gè)圓錐和下面一個(gè)半球體組成.已知該浮標(biāo)上面圓錐的側(cè)面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（

5．D【分析】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，再根據(jù)圓錐側(cè)面積與體積公式，結(jié)合球的表面積與體積公式求解即可.【詳解】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，由題意，解得.故圓錐的體積與半球體的體積的比值為.故選：D

）

A．B．5．D【分析】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，再根據(jù)圓錐側(cè)面積與體積公式，結(jié)合球的表面積與體積公式求解即可.【詳解】設(shè)半球半徑為，圓錐高為，由題意，解得.故圓錐的體積與半球體的體積的比值為.故選：D球缺：（2024年鄂J26武昌五月檢）6．燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)球缺）.如圖2，“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為，其中是球的半徑，是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積為（?。?/p>

6．B【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個(gè)圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為cm，則cm，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，即，可得，則，.故選：B.

）

A．cm3B．33664cm36．B【分析】由勾股定理求出，則可得，分別求出兩個(gè)圓柱的體積、燈籠中間完整的球的體積與球缺的體積即可得..【詳解】該燈籠去掉圓柱部分的高為cm，則cm，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有，即，可得，則，.故選：B.（2024年魯J23泰安新泰一中，末，J03臨沂一模，末）14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為【答案】①.②.【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可求出、、、、【答案】①.②.【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可求出、、、、、，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，再根據(jù)所給公式分別求出表面積與體積.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負(fù)值舍去），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，所以，同理可得，，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個(gè)球冠的表面積，球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積，又其中一個(gè)球缺的體積，圓錐的體積，球的體積，所以幾何體的體積.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是弄清楚經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到的幾何體是如何組成，對(duì)于表面積、體積要合理轉(zhuǎn)化.其他球相關(guān)：（2024年粵J43茂名一模）14.如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化而努力奮斗的真實(shí)寫照.被托舉的四個(gè)球堆砌兩層放在平臺(tái)上，下層3個(gè)，上層1個(gè)，兩兩相切.若球的半徑都為，則上層的最高點(diǎn)離平臺(tái)的距離為【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出四個(gè)球的球心構(gòu)成的正四面體的高即可得解.【詳解】依次連接四個(gè)球的球心，則四面體【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出四個(gè)球的球心構(gòu)成的正四面體的高即可得解.【詳解】依次連接四個(gè)球的球心，則四面體為正四面體，且邊長(zhǎng)為，正外接圓半徑，則到底面的距離，所以最高點(diǎn)到平臺(tái)的距離為