專題05勾股定理及其逆定理（考點清單2考點8種題型）

專題05勾股定理及其逆定理（考點清單）考點一勾股定理【考試題型1】用勾股定理解三角形相關計算題【解題方法】在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．【典例1】（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）已知一個直角三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，和都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，由勾股定理得：第三邊長是；和都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是；即第三邊長是或，故選：D．【點睛】本題考查了對勾股定理的應用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊、的平方和等于斜邊的平方．【專訓11】（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，垂足為D．若，，則的長為（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的長，再運用等面積法求得的長即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故選A．【點睛】本題主要考查了勾股定理、等面積法等知識點，掌握運用等面積法求三角形的高是解題的關鍵．【專訓12】（2019秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是1，CB⊥AB于點B，且BC＝2，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸于點D，則點D表示的數(shù)為（

）A．2﹣1 B．2 C． D．2+1【答案】A【分析】根據(jù)題意得，，，則是直角三角形，根據(jù)勾股定理得，得，即可得．【詳解】解：由題意得，，，∵，∴，∴是直角三角形，即，∴，∴，即點D表示的數(shù)為：，故選A．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理．【專訓13】（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期中）將三個大小不同的正方形如圖放置，頂點處兩兩相接，若正方形的邊長為4，正方形的邊長為3，則正方形的面積為（

）A．25 B．5 C．16 D．12【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質證，推出，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，∵根據(jù)正方形的性質得：，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，在中，由勾股定理得：，則正方形B的面積為25．故選：A．【點睛】本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，解此題的關鍵是求出的長．【專訓14】（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，則點到直線的距離是（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】作于點，根據(jù)勾股定理可以求得的長，然后根據(jù)三角形的面積為定值即可求出點到直線的距離．【詳解】解：作于點，如圖所示，，，，，，，解得，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，解題的關鍵是明確三角形的面積為定值，點到直線之間垂線段最短．【專訓15】（2021秋·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實驗中學?？计谥校┤鐖D，在中，，若是上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB，根據(jù)垂線段最短，求出CP的最小值即可解決問題．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴,∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5，根據(jù)垂線段最短可知，當CP⊥AB時，CP的值最小，最小值，∴AP+BP+CP的最小值，故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，動點問題等知識，解題的關鍵是掌握垂線段最短和等面積法，屬于中考?？碱}型．【專訓16】（2020秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點到原點的距離是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)：（1）點P(x，y)到x軸的距離等于|y|；（2）點P(x，y)到y(tǒng)軸的距離等于|x|；利用勾股定理可求得.【詳解】在平面直角坐標系中，點到原點的距離是故選：D【點睛】考核知識點：勾股定理.理解點的坐標意義是關鍵.【考試題型2】判斷勾股數(shù)【解題方法】能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)；②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)；③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．【典例2】（2023春·江蘇南通·八年級如東縣實驗中學?？计谥校┰谙铝懈鲾?shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41【答案】B【分析】滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，由此求解即可．【詳解】解：A、52+122=132，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；B、82+122≠152，不是勾股數(shù)，此選項符合題意；C、82+152=172，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；D、92+402=412，是勾股數(shù)，此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)；②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)；③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．【專訓21】（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）下面四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個正整數(shù)，滿足的三個數(shù)，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．【詳解】解：A、，能構成勾股數(shù)，故正確；B、，，，不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故錯誤；C、，不能構成勾股數(shù)，故錯誤；D、，不能構成勾股數(shù)，故錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，熟記常用的勾股數(shù)．【專訓22】（2022秋·江蘇連云港·八年級連云港市新海實驗中學校考期中）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù).某同學將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（

）A．47 B．62 C．79 D．98【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，進而得出的值.【詳解】解：由題可得：……當故選：C【點睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關鍵.【考試題型3】求以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【解題方法】解題的關鍵是把握圖形面積之間的關系．【典例3】（2021春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）A．194 B．144 C．13 D．12【答案】B【分析】如圖，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根據(jù)正方形的面積公式得到a2=21，c2=169，則可計算出b2=144，從而得到字母B所代表的正方形的面積．【詳解】解：如圖，∵a2+b2=c2，而a2=25，c2=169，∴b2=16925=144，∴字母B所代表的正方形的面積為144．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理：會利用勾股定理進行幾何計算．【專訓31】（2020秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，以Rt△ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若AB=，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】先用直角三角形的邊長表示出陰影部分的面積，再根據(jù)勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，進而可將陰影部分的面積求出．【詳解】解：，∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝，∴AB2＋AC2＋BC2＝10，∴S陰影＝×10＝5．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，能夠運用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關系是解決本題的關鍵．【專訓32】（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來表示它們的面積，那么下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，依此即可求解．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個正方形的面積之間的關系．【專訓33】（2019秋·江蘇南京·八年級南京市第十三中學?？计谥校┤鐖D所示是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是A．13 B．26 C．47 D．94【答案】C【詳解】解：如圖根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為，C、D的面積和為，，于是，即．故選C．【專訓34】（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，以一個直角三角形的三邊為直徑作3個半圓，若半圓B、C的面積分別是4、5，則半圓A的面積是（

）A．1 B．3 C． D．9【答案】A【分析】根據(jù)半圓的面積計算公式即可計算S與直徑的關系，根據(jù)直角三角形中勾股定理的應用可以計算直角△ABC中三邊關系，根據(jù)這兩個關系式即可解題．【詳解】解：如圖，半圓B、C、A的面積分用S2、S1、S3表示；S1＝π，S2＝π，S3＝π，∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴S2+S3＝S1，半圓A的面積是54=1；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，考查了半圓的面積計算公式，本題中正確的根據(jù)勾股定理求出AB，AC，BC的關系是解題的關鍵．【專訓35】（2021秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為10，2號、3號兩個正方形的面積和為8，則a，b，c三個正方形的面積和為（

）A．18 B．26 C．28 D．34【答案】B【分析】由圖可以得到a、b、c三個正方形的面積與1號、2號、3號、4號正方形的面積之間的關系，再根據(jù)1號、4號兩個正方形的面積和為10，2號、3號兩個正方形的面積和為8，可以求得a，b，c三個正方形的面積的和．【詳解】解：解：如下圖所示，∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，同理可證，，，∴，∵，，∴，故選B．【點睛】本題考查了學生對勾股定理的理解，解題的關鍵是把握圖形面積之間的關系．【考試題型4】利用勾股定理解決三角形折疊問題【解題方法】選不含折痕為邊的直角三角形利用勾股定理求解.【典例4】（2018秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將ΔABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（

）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】設BN=x，由折疊的性質可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，計算即可．【詳解】解：∵D是BC的中點，∴BD=3，設BN=x，由折疊的性質可得DN=AN=9－x，在Rt△BDN中，，x2+32=（9－x）2，解得x=4．故線段BN的長為4．故選C．【專訓41】（2023春·江蘇南通·八年級如東縣實驗中學?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折疊的性質得到，設，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得到，求解即可．【詳解】解：∵沿DE翻折，使點A與點B重合，∴，∴，設，則，，在中，∵，∴，解得，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質及勾股定理的應用，理解題意，熟練掌握勾股定理解三角形是解題關鍵．【專訓42】（2021秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，為的平分線，將沿直線翻折得，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，設DE＝x，則BD＝8?x，得出（8?x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．【詳解】∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC=，∵將△ADC沿直線AD翻折得△ADE，∴AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE?AB＝10?6＝4，在Rt△BDE中，設DE＝x，則BD＝8?x，∵BD2＋BE2＝DE2，∴（8?x）2＋42＝x2，解得：x＝5，∴DE＝5．故選B．【點睛】本題考主要查了勾股定理，直角三角形的性質，折疊的性質等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【考試題型5】探索勾股定理的證明方法【解題方法】注意觀察圖形，發(fā)現(xiàn)各個圖形的面積和a，b的關系．【典例5】（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四個全等的直角三角形與小正方形拼成的大正方形圖案，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么的值為（

）A．25 B．28 C．16 D．48【答案】B【分析】根據(jù)所求問題，利用勾股定理得到a2＋b2的值，由已知條件得到ab的值，從而求得．【詳解】解：大正方形的面積為16，得到它的邊長為4，即得a2＋b2＝42＝16，由題意4×ab＋4＝16，2ab＝12，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝16＋12＝28．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的運用，解題的關鍵是注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個圖形的面積和a，b的關系．【專訓51】（2021秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）勾股定理與黃金分割并稱為幾何學中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學史上的里程碑，2000多年來，人們對它進行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關面積的等量關系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用面積與恒等式，②中矩形面積等于兩個直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個直角邊分別為a，b的直角三角形與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積之和；④中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和；⑤中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：②中矩形面積等于兩個直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個直角邊分別為a，b的直角三角形與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；④中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；⑤中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；所以可以證明勾股定理的圖形有③④⑤，共3個．故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，熟練掌握梯形，正方形的面積的不同求法是解題的關鍵．考點二勾股定理逆定理【考試題型6】判斷三邊能否構成直角三角形【解題方法】如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．即根據(jù)三邊判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．【典例6】（2022秋·江蘇·八年級期末）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（

）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A、12＋12≠12，不能構成直角三角形，不符合題意；B、22＋32≠42，不能構成直角三角形，不符合題意；C、1＋2＝3，不能構成三角形，不符合題意；D、52＋122＝132，能構成直角三角形，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．【專訓61】（2021秋·江蘇揚州·八年級寶應縣城北初級中學校考期中）滿足下列條件的ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6 B．C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝1，BC＝2，【答案】B【分析】利用勾股定理逆定理和三角形內角和定理進行計算即可．【詳解】解：A、設∠A=2x°，∠B=4x°，∠C=6x°，2x+4x+6x=180，解得：x=15，則∠C=6×15°=90°，∴△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；B、（）2+（）2≠（）2，△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；C、62+82=102，△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；D、12+22=（）2，則△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．【考試題型7】在網格中判斷直角三角形【解題方法】判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．【典例7】（2023春·江蘇·八年級期中）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點A，B，C都在網格的格點上，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)勾股定理求出的長度即可判斷A，B，C選項，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根據(jù)度角直角三角形的性質即可判斷D選項．【詳解】根據(jù)勾股定理可得，，故A選項正確，不符合題意；根據(jù)勾股定理可得，，故B選項正確，不符合題意；根據(jù)勾股定理可得，，故C選項正確，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了勾股定理和網格的性質，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【專訓71】（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網格中，各有一個三角形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求四個選項中各邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解題．【詳解】解：A、三角形各邊長為、、，，故該三角形為鈍角三角形，符合題意；B、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；C、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；D、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理是解本題的關鍵．【專訓72】（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設出正方形的邊長，利用勾股定理，解出各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【詳解】解：設小正方形的邊長為1，則，，，，因為，所以能構成一個直角三角形三邊的線段是．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．【專訓73】（2020秋·江蘇南京·八年級南京外國語學校?？计谥校┤鐖D，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”(格線的交點)，以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，可以畫等腰三角形和直角三角形的個數(shù)分別是(

)A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4【答案】A【分析】結合格點圖形及勾股定理，等腰三角形的性質即可得解．【詳解】解：（1）如圖，為等腰三角形有兩種由勾股定理易知：ED=DC=,符合題意，由勾股定理易知：AE=EC=,符合題意，（2）如圖，為直角三角形有三種由勾股定理及格點圖知：AB=2，BE=4，AE=,滿足，由勾股定理逆定理知?ABE為直角三角形，由勾股定理及格點圖知：BC=2，BE=4，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CBE為直角三角形，由勾股定理及格點圖知：DC=，DE=，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CDE為直角三角形，故選：A【點睛】本題主要考查了在格點中畫等腰三角形及勾股定理在格點圖形中的應用，結合格點圖形，利用勾股定理，合理構造是解決本題的關鍵．【專訓74】（2020秋·江蘇·八年級校考期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．150°【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理證明△ACB為等腰直角三角形即可得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得：AC=BC=，AB=，∵AC2+BC2=AB2=10，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是根據(jù)正方形的性質求出邊長，由勾股定理的逆定理判斷出等腰直角三角形．【考試題型8】已知三角形相關數(shù)據(jù)判斷能否構成直角三角形【解題方法】直角三角形的判定方法：1）有一個角是直角的三角形是直角三角形.2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形.【典例8】（2019秋·江蘇淮