2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為a，b，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，直接計(jì)算求解【詳解】，所以，；故選：A2．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元一次不等式求集合M，求一次函數(shù)值域求集合N，再應(yīng)用集合的交運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，，，所以.故選：D3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得、的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求值.【詳解】由題設(shè)，，，又，則，可得.故選：A4．2022年2月28日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了我國國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，下面兩圖分別顯示的是2017~2021全國居民人均可支配收入及其增長速度和2021年全國居民人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成，則下列說法正確的是（

）A．2021年全國居民人均可支配收入為35128元，比上年實(shí)際增長B．2017年~2021年五年時(shí)間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實(shí)際增長先減小后增大C．2021年全國居民人均消費(fèi)支出，食品煙酒和居住占比不足D．2021年全國居民人均消費(fèi)支出，教育文化娛樂占比最小【答案】B【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖及其數(shù)據(jù)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對于A，2021年全國居民人均可支配收入為35128元，2020年全國居民人均可支配收入為32189元，所以2021年比2020年增長，所以A錯(cuò)誤，對于B，由統(tǒng)計(jì)圖可知2018全國居民人均可支配收入比2017增長，2019全國居民人均可支配收入比2018增長，2020全國居民人均可支配收入比2019增長，2021全國居民人均可支配收入比2020增長，所以2017年~2021年五年時(shí)間，全國居民人均可支配收入逐年增加，比上年實(shí)際增長先減小后增大，所以B正確，對于C，2021年全國居民人均消費(fèi)支出，食品煙酒和居住占比為，所以C錯(cuò)誤，對于D，由右圖可知，2021年全國居民人均消費(fèi)支出，其他用品及服務(wù)占比最小，為，所以D錯(cuò)誤，故選：B5．已知函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象的一個(gè)對稱中心為B．的圖象的一條對稱軸為C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】C【分析】代入法驗(yàn)證A、B的正誤，應(yīng)用整體法求的遞增區(qū)間判斷C，根據(jù)圖象平移及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】A：由，故是的一個(gè)對稱中心，正確；B：由，故是的一個(gè)對稱軸，正確；C：令且，則且，故當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；D：，顯然為奇函數(shù)，正確.故選：C6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三視圖知幾何體為長方體中去掉一個(gè)圓錐體，結(jié)合棱柱、圓錐的表面積求法求幾何體的表面積即可.【詳解】由三視圖知：幾何體為長方體中去掉一個(gè)圓錐體，如下圖示，所以圓錐底面半徑為3，母線長為，側(cè)面積為，底面積為，則幾何體的表面積為.故選：A7．已知，，對于命題；，下列為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，求出，，判斷出p，q命題真假，即可得解.【詳解】解：∵，，∴,∵，∴，即，故p為真命題，假命題；∴，故q為假命題，為真命題.∴為真命題，故選：B8．斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)?化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．2695【答案】C【分析】根據(jù),遞推得到數(shù)列,然后再得到數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)樗詳?shù)列為此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為:是以6為周期的周期數(shù)列,所以.故選：C.9．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質(zhì)求出對應(yīng)區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).故選：B10．已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義及，可得，再由即可建立的方程，即得.【詳解】由題意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故選：C.11．若關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令且，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及區(qū)間值域，進(jìn)而求a的范圍.【詳解】由題設(shè)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令且，則，而，當(dāng)時(shí)，遞增且值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，遞減且值域?yàn)?所以，要使有兩個(gè)不同實(shí)根，即，可得.故選：B12．已知正方體的表面積為96，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)平面，且平面，則平面截正方體所得的截面周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，可得平面為平面，由題可知正方體的棱長為4，即求；【詳解】取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，連結(jié)則∴平面PCD，，又平面，可得，又∴面，，,面，即平面為面，由題可知，故，，截面的周長為，故選：D.二、填空題13．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【分析】由題設(shè)畫出可行域，結(jié)合的最小值的幾何意義，與可行域有交點(diǎn)情況下對應(yīng)直線截距最大即求得的最小值.【詳解】由題設(shè)畫出可行域入如下圖，由可得：，作直線沿可行域的方向平移，可知過點(diǎn)時(shí)，最大，最小.由得.所以的最小值為：.故答案為：.14．已知，則___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦倍角公式代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以所以，解得?故答案為：.15．已知拋物線，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為拋物線E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)B在第四象限，且四邊形為菱形（為坐標(biāo)原點(diǎn)，），則菱形的面積為___________.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的方程和菱形的性質(zhì)建立方程組，求解即可.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)B，C為拋物線E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且四邊形為菱形，所以，解得，所以菱形的面積為，故答案為：.16．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，若，且在數(shù)列中，僅有5項(xiàng)不小于實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式求出，從而求出，根據(jù)前n項(xiàng)和定義結(jié)合累加法求出，作差分析的單調(diào)性，從而結(jié)合題意求解即可.【詳解】設(shè)，則根據(jù)，得，兩式相除得，結(jié)合正項(xiàng)等比數(shù)列知，所以，所以，因?yàn)?，所?即，所以，累加得；n=1成立，，所以當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，根據(jù)題意需要，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.三、解答題17．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕.某同學(xué)為了解本校學(xué)生對“2022年北京冬奧會(huì)”的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生了解其收看“冬奧會(huì)”節(jié)目的情況，有1天收看記為1次，有2天收看記為2次，…，有17天收看記為17次（當(dāng)天多次收看只記1次），并將這100人按次數(shù)分組：第1組，第2組，第3組，第4組，得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值，并估計(jì)本校學(xué)生的平均收看次數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替）；(2)若第4組中有7名女生，其中高一年級3名，高二年級3名，高三年級1名，現(xiàn)從7名女生中隨機(jī)抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會(huì)”節(jié)日，求所抽取的2人中沒有高三年級女生的概率.【答案】(1)；本校學(xué)生的平均收看次數(shù)為次.(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1，求出a的值，再利用頻率分布直方圖求平均值的方法計(jì)算平均值即可.（2）先計(jì)算出從7名女生中隨機(jī)抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會(huì)”節(jié)日的方法種數(shù)，再求所抽取的2人中沒有高三年級女生的方法種數(shù)，由古典概型公式代入即可.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：，得：.由頻率分布直方圖得組組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，本校學(xué)生的平均收看次數(shù)為次.(2)第4組中有7名女生，其中高一年級3名，高二年級3名，高三年級1名，現(xiàn)從7名女生中隨機(jī)抽取2人了解該校女生最喜愛的“冬奧會(huì)”節(jié)日，共有種，所抽取的2人中沒有高三年級女生，共有：種，設(shè)所抽取的2人中沒有高三年級女生的概率為事件，則.18．已知△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)若，求△周長的取值范圍.【答案】(1)；’(2).【分析】（1）利用正弦定理邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)及和角正弦公式可得，即可求B的大??；（2）由余弦定理及基本不等式可得，注意等號(hào)成立條件，結(jié)合三角形三邊關(guān)系確定b的范圍，進(jìn)而可得△周長的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)，，而，所以，即，又，故且，則.(2)由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，所以△周長的取值范圍為，即.19．如圖，在中，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到，連接，，.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)E到平面的距離.【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）由題可知，再由結(jié)合線面垂直判定證明即可；（2）利用等積法即求.【詳解】(1)因?yàn)?，，，，又，平面，平面?2)因?yàn)槠矫妫?，∴平面，由題可知，∵，，∴，∵，∴，設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為，由，得，解得.20．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P為橢圓C上一點(diǎn)，且△面積的最大值為4.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，A，B，D，E都在橢圓C上，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)離心率、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求a、b，即可得橢圓方程.（2）討論直線和的斜率，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長公式求、，結(jié)合直線斜率范圍求比值的范圍.【詳解】(1)由題設(shè)，，解得，故橢圓C的方程為.(2)由（1）知：，若直線和的斜率存在，令，則，且，聯(lián)立與橢圓并整理得：，則，所以，，故，同理，，所以；若直線和，其中一條直線的斜率不存在，當(dāng)斜率不存在，則斜率為0，此時(shí)，，則；當(dāng)斜率不存在，則斜率為0，此時(shí)，，則；綜上，的范圍為.21．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：.【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得有兩個(gè)解，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即得；（2）由題可得，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為證，利用換元即證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即得.【詳解】(1)令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，又，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；(2)由題可得，兩式相減可得，，要證，即證，即證，也即證，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，∴，所以，故原命題成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若過極點(diǎn)O的直線交l于點(diǎn)M，交C于點(diǎn)N，求的最小值.【答案】(1)；；(2)2.【分析】(1)通過消去t求出直線的普通方程，結(jié)合即可求出直線的極坐標(biāo)方程；利用計(jì)算即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線的極角為()，根據(jù)題意可得、，由三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由(t為參數(shù))，得，又，所以直線的極坐標(biāo)方程為，即；由，得，又，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即；(2)由(1)知