北師版八上數(shù)學專題3 平面直角坐標系中點的坐標問題（課件）

第三章位置與坐標專題3平面直角坐標系中點的坐標問題數(shù)學八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問題綜述平面直角坐標系是一種重要的數(shù)學工具，是數(shù)與形之間的

橋梁.通過平面直角坐標系的建立，平面上的點和有序實數(shù)對建

立了一一對應關系，為后續(xù)學習、研究函數(shù)的性質、函數(shù)與方

程和不等式的關系打下基礎，這就使得用代數(shù)方法研究幾何問

題，用幾何方法研究代數(shù)問題成為可能.數(shù)學八年級上冊BS版02典例講練

類型一

與面積有關的坐標問題

（1）如圖，已知△

ABC

的三個頂點恰好在正方形網(wǎng)格的格

點上.①寫出△

ABC

各頂點的坐標；②求△

ABC

的面積.【思路導航】①由圖即可得到各個頂點的坐標；②將△

ABC

放

到一個正方形中，利用割補法即可解答.解：①由圖可得，

A

（3，3），

B

（－2，－2），

C

（4，－

3）.

【點撥】在平面直角坐標系中，利用點的坐標求面積問題或利

用面積求點的坐標問題是常見的題型.一般情況下，對于一些不

規(guī)則圖形的面積，可以對圖形進行割補，將圖形轉化為規(guī)則的

圖形，再進行計算.（2）在平面直角坐標系中，已知△

ABC

的邊

AB

在

x

軸上，點

A

的坐標為（－2，0），點

C

的坐標為（2，4），

S△

ABC

＝6.請在

圖中畫出符合條件的△

ABC

，并寫出點

B

的坐標.【思路導航】根據(jù)題意，先求

AB

的長度，分點

B

在點

A

的左邊

和右邊兩種情況，在平面直角坐標系中畫出△

ABC

，再寫出點

B

的坐標即可.解：因為

AB

在

x

軸上，點

A

的坐標為（－2，0），點

C

的坐標

為（2，4），

S△

ABC

＝6，所以△

ABC

的邊

AB

上的高為4.

畫出符合條件的△

ABC

如圖所示.①當點

B

在點

A

的左邊時，－2－3＝－5，所以點

B1的坐標為（－5，0）；②當點

B

在點

A

的右邊時，－2＋3＝1，所以點

B2的坐標為（1，0）.綜上所述，點

B

的坐標為（－5，0）或（1，0）.【點撥】已知面積求點的坐標時，常常先利用面積求得線段

長，再轉化為點的坐標.注意：由線段長到點的坐標，有可能需

要分類討論.

如圖，已知點

A

（－1，0），

C

（1，4），點

B

在

x

軸上，且

AB

＝3.（1）求△

ABC

的面積.（2）求點

B

的坐標.（3）在

y

軸上是否存在點

P

，使以點

A

，

B

，

P

為頂點的三角形

的面積為10？若存在，請寫出點

P

的坐標；若不存在，請說明

理由.

（2）如圖，當點

B

在點

A

的左邊時，－1－3＝－4，所以點

B1的坐標為（－4，0）；當點

B

在點

A

的右邊時，－1＋3＝2，所以點

B2的坐標為（2，0）.綜上所述，點

B

的坐標為（－4，0）或（2，0）.

類型二

與軸對稱有關的坐標問題

（1）如圖，在平面直角坐標系中，已知點

A

（－1，3），

B

（2，0），

C

（－3，－1）.①在圖中作出△

ABC

關于

y

軸對稱的圖形△

A1

B1

C1，并寫出點

A1，

B1，

C1的坐標；②在

y

軸上找一點

P

，使

PA

＋

PC

的值最小，并求出點

P

的

坐標.【思路導航】①先找出點

A

，

B

，

C

關于

y

軸對稱的點，再依次

連接各對稱點即可得到△

A1

B1

C1；②連接

A1

C

，交

y

軸于點

P

，這時

PA

＋

PC

的值最小，利用△

A1

OC

的面積的兩種求法，

列方程求出

OP

的長即可.解：①如圖，△

A1

B1

C1即為所求作圖形.由圖可得，

A1（1，3），

B1（－2，0），

C1（3，－1）.

【點撥】在平面直角坐標系中，?？疾樽疃搪窂絾栴}.解決此類

問題常通過作點的對稱點，使路徑的點在一條直線上，再結合

面積相等即可求出點的坐標.

（－2，1）

1.

如圖，在平面直角坐標系中，已知△

ABC

各頂點的坐標為

A

（－2，3），

B

（2，1），

C

（－3，－2）.若點

P

是

y

軸上的

一動點，則

PA

＋

PC

的最小值為

?.

2.

在平面直角坐標系中，已知直線

l

經(jīng)過點（1，0）且平行于

y

軸，點

A

（

m

－1，3）與點

B

（2，

n

－1）關于直線

l

對稱，則

（

m

＋

n

）2

024的值為

?.52

024

類型三

特殊三角形中的點的坐標問題

在平面直角坐標系中，已知點

A

（2，3），在坐標軸上找

一點

P

，使得△

AOP

是等腰三角形，則這樣的點

P

共有

?

個.【思路導航】求出

OA

的長，然后畫出平面直角坐標系，分

類討論兩條相等的腰，作出符合等腰三角形的點

P

的位置，

即可得解.

8

（1）如圖，當

OA

為腰時，①以點

O

為圓心，

OA

的長為半徑畫

圓，與坐標軸交于四點：

P1，

P2，

P3，

P4；②以點

A

為圓心，

OA

的長為半徑畫圓，與坐標軸交于兩點（原

點舍去）：

P5，

P6；（2）當

OA

為底時，作

OA

的垂直平分線，與坐標軸有兩個交

點：

P7，

P8.綜上所述，符合題意的點有8個.故答案為8.【點撥】（1）因為等腰三角形

AOP

沒有指明哪條邊為底邊，也

就需要分類討論.（2）解決等腰三角形存在性問題有兩種方法.

方法1（兩圓一線）：①以已知線段為腰，用線段的兩個端點為

圓心，線段長為半徑，分別作圓；②以已知線段為底，作它的

垂直平分線.方法2：用兩點之間的距離公式表示三條線段，由

兩兩相等進行計算.

如圖，點

A

，

B

的坐標分別為（0，2），（8，8），點

C

（

m

，

0）為

x

軸正半軸上一個動點.是否存在點

C

，使△

ABC

為直角

三角形？若存在，請求出這個三角形的面積；若不存在，請說

明理由.

類型四

點的坐標規(guī)律問題

如圖，在平面直角坐標系中，對△

ABC

進行循環(huán)往復的軸

對稱變換.若原來點

A

的坐標是（

a

，

b

），則經(jīng)過第2023次變

換后所得的點

A

的坐標是

?.（－

a

，

b

）

【思路導航】觀察圖形可知，每4次變換為一個循環(huán)組，用2

023除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定圖形所在的位置，得出規(guī)律即

可解答.【解析】由圖可知，4次變換為一個循環(huán)組.因為2023÷4＝

505……3，所以第2023次變換后為第506個循環(huán)組的第3次變

換，相當于直接作關于

y

軸對稱的變換.因為原來點

A

的坐標是

（

a

，

b

），所以經(jīng)過第2023次變換后所得的點

A

坐標是（－

a

，

b

）.故答案為（－

a

，

b

）.【點撥】本題考查了坐標與圖形變化——對稱，準確識圖，觀

察出4次變換為一個循環(huán)組是解題的關鍵.

如圖，在平面直角坐標系中，△

ABO

的頂點

A

，

B

，

O

的坐標

分別為（1，0），（0，1），（0，0），點列

P1，

P2，

P3，…

中的相鄰兩點都關于△

ABO

的一個頂點對稱，點

P1與點

P2關于

點

A

對稱，點

P2與點

P3關于點

B

對稱，點

P3與點

P4關于點

O

對

稱，點

P4與點

P5關于點

A

對稱，點

P5與點

P6關于點

B

對稱，點

P6與點

P7關于點

O

對稱……且這些對稱中心依次循環(huán).已知點

P1

的坐標是（1，1），則點

P2023的坐標為

?.（1，1）

答圖答圖【解析】如答圖，作點

P1關于點

A

的對稱點，即可得到

P2（1，

－1），同理可得

P3