山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（60分）一、單項(xiàng)選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出由集合A中滿足小于的自然數(shù)元素組成的集合即可.【詳解】集合A中滿足小于的自然數(shù)元素有0，1，2，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等即得.【詳解】，由于復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則，解得.故選：A.3.若，則p成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得或，選出其必要不充分條件即可.【詳解】p：，即且，解得或，所以p：或，對(duì)于A，是p的既不充分也不必要條件；對(duì)于B，即或，是p的必要不充分條件；對(duì)于C，即或，是p的充分不必要條件；對(duì)于D，是p的充分不必要條件；故選：B.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.70 C.80 D.150【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)，結(jié)合題意，進(jìn)行具體計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，又因?yàn)?，，，則，，所以，.故選：D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及定義域可求解.【詳解】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律和函數(shù)定義域可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增且在上恒成立，則有，解得，則a的取值范圍為.故選：D6.設(shè)圓C：上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓半徑r的值為（）A2 B.4 C. D.3【答案】D【解析】【分析】首先求圓心到直線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合可得的值.【詳解】圓心到直線的距離，若圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則.故選：D7.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水恰好剛剛滿盆，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（）A.寸 B.8寸 C.寸 D.9寸【答案】C【解析】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式求得盆中積水的體積，進(jìn)而求得平地降雨量.【詳解】由題意，可知圓臺(tái)形天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，則盆中積水的體積為，又盆口面積為，所以平地降雨量為(寸).故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的范圍，然后結(jié)合函數(shù)圖象、零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可，進(jìn)而求出可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，4個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得：，解得，的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線C的漸近線方程為，焦距為，則滿足條件的雙曲線C可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置討論，結(jié)合條件即得.【詳解】若雙曲線C的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)方程為，則，解得，雙曲線C方程為；若雙曲線C的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)方程為，則，解得，雙曲線C方程為.故選：AD.10.某城市100戶居民月平均用電量（單位：度），以[160，180)、[180，200）、[200，220），[220，240）、[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.B.月平均用電量的眾數(shù)為210和230C.月平均用電量的中位數(shù)為224D.月平均用電量的75%分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)【答案】ACD【解析】【分析】利用各組的頻率之和為1，列出方程求解，然后根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)及百分位數(shù)的概念逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由直方圖的性質(zhì)可得，解得，故A正確；由直方圖可知月平均用電量的眾數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以月平均用電量的中位?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，則，解得，故C正確；因?yàn)椋?，所以月平均用電量?5%分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：ACD.11.若，則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A;舉反例可判斷；根據(jù)的特征，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可得，可判斷，判斷C.【詳解】由于，故為R上單調(diào)增函數(shù)，所以，而是上的增函數(shù)，故，所以，A正確；取滿足，但，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，由于，故，即是上的增函數(shù)，故，由于，則，故，C正確；取，滿足，而，故D錯(cuò)誤，故選：12.正方體的棱長為2，O為底面ABCD的中心．P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），則（）A.不存在點(diǎn)P，使得平面B.正方體的外接球表面積為C.存在P點(diǎn)，使得D.當(dāng)P為線段中點(diǎn)時(shí)，過A，P，O三點(diǎn)的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為【答案】ABD【解析】【分析】利用反證法，由此判斷A；求正方體的外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式判斷B；根據(jù)勾股定理判斷C；根據(jù)球的截面性質(zhì)判斷D.【詳解】假設(shè)存在點(diǎn)P，使得平面，在上取點(diǎn)，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，又平面，,平面，所以平面平面，與已知矛盾，所以不存在點(diǎn)P，使得平面，A正確；正方體的外接球的球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑，所以正方體的外接球表面積，B正確；假設(shè)存在P點(diǎn)，使得，在線段上取點(diǎn)使得,設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，所以，解得，與已知矛盾；C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段中點(diǎn)時(shí)，連接交與點(diǎn)，所以，又，所以，故過A，P，O三點(diǎn)的平面為平面，取的中點(diǎn)，過作，垂足為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，過球心作，則平面，所以正方體外接球的球心到截面的距離為的長，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故截面圓的半徑為，所以截面圓的面積，D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題為立體幾何綜合問題，考查面面平行的證明，正方體的外接球，求得截面問題，解決球的截面問題的關(guān)鍵在于合理使用球的截面的性質(zhì).第Ⅱ卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則t的值為______．【答案】【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，又因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：.14.設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).若在上存在一點(diǎn)，使，且，則的離心率為__.【答案】.【解析】【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，則根據(jù)橢圓定義可得三角形三邊長度，利用勾股定理即可求解.【詳解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，由橢圓的定義可得，，又，在△中，由勾股定理可得：，即，，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查了橢圓定義以及直角三角形中的勾股定理問題，屬于基礎(chǔ)題目.15.寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，使得這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】對(duì)于，其前項(xiàng)積為，令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，所以滿足題意.故答案為：（答案不唯一）16.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若和均為奇函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】由原函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性推導(dǎo)函數(shù)的周期性，構(gòu)造新函數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以，令，則，，所以，所以關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，令，則，由，所以，所以，所以，所以周期為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)實(shí)數(shù)a的取值集合為M．（1）求；（2）若函數(shù)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系列不等關(guān)系求；(2)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論列不等式求m的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以對(duì)成立，所以對(duì)成立，又所以，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為；【小問2詳解】函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，由函數(shù)性質(zhì)可得所以0<m<2．所以m的取值范圍為．18.已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)及等差中項(xiàng)的性質(zhì)即得；（2）由題可得，然后利用裂項(xiàng)相消法即得.【小問1詳解】因?yàn)?，?shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以，又，解得，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，所以．19.如圖，在四棱維中，底面為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面，（）．（1）若，求證：平面ABE；（2）若平面ABE與平面PAC的夾角為，且，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，然后利用線面垂直的判定定理即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，平面，故PD⊥平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，在平面PAD內(nèi)作，則Az⊥平面ABCD，即有射線AB，AD，Az兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，Az所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，，則，，，，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以，設(shè)（t<0），可解得或，由，可得，由，可得(舍去)，所以．20.在①；②；③．三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S．且滿足______．（1）求A的大??；（2）設(shè)的面積為6，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）分別選取三個(gè)條件，運(yùn)用正余弦定理，三角形面積公式及三角恒等變換結(jié)合條件即得；（2）由題可得，然后根據(jù)向量的運(yùn)算及基本不等式即得.【小問1詳解】選①，由，化簡得：，所以，即，在中，，，因?yàn)椋?；選②，，所以，因?yàn)?，所以；選③，，由正弦定理和切化弦得，在中，，所以，在中，，因?yàn)?，所以，得；【小?詳解】由，得，由，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．21.已知點(diǎn)和直線：，直線過直線上的動(dòng)點(diǎn)M且與直線垂直，線段的垂直平分線l與直線相交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與C交于兩點(diǎn)．若C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)，使得的面積等于，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可判斷東點(diǎn)軌跡為拋物線，即而求得拋物線方程；（2）設(shè)l的方程為，作與l平行且與C相切的直線，切點(diǎn)為D,表示出切點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，求出弦長，利用三角形的面積可求得k的值，說明符合題意，C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)，使得的面積等于，即得答案.【小問1詳解】連接PF，因?yàn)镸F的垂直平分線l交于點(diǎn)P，所以，即點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線：的距離，由拋物線的定義，點(diǎn)P的軌跡為拋物線,即點(diǎn)P軌跡C的方程為.【小問2詳解】如圖，作與l平行且與C相切的直線，切點(diǎn)為D,由題知的面積等于．由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為，方程可化為，則，設(shè)，令，解得，將代入，得，故，所以D到l的距離，由，消去y，得，，從而，，所以，故的面積，從而，解得或，此時(shí)或?yàn)槭沟玫拿娣e等于的一個(gè)點(diǎn)，那么在直線l的上方必然也存在著一條直線和l平行，和l的距離為，這條直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)也使得的面積等于，即此時(shí)C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)，使得的面積等于，所以l的方程為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要滿足C上恰好存在三個(gè)點(diǎn)，使得的面積等于，關(guān)鍵在于找到使得面積等于時(shí)，和直線l平行且和拋物線相切的那條直線，即表示出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出三角形的高，進(jìn)而利用面積求得答案.22.已知函數(shù)，．（1）證明：存在唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)，若存在，使得，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利