概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章 隨機(jī)變量及其分布教案

第二章隨機(jī)變量及其分布

一、內(nèi)容提要

(-)隨機(jī)變量

1.隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)￡的樣本空間為Q={?},如果對(duì)于任意的。eQ,都有唯一

的實(shí)數(shù)X(。)與之對(duì)應(yīng),則稱X(。)是定義在樣本空間C上的一個(gè)隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母X,幾Z等表示。

2.隨機(jī)變量的兩種主要類型

(1)離散型隨機(jī)變量X:X只能取有限個(gè)值或可列個(gè)值。

(2)連續(xù)型隨機(jī)變量X:若存在一定義在(-8,+8)內(nèi)的非負(fù)函數(shù)網(wǎng)，使對(duì)任意的a,b{a<壇,

都有

P[a<XW。}=jp(x)dx,

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。

連續(xù)型隨機(jī)變量X可取某個(gè)有限區(qū)間[a,句上或無(wú)限區(qū)間(-00,+00)內(nèi)的一切值。

3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)X是一隨機(jī)變量，則稱函數(shù)

F(x)-P[X<x},—oo<x<+<x>

為％的分布函數(shù)，它表示事件{X4A)的概率。

(1)分布函數(shù)的基本性質(zhì)

①為非負(fù)、單值不減函數(shù)，即對(duì)任意*1〈及，有片,1)48及);

②F(-^x))-limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

XT-00XT+CO

③04F(x)Wl;

④片M為右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意x有片x+0)=HM.

這一分布函數(shù)的定義，對(duì)離散型或連續(xù)型隨機(jī)變量都適用。

(2)分布函數(shù)8用能全面完整地描述隨機(jī)變量，是描述隨機(jī)變量的重要工具之一。

①對(duì)任意6,有P{XW圻=F(b),即X取值不超過(guò)任意實(shí)數(shù)b的概率，等于其分布函數(shù)在這

一點(diǎn)的函數(shù)值。

②對(duì)任意a<b,有P{a<X<例=F(b)-F(a)，即Xe(a,b］的概率等于其分布函數(shù)在該區(qū)

間上的改變量。

③對(duì)任意/?,有尸{X=4=F⑸-F(b-0),即X取任一點(diǎn)的概率，等于其分布函數(shù)在該點(diǎn)

的函數(shù)值與左極限的差。

(二)離散型隨機(jī)變量的概率分布

1.離散型隨機(jī)變量的概率分布(或分布列)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取到的值為Xl,X2.................X取各個(gè)值的相應(yīng)的概率為

P{X=xJ=Pk，*=1,2,3,…)，則稱P{X=xj=Pk為X的概率分布。

分布列有時(shí)也由表格給出

XAiX2

PPlPl...Pk

2.分布列的基本性質(zhì)

(1)以20#=1,2，…;

(2)±Pk=L

k=\

3.分布列與分布函數(shù)的關(guān)系：分布列與分布函數(shù)可以相互唯一確定，并都能對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行完

整描述：

(1)若已知P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，則X的分布函數(shù)為

F(x)=P{X<x}=^pk,-oo<x<+oo;

(2)若已知X的分布函數(shù)GM,則的各間斷點(diǎn)就是X的可能值，且

%=P{X=xJ=F(Xk)-F(x「0),k=1,2,….

4.幾種常用的離散型分布

(1)兩點(diǎn)分布(貝努里分布)

P[X=k}=pk(l-p)'-k,k=0,\.

即

X01

P1-pp

(2)二項(xiàng)分布

如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=4}水=0,1,2,…〃.其中0＜夕＜1,g=l”，則稱X服從參數(shù)為夕的二

項(xiàng)分布，記作X~B(〃R).

若用X表示在〃重貝努里試驗(yàn)中事件/發(fā)生的次數(shù)，則

X~B^n.p),其中p=RA)。

特別地，當(dāng)〃=1時(shí)，二項(xiàng)分布化為

P{X=k}=pkqi,(k=0,l)

這就是兩點(diǎn)分布(0—1分布).

(3)泊松分布

如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=%}=^^,d,1,2,…).

則稱X服從參數(shù)為入(入>0)的泊松分布，記作x~Ti(x).

泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn,(77=L2,...)服從二項(xiàng)分布，其分布為

k

p{xn=k}=c：p：(1-P,y-=0,1,2,??.,/?)

此處?是與〃有關(guān)的數(shù).又設(shè)np“—+oo),則有

忸P{X”=止4一/

由此定理可見(jiàn)，若x~,則當(dāng)“較大，。較小時(shí)，有近似公式

-2

P{X=曷=C：p"“T?——,(k=0,1,2,…,〃)，其中\(zhòng)=np.

(4)幾何分布

如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=燈=〃/T,(左=1,2,…).

其中0</?<1,q=l-p,則稱X服從參數(shù)為夕的幾何分布。

(5)超幾何分布

如果隨機(jī)變量X的概率分布為

其中M,N,〃都是正整數(shù)，目ji￡N—M,l=min(M,n),則稱X服從超幾何分布。

(三)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)

L*的密度函數(shù)：設(shè)X為隨機(jī)變量，為其分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)AM,使對(duì)一

切實(shí)數(shù)x,有

尸(x)=JLp(t)dt.

則稱/XM為X的概率密度函數(shù)。

顯然在AM的連續(xù)點(diǎn)x處，有F(M=/XM,這就是密度函數(shù)與分布函數(shù)之間的關(guān)系。

2.密度函數(shù)/XM的基本性質(zhì)：

(1)刖0；

(2)JUp(x)公=1；

⑶P{X1<XW々}=J：P⑺4=尸(々)-F(x,);

px+Av

(4)P[x<X<%+Ax}=JpQ)dt=p(x0)Ax,其中x<x0<x+Ax.

(5)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X在任一指定點(diǎn)府處，其概率為零。

即P{X=x0}=0。

3.幾種常用的連續(xù)型分布

(1)均勻分布：對(duì)有限數(shù)a,E(a>母，若X具有密度函數(shù)

1

,a<x<b,

P(x)=<b-a

0,其它.

則稱X服從均勻分布，記為X~U[a,b]。

分布函數(shù)為

0,x<a,

x-a

尸(x)=a<x<b,

b-a

1,x>b.

顯然雙切20且

0?KC「a1

=

LP（x）公力"一clx10

（2）指數(shù)分布：若X具有密度函數(shù)

,、及弋x>0,2>0,

p(x)={

0,x<0.

稱X服從參數(shù)為人的指數(shù)分布。

顯然雙心0

jp(x)dx=J。p(x)dx=1.

分布函數(shù)為

l-e-Zt,x>0,

尸（幻=

0,x<0.

指數(shù)分布適用于元件壽命、動(dòng)物壽命、服務(wù)時(shí)間等實(shí)際問(wèn)題。

(3)正態(tài)分布：在理論和實(shí)踐中，正態(tài)分布都是非常重要的一種分布。

1.一般正態(tài)分布

①密度函數(shù)：若X具有密度函數(shù)

](?/

P(X)=--■一,e，-00<%<+00.

則稱X服從參數(shù)為〃，。的正態(tài)分布(高斯分布)，記為X~N(%S)

②密度函數(shù)的性質(zhì)：

1)xXM處處連續(xù)；

2);XM>0;

3)(p(x)dx=l;

4)曲線關(guān)于后〃對(duì)稱；

5)p(〃)=I—最大;

72兀o

6)當(dāng)x=〃±cr時(shí)有拐點(diǎn)(〃-a,2—),(//+<7,;

■>j2e7i<j12碇cr

7)漸近線為x軸，即片0;

8)當(dāng)c固定時(shí)，曲線形狀不變，而位置隨p的不同而改變；當(dāng)口固定，曲線位置不變，但形

狀隨c的不同而改變，。越大曲線越扁平，即分布越分散，。越小，曲線越陡峭，即分布越集中。

③分布函數(shù)為

](1“I

F(x)=P{X<x}=-p=-「dt.

n.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

①密度函數(shù)：若x具有密度函數(shù)

1H

夕(%)=e2,-oo<x<+oo.

則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(高斯分布)，記為X~N(%『)

②密度函數(shù)的性質(zhì)：有與一般正態(tài)分布完全類同的性質(zhì)。

③分布函數(shù)

產(chǎn)1--

①(x)=P{X<%}=[,—e2dt.

2兀

(編有專門的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，供查用)

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，必須記住：

①(一口)=1—①(。),(1>0)。

60)=1

2

P[a<x<b]=^(p{x}dx=①(0)-①(a).

m.一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系：

①若x~N（M，/）,則隨機(jī)變量y二上幺服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,BPK~/V（O,1）.

（7

②若X~N（M，）,要求P{xt<X<x2}可轉(zhuǎn)化為求

PP<j<?}.

(J(JCT

其中令y=甚二4

即有p{玉<x</}=p{土二幺<丫<三二"}

aa

=o（^^）-a）（^z2￡）o（查表）

aa

_~“、zX-[IC-LI.w/C-〃、,__I-、

又P[X<c}=P[——-<--}=O(―竺)。(查表)

(Ja(J

P{X>c}=l-P{X<c}=l-P{立幺<絲幺

(TCT

=1-①（匚4）。（查表）

（7

③“三一b"原則：若*~N（〃Q2）,則有

丫=以

P{〃-cr<x<〃+b}0P{-l<y<l}

=①⑴—①(―1)=0(1)-[1-0(1)]

=2①(1)—1=0.6846

P{〃-2b<X<〃+2cr}=2①⑵-1=0.9545

P{〃-3cr<X<〃+3cr}=2①⑶-1=0.9973

(四)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

L隨機(jī)變量函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，若隨機(jī)變量X取值x時(shí)，隨機(jī)變量卜取值4M,

則稱隨機(jī)變量％是X的函數(shù)，記作/=/(A)o

如果X的分布已知，則可以確定其函數(shù)上4萬(wàn)的分布。

2.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布"=&￥=},(4=1,2,...),則上不用也為離散型隨機(jī)變量，取值

為次""=12...).

(1)若次“)，(攵=1,2...)的值全不相同，則『=42的概率分布為

Y力yk

PP1P2PiPk

(2)若次")，(代1,2,...)的值有相同的，則把那些相等的值分別合并，并用概率加法公式將

相應(yīng)的概率值相加，即得至!l『的概率分布。例如在諸心,(〃=1,2,...)中，

有y&i=/(x&i)-/(xk2)=…=/(x*,),

則P{y=%}=P{f(x)=%}=p{x=%}+P{x=42}+-+P{x=Xh}

Pk\+Pk2+…+07。

3.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)X的概率密度為制切，則可以確定其函數(shù)上44的概率密度夕?。常采用"求分布函數(shù)”

的方法。即先求『=4內(nèi)的分布函數(shù)。

FY（y）=P{Y<y}=P{f（X）<y}=\px（x）dx.

然后對(duì)上式兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，則可求出P的密度函數(shù)。

特別地，若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

[>0,a<x<b,

，、（咋0,其它.

此處a可以是-8,6可以是+8,且片嚴(yán)格單調(diào)，則上”0的概率密度

,,Px（g（y））|g'（y）|，a<y</3,

0,其它.

其中*=則是片七）的反函數(shù),a=min{4a）,e）},/=max伍a）,?。﹠.

二、要求

1.充分理解隨機(jī)變量的概念，并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量取某值（某范圍內(nèi)的值）來(lái)表示隨機(jī)事件。

2.深刻理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)、離散型的分布列、連續(xù)型的密度函數(shù)的概念；掌握它們的基

本性質(zhì)；學(xué)會(huì)用分布函數(shù)或概率分布（密度）來(lái)完整地描述隨機(jī)變量；知道分布列（密度函數(shù)）與

分布函數(shù)之間的關(guān)系。

3.掌握幾種常用的一元分布及其適用范圍。

(1)二項(xiàng)分布：分布列(〃=1即兩點(diǎn)分布)，在〃較小時(shí)會(huì)計(jì)算概率。

(2)泊松分布：分布列、概率計(jì)算、二項(xiàng)分布逼近泊松分布。

(3)均勻分布：密度函數(shù)、分布函數(shù)、計(jì)算概率。

(4)指數(shù)分布：密度函數(shù)、分布函數(shù)、計(jì)算概率。

(5)正態(tài)分布：

①X~N3d)：密度函數(shù)、分布函數(shù)，計(jì)算相應(yīng)概率、"三。"原則。

②*~2(0,1)：密度函數(shù)、分布函數(shù)及其性質(zhì)，熟練使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，解決概率的計(jì)算

問(wèn)題。

③熟練掌握將一般正態(tài)分布通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變量Y=紅幺代換，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而解決

(J

服從分布N(出/)的y在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的計(jì)算問(wèn)題。

4.會(huì)求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布，會(huì)求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。

三、例題分析

例1袋中有12個(gè)大小規(guī)格相同的球，其中含有2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，求取出的3個(gè)

球中紅球個(gè)數(shù)的分布列及分布函數(shù)。

分析這是一個(gè)求離散型隨機(jī)變量X的分布列問(wèn)題，其關(guān)鍵就是要分析X所能取哪些值并求出

取得這些值的相應(yīng)概率。

解設(shè)X表示取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，顯然X是離散型，只能取值0,1,2,利用古典概

率計(jì)算公式得:

「代。卜管卡。爾

2

P{X=1}=C'CN9=0.409

Cl22

c；c；。_=J-o.O46

P{X=2}==

G；22

所以X的分布列為

X012

P0.5450.4090.046

X的分布函數(shù)

/（X）=ZP"

4女

0,x<0,

0.5450<x<1,

即尸（幻=

0.9541<x<2,

1,x>2.

例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

X0246

P0.10.20.30.4

求(1)X的分布函數(shù)；(2)P[-1<X<3}；(3)P[2<X<8}；(4)P{X>0}.

分析X服從離散型分布，只能取0,2,4,6這4個(gè)值。由F(x)=P{X<x}=￡P(guān)A知，

為分段函數(shù)。利用X的概率分布可求出X取值于任意區(qū)間的概率。

解(1)當(dāng)*<0時(shí)，尸(幻=P{乂48=0;

當(dāng)0”<2時(shí)，尸(x)=P{X4x}=P{X=0}=0.1;

當(dāng)2wx<4時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3;

當(dāng)44x<6時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X=0}+P(X=2}+P{X=4}

=0.1+0.2+03=0.6;

當(dāng)X26時(shí)，F(xiàn)(x)=P[X=0}+P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}

=0.1+0.2+03+0.4=1.

所以X的分布函數(shù)為

0,x<0,

0.1,0<x<2,

F(x)=<0.3,2<x<4,

0.6,4<x<6,

x>6.

(2)P{-1<Xv3}=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3.

(3)尸{2<X<8}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}=0.2+03+0.4=0.9.

(4)P{X>0}=1-P{X<0}=1-P{X=0}=1-0.1=0.9.

例3某人有5發(fā)子彈，向一目標(biāo)射擊，每次命中率均為0.9，若擊中目標(biāo)或子彈用盡就停止射

擊，求其射擊次數(shù)X的概率分布。

分析射擊次數(shù)X可能取值為1,2,3,5,然后計(jì)算取這些值的概率。

解射擊次數(shù)X所有可能的取值為1,2,3,4,5,其概率分布為

HX=l}=0.9,

RX=20}=0.1x0.9=0.09,

P{X=3}=0.12x0.9=0.009,

P{X=4}=0.13X0.9=0.0009,

P{X=5}=0.14X0.9+0.15=0.0001.

概率分布為

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

例4電話總機(jī)站為300個(gè)用戶服務(wù)，一小時(shí)內(nèi)每一用戶使用電話的概率為0.01,求在一小時(shí)

內(nèi)：

(1)恰有4個(gè)用戶使用電話的概率；

(2)最多有4個(gè)用戶使用電話的概率。

分析這是二項(xiàng)分布問(wèn)題，既可由二項(xiàng)分布公式計(jì)算概率，也可用泊松分布(仍=3)近似計(jì)算其

概率。

解設(shè)X為在一小時(shí)內(nèi)使用電話的用戶數(shù)

(1)*~8(300,0.01):按二項(xiàng)分布精確計(jì)算得

P{X=4}=4(0.01)4(0.99)%=0.1689

按泊松分布近似計(jì)算，由/l=〃p=3?=4

34

得P{X=4}==0.1681。(查表)

4!

43%

(2)P{0<X<4}==°-81530(查表)

&=ok]

例5設(shè)X分布列為P{X=燈=。丁，(攵=0,1,2,…">0)，求(1)確定常數(shù)C；(2)求

k\

X落在[1,3)內(nèi)的概率。

分析確定分布列(密度函數(shù))中的常數(shù)C,能利用總概率為1的基本性質(zhì)。

00#

解(1)由不—1,

%=0匕

即ceA=1,

得c=e”.

從而P(X=k}=-e~\

(2)P{l〈X<3}=P{X=l}+P{X=2}=^eT+ge-"=—產(chǎn)廠,

只要給人以定值，則概率就完全確定了。

例6設(shè)X服從參數(shù)為A的泊松分布，已知P{X=1}=P[X=2},試求P{X=4}.

分析首先要利用所給條件確定參數(shù)人。

解因P{X=曷=刀6*(^=0,l,2,---,A>0),

kl

由P{X=1}=P{X=2},

即42—24=0.

得符合條件入>0的解入=2(入=0舍去)

?4?

從而P{X=4}=—e-2=—e-2.

4!3

例7為了保證設(shè)備正常工作，需要配備一定數(shù)量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)

設(shè)備工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01。在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障只需一個(gè)工

人進(jìn)行維修。問(wèn)至少配備多少工人才能保證設(shè)備發(fā)生故障時(shí)能及時(shí)維修的概率大于0.99?

分析以“表示發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，由于每臺(tái)機(jī)器只有"正常"和"發(fā)生故障"兩種狀態(tài)，而且

機(jī)器的工作是相互獨(dú)立的，所以X服從二項(xiàng)分布，即X~8(300,0.01),本題要求確定維修工人

數(shù)/V使得當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)能及時(shí)維修的概率大于0.99，即求/V使得P{X4N}>0.99.由于〃=300,

p=0.01滿足泊松近似公式的條件，因而RX4M可用泊松分布來(lái)作近似計(jì)算。

解以X表示機(jī)器發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則X~8(300,0.01),設(shè)需要配備/V名維修工人，使得

P{X<N}>0.99.

由于〃=300較大，P=0.01較小，入=/70=300x0.01=3,利用泊松定理得：

P{X〈N}=1—P{X>N}

300

=1-^CjooO.OfO.Q^00-*

k=N+l

-1-7—；—.

Jb\

k=N+\

工3心一3

所以1一工-->699,

k=N+l匕

W3〃?一3

即ZjJ〉0.OL

k=N+lk!

查泊松分布表得

N+l=9,N=8,

即只需配備8名工人即可。

例8一本500頁(yè)的書(shū)，共有500個(gè)錯(cuò)字，每個(gè)錯(cuò)字等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上，試求在給定的

一頁(yè)上至少有3個(gè)錯(cuò)字的概率。

解觀察每一個(gè)錯(cuò)字是否出現(xiàn)在給定的一頁(yè)上，共有兩種可能，或者是"出現(xiàn)"，或者是"不

1499

出現(xiàn)"。"出現(xiàn)"的概率為〃=三W，"不出現(xiàn)”的概率為q=*?觀察500個(gè)錯(cuò)字是否出現(xiàn)在給

500500

定的一頁(yè)上，可看作為500重的貝努里試驗(yàn)。以X表示出現(xiàn)在給定一頁(yè)上的錯(cuò)字?jǐn)?shù)，則X~B(500,

-7)?所求事件的概率為

50014QQ

P{X23}=之<(」-)*(竺為…

￡500500500

由于a=500較大，p=+較小，可利用泊松定理作近似計(jì)算，這里\=np=l,所以

P{X>3}=1-P{X<3}

=1-P{X=0}—P{X=1}—P{X=2}

—\—\q

?1—e'——------=1e1~0.08.

1!2!2

或者

5001J.QO

P{X23}=甘4(―)A(—)500-t

金500500500

??o.o8.(查泊松分布表)

Mk!

例9從發(fā)芽率為0.99的種子中，隨機(jī)取出100粒，求發(fā)芽數(shù)不少于97粒的概率。

分析觀察一粒種子發(fā)芽與否可看作一次獨(dú)立試驗(yàn)，隨機(jī)取100粒種子觀察其發(fā)芽情況，可看

作100重的貝努里試驗(yàn)。令P表示在100粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)，則八6(100,0.99),所求事

件為名險(xiǎn)97},直接用二項(xiàng)分布計(jì)算此概率太麻煩?？紤]到在泊松定理中，當(dāng)〃較大，夕較小時(shí)有

力

C\pkq"-k?—e-\A=〃p).在本例中，由于a=100較大，夕=0.99也較大，不能直接用泊松定理

k!

進(jìn)行近似計(jì)算。在二項(xiàng)分布中，夕+q=l,夕較大時(shí)，g必定較小，因此，設(shè)X表示在100粒種子中

不發(fā)芽的種子數(shù)，則X~B(100,0.01),發(fā)芽數(shù)不少于97粒，即不發(fā)芽數(shù)小于等于3粒。所求的

事件可表示為{X43},這時(shí)已滿足泊松定理的條件，可用泊松定理作近似計(jì)算。

解觀察1粒種子發(fā)芽與否可看一次獨(dú)立試驗(yàn)觀察100粒種子發(fā)芽的情況可看作100重的貝

努里試驗(yàn)，以X表示在100粒種子中不發(fā)芽的種子數(shù)，則X~B(100,0.01),所求事件的概率為

3

P{X?3}=^^0.01*0.9910°-*

k=O

由于n=100較大，p=0.01較小，可利用泊松定理進(jìn)行近似計(jì)算,這里入=〃夕=1.所以

尸{X<3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

l°e-'I'e-1l2e-'l3e-'

1-----1-----1------1----

0!1!2!3!

o

=-e-1?0.98.

3

或者P{X<3}=1-P{X>3}

100

=1-￡。1%。。/899吟

4=4

上

￡k!

查表

===1—0.01899=0.98.

評(píng)注從例7~例9中可以看出，巧妙地利用二項(xiàng)分布，可以解決許多實(shí)際問(wèn)題，且當(dāng)滿足一

定條件時(shí)，可用泊松定理對(duì)二項(xiàng)分布進(jìn)行近似計(jì)算。

(1)當(dāng)〃較大("250),夕較小(。40.1)時(shí)，有

n*-a

。34*鋁-,(4=印).

KI

(2)當(dāng)〃較大(77250),夕較大(夕20.9)時(shí)，有

C；pkq“-k=

yi-k-A,

?------,(Z=nd).

(n-Q!

例10某商店出售某種商品，據(jù)歷史記錄分析，月銷售量遵從泊松分布，參數(shù)為5，問(wèn)在月初

進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存多少此種商品，才能以0.95的概率不脫銷。

分析由題意知，月銷售量X~n(5),要確定月初的庫(kù)存數(shù)n,使得

P{X<?}>0.95.

解以X表示月銷售量，由題意知X~TI(5),設(shè)月初要庫(kù)存n件此種商品，便得

P{X<?}>0.95,

或者P{X>n}<0.05,

即P{X>n}=^-<0.05.

*=?+!k]

查泊松分布表得〃+1=10,77=9.

即月初的庫(kù)存至少9件，才能以95%的概率不脫銷。

例11(1)乘以什么常數(shù)將使e5(F<x<y),變成概率密度函數(shù)；

(2)設(shè)p(x)=("國(guó)，驗(yàn)證其為某一隨機(jī)變量的概率密度。

分析隨機(jī)變量X的概率密度/XM滿足性質(zhì)①向切20,②「〃(x)dx=1.(1)設(shè)乘上常數(shù)K,

J-00

使Ke中成為概率密度函數(shù)，應(yīng)滿足CKe~^dx=1,由此可確定常數(shù)Ko(2)要驗(yàn)證向⑼是否為

J-oo

某一隨機(jī)變量的密度函數(shù)，只需驗(yàn)證/XM是否滿足上述兩條性質(zhì)。

解(1)設(shè)乘上常數(shù)K使Ke^成為概率密度函數(shù)，須滿足

CKe^dx=l

J-oO

而rKe^dx=2KCexdx^IK,

J-RJ()

所以得K=

2

即乘上常數(shù)!，將使6卡成為概率密度函數(shù)。

2

(2)因?yàn)?/p>

①p(x)=ge，">0,

②「,p(x)必：=/用；6一*公=『6-"公=1.

所以P")=10川為某一隨機(jī)變量X的概率密度。

例12設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

-1

5，1<x<2,

p(x)=1Cx,2vxe3,

0,其它.

求（1）常數(shù)C；（2）P{-1<X<2},P{|X|>2）,P{X<|}.

分析（1）常數(shù)C,可由「p（x）dx=1來(lái)確定.（2）有關(guān)事件的概率，可利用性質(zhì)"連續(xù)型

J-00

隨機(jī)變量取值于某一區(qū)間的概率等于其密度函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上積分"來(lái)求出。

解由于/XM是隨機(jī)變量X的概率密度，所以有

p(x)dx=1

(?21.3

]—<Zr+Cxdx

解得

1<x<2,

所以P(x)=<2<x<3,

其它.

(2)P{—l<X<2}=J：〃(x)dx

plf2]

[Odx+\—dx

3Ji2

P{|X|>2}=P{X<—2救>2}=P{X>2}+P{X<-2}

3If+=cf-2|

—dx+[Odx+[Odx=—,

J25J3Jy2

5

P{X<-}=p〃(x)dx

2J-8

i214129

=f[Odx+f[—dx+\2-xdx=—.

J-Ji2J2540

例13設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

x,0<x<1,

p(x)=<2-x,1<x<2,

0,其它.

求分布函數(shù)

分析已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)雙切，可以求出X的分布函數(shù)汽。由定義F(x)=「p⑴dt.

J-QO

在本題中，由于被積函數(shù)夕(M是一個(gè)分段函數(shù)，因此「「⑺刈應(yīng)根據(jù)x的取值分段進(jìn)行計(jì)算。

J-QO

解當(dāng)x<0時(shí)，

F(x)=P{X<x}=fp(t)dt—[Odt=0;

J-coJ-00

當(dāng)0<x<l時(shí),

2

F(x)=J：pQ)八+5-

當(dāng)l<x<2時(shí),

尸(x)=「p⑴出

J-oo

當(dāng)止2時(shí)，

=「p(t)dt

J-oo

=Jf(),O4+]flj4+Jf2(2-f)d/+J”,O4=l。

0,x<0,

x2

0<x<I,

~2,

所以F(x)=<

-----F2x-I,I<x<2,

2

],x>2.

例14設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

/A,|x|<1,

p（x）=<71-x2

0,|x|>l.

求（1）系數(shù)A,（2）隨機(jī)變量X落在（T，g）內(nèi)的概率，（3）分布函數(shù)蟲(chóng)）.

解（1）因?yàn)椤?〃（幻心=1,

J-00

所以有

解得

71

|x|<1,

于是有P(x)=

|x|>1..

⑵叫菽i

1-12

—arcsinx2_

—"3

712

(3)因?yàn)镕(x)=[,“⑺今,所以有

當(dāng)x<-l時(shí)，F(xiàn)(x)=「Odf=O;

J-co

當(dāng)-14X<1時(shí)

尸(x)=「'Odr+「一萼—

J"%近方

1.i11

=—arcsinx.=—+—arcsinx;

711-1271

當(dāng)應(yīng)1時(shí)，/(x)=/0d/+f,+「04=1.

0,xW-1,

即F(x)=<—+—arcsinx,-1<x<1,

271

1,x>1.

評(píng)注由例11~例14可以看出：對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量X而言

(1)若概率密度函數(shù)/XM中含有待定常數(shù)，可利用性質(zhì)「"p(x)dx=1求出該常數(shù).

J-00

(2)若已知X的概率密度函數(shù)鳳M,可由P{Xe。}=Jp(x)dx求出x取值于區(qū)間D上的概

D

率。當(dāng)夕(M是分段函數(shù)時(shí)，積分Jp(x)dx要采用分段積分。

D

(3)若已知X的密度函數(shù)網(wǎng),可以確定X的分布函數(shù),即/(x)=「〃。)以當(dāng)/XM是

J-OC

一個(gè)分段函數(shù)時(shí)，積分「p(r)，〃必須根據(jù)/XM的分段情況，分別進(jìn)行計(jì)算，從而求出在不同的分

J—00

段區(qū)間上的表達(dá)式，然后合并寫(xiě)出分布函數(shù)3

例15設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

[0,x<-a.

C.X

F(x)=<A+oarcsin—,-a<x<a,

a

1,x>a.

其中a>0,試求(1)常數(shù)A8;(2)P]|X|<今；(3)密度函數(shù)出).

解(1)因?yàn)镚M在(-8,+8)上連續(xù)，所以有

F(-a4-0)=F(—a),F(a+0)=F(a)。

7TJI

即A--B=0,A+-B=l

2