高中數(shù)學(xué) 1-1-1命題及其關(guān)系四種命題規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修2-1

第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系1.1.1雙基達標限時15分鐘1．下列語句：①12>5；②3是12的約數(shù)；③0.5是整數(shù)；④x是偶數(shù)；⑤x<2.其中是命題的有__________．(填序號)解析由命題的定義知①②③是命題．答案①②③2．命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”解析原命題的逆否命題是把條件和結(jié)論都否定后，再交換位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1答案若x≥1或x≤－1，則x2≥13．有下列四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；②“若a>b，則a2>b2”③“若x≤－3，則x2－x－6>0”④“同位角相等”的逆命題．其中真命題的個數(shù)是________．解析①“若x＋y≠0，則x，y不是相反數(shù)”是真命題．②“若a2≤b2，則a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a＞b，故是假命題．③“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x④“相等的角是同位角”是假命題．答案14．命題“若x≠2，則x3－x2－x－2≠0”的逆否命題是______；是______(填“真”或“假”解析∵x3－x2－x－2＝(x－2)(x2＋x＋1)＝0，而x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴x＝2，故原命題為真命題．又原命題與逆否命題具有相同真假性，故逆否命題也為真命題．答案“若x3－x2－x－2＝0，則x＝2”5．給出下面3個命題：①函數(shù)y＝tanx在第一象限是增函數(shù)；②奇函數(shù)的圖象一定過原點；③“若0<logab<1，則a>b>1”解析①舉反例：x＝2π＋eq\f(π,6)或eq\f(π,4)，tan(2π＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,4)＝1，由于2π＋eq\f(π,6)>eq\f(π,4)時，tan(2π＋eq\f(π,6))<taneq\f(π,4)，則原命題為假命題．②例如y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)但不過原點．③若0<logab<1，則a>b>1的逆命題為若a>b>1，則0<logab<1是真命題，因為a>b>1，所以logaa>logab>loga1＝0，即0<logab<1.答案③6．分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：(1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；(2)若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b).解(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q<1，假命題．否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，假命題．逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，真命題．(2)逆命題：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>b，假命題．否命題：若a≤b，則eq\f(1,a)≥eq\f(1,b)，假命題．逆否命題：若eq\f(1,a)≥eq\f(1,b)，則a≤b，假命題．綜合提高限時30分鐘7．下列語句：①x＝0；②－5∈Z；③作線段AB；④年人類將登上火星；⑤lg100＝2.其中命題的個數(shù)是______個．解析①語句中含有變量，不能判斷真假，不是命題；③是祈使句，不是命題；②⑤是陳述句且能判斷真假，是命題；④目前不能確定真假，但隨著時間的推移，總能確定真假，這類猜想也是命題，故②④⑤是命題．答案38．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是______個．解析原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；逆命題為“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”為假命題，則否命題是假命題．故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，只有逆否命題是真命題．答案19．給定下列命題：①“若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實根”；②“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題；③“矩形的對角線相等”的逆命題．其中真命題的序號是______．解析①Δ＝4＋4k>0，k>－1，∴是真命題．②否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，是真命題．③逆命題為“對角線相等的四邊形是矩形”，是假命題．答案①②10．設(shè)有兩個命題：①關(guān)于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函數(shù)f(x)＝logmx是減函數(shù)，如果這兩個命題中有且只有一個真命題，則實數(shù)m的取值范圍是______．解析①是真命題，則m≥0；②是真命題，則0<m<1，若①真，②假，則m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．綜上，m＝0或m≥1.答案m＝0或m≥111．已知a，b∈R，求證：若a3＋b3＋3ab≠1，則a＋b≠1.證明原命題證明較困難改證它的等價命題(逆否命題)：已知a，b∈R，求證：若a＋b＝1，則a3＋b3＋3ab＝1.因為a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因為逆否命題與原命題等價，所以原命題正確．12．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x>0}，試問是否存在實數(shù)a，使得A∩B＝?？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件A∩B≠?，若A∩B≠?，則方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的兩實數(shù)根x1，x2至少有一個為正；因為x1·x2＝1>0，所以兩根x1，x2均為正數(shù)．則由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（2＋a）2－4≥0，,x1＋x2＝－（2＋a）>0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0或a≤－4，,a<－2，))即a≤－4.又∵集合{a|a≤－4}的補集為{a|a>－4}，∴存在滿足條件A∩B＝?的實數(shù)a，其取值范圍是(－4，＋∞)．13．(創(chuàng)新拓展)寫出命題“已知a、x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2＋4x＋a＋2≤0的解集非空，則a>3”解其逆否命題