高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)練習(xí)

1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示

基礎(chǔ)練習(xí)

一、單選題

1.已知a=（T,2,5）,b=（l,x,—l）,且"心=2，貝！M的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).

【詳解】由題設(shè)，a-b=-l+2x-5=2，可得x=4.

2.已知向量a=（3,2,l）,&=（2,4,0）,則4a-26=（）

A.（16,0,4）B.（8,16,4）C.（8,-16,4）D.（8,0,4）

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運算，即可求得答案.

【詳解】4a-2A=4（3,2,l）—2（240）=（12,8,4）—（4,8,0）=（8,0,4）.

3.已知直線//的方向向量分別為0=（1,4,一2）,6=（-2,1,m），若…,則加等于（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

（分析】根據(jù)4，12列方程，化簡求得m的值.

【詳解】由于所以lx（-2）+4xl+（—2）x/n=0,M=I.

4.已知a=（1,-4,-4）,b=^m,2,-2m+l）,若.〃》，則根的值為（）

A.12B.2C.—D.；

22

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為所以;=工7="°，解得加=-：，

1-4-42

5.（2022?福建龍巖?高二期中）已知直線/的一個方向向量為2=（x,2,-5）,平面a的一個法

向量為。=（3,-1,2）,若/〃a,則（）

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】D

【分析】若〃/a，則加，從而而?/?=（）即可求解

【詳解】若〃/。，則m_L〃，從而由?方=0

即3x-2-10=0,解之得：x=4

6.(2022?全國?高二)設(shè)x,yeR,向量〃=(x,l,l),6=(1,y,l),c=(2,-4,2),且則

|x+yl=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出y和x即可；

【詳解】a-Lc=a,c=0=2x—4+2=0=x=l,

1y

h//c—=—y=—2,

2-4

/.|x+y|=l.

7.已知a=(2,-3,l),人=(2,0,3),c=(0,(),2),則a?伍+c)=()

A.5B.4C.7D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.

【詳解】b+c=(2,0,5),a=(2,-3,l),，7R+@=2x2+0x(—3)+5xl=9

jr

8.已知向量a=(l,0,-l),則下列向量中與a成1夾角的是()

A.(-1,1,0)B.(1-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,-1)

【答案】B

【分析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行逐一判斷即可.

.,、-1x11

【詳解】A：因為向量。=(1,0,-1)與向量(T1,0)夾角的余弦值為了+(_1)2*)(T)2+?=一耳，

所以向量a=(l,0,-1)與向量(7,1,0)夾角為等，故不符合題意；

,、1x11

B：因為向量”=(1,0,-1)與向量(1,一1>0)夾角的余弦值為J[2+(_])2XJ12+(T)2=5,

所以向量a=(l,0,7)與向量(T,1,0)夾角為:，故符合題意；

-1x11

C：因為向量4=(1,0,-1)與向量(0,-1,1)夾角的余弦值為1+(_i)2xgy+,=_Q，

所以向量a=(l,o,-l)與向量(0,-1,。夾角為耳，故不符合題意；

D：因為向量4=(1,(),-1)與向量(—1,0,-1)夾角的余弦值為

-lxl+(-l)x(-l)

所以向量與向量（T,O,-1）夾角為故不符合題

712+(-l)2x7(-l)2+(-i)2

忠，

9.在正三棱柱ABC-44G中，AA=248=2,七為棱A3的中點，尸為線段8片上的一點，且

A.C.LEF,則工=（）

FB

A.10B.12C.15D.20

【答案】C

【分析】以點E為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F（o,g,2）,再根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示求解

得2=：,進(jìn)而求得笑即可.

8卜B

【詳解】以點E為坐標(biāo)原點，ECEB以及與過E且與你同向的方向分別為x,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系.則E（（）,0,0）,C與0,0,設(shè)由AC,EF,知

4。所=停；,一21（0,則

=0,解得人=$故B后F=-^Q=15.

8

ZA

10.（2022?全國?高二專題練習(xí)）給出下列命題：

①若空間向量a,0滿足卜卜W則a=b

②空間任意兩個單位向量必相等

③若空間向量a,b,c滿足a-c=〃-c,則a=6

④在正方體ABC。-A/B/。。/中，必有BD=BQi

⑤向量a=（1,1,0）的模為后；

其中假命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)知識逐一判斷即可.

【詳解】在①中，若空間向量編5滿足忖=忖，向量d與加方向不一定相同，故①是假命題；

在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題：

在③中，若空間向量a,b,c滿足，則向量a與人不一定相等，故③是假命題；

在④中，在正方體A8cO-A/B/GO中，由向量相等的定義得必有8。=4口，故④是真命題:

在⑤中，由模的定義得向量&=（1,1，0）的模為0,故⑤是真命題.

二、多選題

II.（多選）已知向量力=（1,0,T）,則下列向量中與d的夾角為60。的是（）

A.（-1,1,0）B.（1-1,0）

C.（0-1,-1）D.（-1,0,1）

【答案】BC

.a-b1

【分析】設(shè)向量b=（x,y,z）,貝118s<。力>=麗=5,再結(jié)合選項逐一判斷即可.

【詳解】解：不妨設(shè)向量匕=（x,y,z）,

.a,b—111

若。=（-1,1,0）,則8$<。,。>=麗=萬祓=-5#5,不滿足條件，A錯誤；

.ab11

若。=（1,一1,0）,則cos<a,〃>=麗=反正=5,滿足條件，B正確；

.ab11

若6=（0,-1,-1）,則3<、/>=麗=岳夜=5,滿足條件，C正確；

.（1,b—21

若匕=（—1,0,1）,則8s<〃/>=麗=正式方=一105,不滿足條件，D錯誤.

12.（2022?全國?高二）已知空間向量。=（一2,-1,1）,人=（3,4,5）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.（2a+b）//q

B.5忖=6忖

C.a_L（5a+6〃）

D.〃與6夾角的余弦值為-3

6

【答案】BCD

【分析】由空間向量平行的性質(zhì)及空間向量模長，數(shù)量積，夾角的坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A選項：2a+6=(-I,2,7),不存在4,使得24+6=癡，故A錯誤；

對于B選項：5M=5xj4+l+l=5幾,碑=昌打+42+52=5技故B正確；

對于C選項：5a+6〃=(8,19,35),a(5a+6&)=-2x8-lxl9+lx35=0,

則〃_L(5。+6b),故C正確；

對于D選項：1=〃+1+1=?,|/,|=732+42+52=572,a-b=-6-4+5=-5

ab-56

H=第=瓦研=一丁，故D正確；

13.已知空間中三點A(0,LO),80,2,0),C(-l,3,l),則正確的有()

A.A月與AC是共線向量B.AB的單位向量是。，1，0)

C.48與8c夾角的余弦值是-且D.平面ABC的一個法向量是(1,-1,3)

6

【答案】CD

【分析】A選項直接寫出A8與AC，按照共線向量即可判斷；B選項由單位向量的求法進(jìn)行

判斷；

C選項通過夾角公式計算即可；D選項直接計算法向量即可.

【詳解】AB=(1,1,0),AC=(-1,2,1),顯然AB與AC不共線，A錯誤；

AB的單位向量1/：八，/?八，/。八］，即K，(，01，B錯誤；

(J1+1+0Jl+1+0Vl+l+ojI22)

/、1Kli“AABMlx(-2)+lxly/3

BC=(-2"),cos(38c”網(wǎng)網(wǎng)=而爾7r=，C正確；

設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y,z),貝1卜二,令x=l,得〃=(1,一1,3),D正確.

AC〃=-x+2y+z=0

14.已知空間三點A(—L0,l),8(-1,2,2),C(-3,0,4),則下列說法正確的是()

A.ABAC=3B.ABHACC.\BC\=2Y/3D.cos,8,

【答案】AC

【分析】由條件可得AB,4cBe的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.

【詳解】因為A(T0,l)，8(—1,2,2),C(—3,0,4),

所以A8=(0,2,1),4C=(-2,0,3),8C=(―2,-2,2)

3165i-------t—

一一,muuuu]AA/TAC3II

所以A3-AC=0+0+3=3,c°s（AB，AC）=[=RTb，阿卜屈*=2?

AB|-|AC|

所以AB,AC不共線.

三、填空題

15.已知A,B,C的坐標(biāo)分別為（0,1,0）,（-1,0,-I）,（2,1,1）,點P的坐標(biāo)

是（x,0,y）,若抬，平面ABC,則點尸的坐標(biāo)是.

【答案】（-1,0,2）

【分析】根據(jù)題意算出AB、AC、PA的坐標(biāo)，由附，平面A8C得以AB^PAAC.

建立關(guān)于x、y的方程組，解之即可得出點P的坐標(biāo).

【詳解】根據(jù)題意，可得

LIL1U

AB=（-1，-1，-1）,AC=⑵0,1）,PA=（x，-1，y）

???以1.平面ABC,

PA?AB=-x+1—y=0

PA-LAB且PA'AC，可得-

PA-AC=2x+0+y=0

解之得x=-1.y=2,可得尸的坐標(biāo)是（-1,0,2）.

16.（2022.全國?高二專題練習(xí)）如圖三棱柱A8C—AgG中，側(cè)面BBgC是邊長為2菱形,

ZCBB1=60°,BG交瓦C于點。，AOL側(cè)面8BCC，且VAB?為等腰直角三角形，如圖建

立空間直角坐標(biāo)系o-孫z,則點A的坐標(biāo)為

【答案】（-6,1,1）

【分析】過點A作平面BCC由,連接用E,C|E,則瓦E〃OG，C|E//O耳,AE〃A。，由

此可求得點A的坐標(biāo).

【詳解】三棱柱4BC—4用￡中，側(cè)面8BCC是邊長為2菱形，/C8用=60。，

BC,交8c于點。，AO_L側(cè)面88CC，且VA8。為等腰直角三角形，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

過A作平面8CGM，垂足是E,連接GE,

則B\EI/OC\,C\E”O(jiān)B\,AtE//AO,

.??點A的坐標(biāo)為(-6,Li).

17.(2022?全國?高二專題練習(xí))如圖，已知點P在正方體ABC。一A'B'C'D的對角線即'上,

ZPDC=60.設(shè)D'P=WB'則A的值為.

【答案】V2-1

【分析】以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系即可求出.

【詳解】以。為原點，D4為X釉，0c為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABCD-AB'C'iy的棱長為1,

點P在正方體的對角線3。上，且ZP0C=6O，D'P=AD'B(O<A<1),

則A(l,0,0),C(0,l,0),。(0,0,1),8(1,1,0),P(2,2,l-2),

DP=(A,1-2),DC=(0,1,0),

cos<DC,DP>=DC'DP=_:=cos60=-,

\DC\X\DP\ix^r+r+d-z)22

由0<2<l,解得義=近一1.

故答案為&-1.

18.已知向量4=(2,-1,3)力=(汽,2/)的夾角為鈍角，則實數(shù)，的取值范圍為

【答案】(一8,-6)D(-6，TJ

【分析】由已知轉(zhuǎn)化為〃/<0,去除。與人夾角為180。時的值，川數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】「向量。=(2,-1,3)/=(<2")的夾角為鈍角，

t?./?=-8-2+3/<0巾10..,

??<，解4a得且fW-6,

，。一63

.??實數(shù)r的取值范圍為(-*-6)u,6,與)

19.己知直線/的方向向量為4=(—1,0,1),點4(12—1)在/上，則點尸(2,—1,2)到/的距離為

【答案】歷

【分析】根據(jù)點到直線的空間向量坐標(biāo)公式求解即可

【詳解】根據(jù)題意,得向1=(-1,3,-3),?=(-1,0,1),

V2xV19

§in<a,PA>=

又慳卜^(2-l)2+(-l-2)2+[2-(-l)]2=則

■■■點P(2,—1,2)到直線I的距離為網(wǎng)si"<a,尸Q=Mx=炳.

四、解答題

20.設(shè)有三點A(1,2,-1)、B(0,3,1)、C(4,-1,2),求:

(□△A8C的面積S；

(2)與向量AB、AC同時垂直的單位向量.

【答案】(1殍;⑵件昌o).

【分析】(1)由已知求得AB，AC,可得A8_LAC,再求出A8、AC的長度，再由三角形面積

公式求解；

(2)利用向量數(shù)量積為0列式求解向量43、4C同時垂直的單位向量.

(1)VA(1,2,-1)、B(0,3,1)、C(4,-1,2),

AAS=(-1,1,2),AC=(3,-3,3),

|AB|=7(-D2+l2+22=A/6,|AC|=百+(-3)2+3?=3拒,

AB?AC=—3-3+6=0，貝UA8_LAC,

可得△A3C的面積S='xCx3^=述；

22

⑵設(shè)與向量A4、AC同時垂直的向量為〃2=(%V,z),

m-AB=-x+y+2z=0/、(J2J2

由..，取y=l,可得加=(JJO觸及r，一一

.?.與向量A8、AC同時垂直的單位向量為〃=今.

\/

21.已知空間三點A(—l,2,1),8(0,1,—2),C(—3,0,2)

(1)求向量AB與AC的夾角的余弦值，

(2)若向量3A8-AC與向量AB+ZAC垂直，求實數(shù)k的值.

【答案】(D--

|]

⑵A=2

【分析】(1)求出A8與AC及模長，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解；(2)根據(jù)空間向量

垂直得到方程，結(jié)合第一問求出實數(shù)4的值.

(l)AB=(1,-1,-3),AC=(-2,-2,l),網(wǎng)=11+1+9=而,卜牛6+4+1=3,

故AB'=3),(-2,-2,1)=-2+2-3=-3,

/n~A7^\4月—3vn

所以8s何A,ACb網(wǎng)憫=能=-亍

(2)..?向量3A8-AC與向量AB+ZAC垂直，

(3AB-AC\(AB+kAC)=3A8。+(3k-\)AB-AC-kAC2=0,

即3xll-3(3Z-l)-9%=0,解得：k=2.

22.已知向量2=(1,-3,2),6=(1,1,-1),計算:

()H，M，|2力i；

【答案】(1)M=?，|4=班，|2〃-@=56⑵*

【分析】(1)直接根據(jù)空間向量模的公式計算;

(2)直接根據(jù)空間向量的夾角公式計算.

(1)由已知

2"8=2(1,-3⑵-(1,1,-1)=(1,-7,5),

貝”2a—小^/12+(-7)2+52=5x/3

ab1-3-22>/42

H而ETF

23.(2022?江蘇?淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中)已知點4-2,3,0),8(1,3,2),

點P在直線A8上.

\AP\

⑴若房=2,寫出點P的坐標(biāo)；

(2)若點。是坐標(biāo)原點，且OPLAB,寫出點P的坐標(biāo).

【答案】⑴(4,3,4)或(—8,3T)；(2)(哈喏).

ULU1ULU1A/

【分析】(1)由點尸在直線AB上得AP=/L4B，表示出P的坐標(biāo)，根據(jù)島=2求出;I即可.

(2)根據(jù)OP.AB=0求出入即可.

⑴45=(3,0,2),

;點P在直線A3上，，4P=/L4B，...AP=(34(),24),2+343,22).

由|=2|明得的分+4?=2.

.±±2,.-.P(4,3,4)或(-8,3,-4).

(2)"=(-2+343,24),

6/o]2、

OP.LAB?OP-AB=3(—2+32,)+2-2A=0,A=—,?。(一百,二百).

24.已知。=(-2,3,2),5,1),且〃與2〃-b平行，求實數(shù)次的值.

【答案】m=-2

【分析】根據(jù)向量平行的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為(，*+〃)〃(2。一/?),所以"以+/?=Z(2a-b)(Z￡R),

所以(2"")。=(1+4)》，

,..[2k-m=0

因為〃與〃不平行，所以1八，

[1+左z=0

25.判斷下列各對向量是否平行或垂直：

⑴。=(1,—2,3)，b=(1,2,1)；

⑵“=(-3,2,4),^=1;

⑶“=(|，-3,2),6=(0,1,—|).

【答案】(1)垂直，不平行

(2)平行，不垂直

(3)既不平行，又不垂直

【分析】(1)根據(jù)6=0來判斷：

(2)根據(jù)存在實數(shù)4使(-3,2,4)=2(-蕓,|)來判斷；

(3)根據(jù)且不存在實數(shù)2使0=肪來判斷.

(1)?-/?=(1,2,1)-(1,-2,3)=1-4+3=0,

故a與。垂直，不平行；

(2)存在實數(shù)使(-3,2,4)=6,g,g,|),

故a與6平行，不垂直；

(3)“力=(|,-3,2)1o,l,-|)=-3-3=-6wO,

又不存在實數(shù)2使俘-3,2)=“1,一|),

故故a與〃既不平行，又不垂直.

26.如圖，在棱長為1的正方體中，E是4B的中點，戶是8片的中點，G是4用

的中點.

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定E、F、G三點的坐標(biāo)；

(2)求證：^CIEF.

【分析】(1)以點。為坐標(biāo)原點，DA.DC,?！鏊谥本€分別為x、y、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，可得出E、F、G三點的坐標(biāo)；

(2)利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可證得結(jié)論成立.

(1)解：以點。為坐標(biāo)原點，DA.DC.DR所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

(2)證明：依題意可得A(LO，1)、C(o,l,o),則AC=(—1,1,—1)，

所以，AC-EF=O+g-g=O,所以ACLEF.

提升訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022?江蘇淮安?高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面A8CC為正方形，力，平

面A8C￡>,=M為PC上一動點，RW=rPC,若為鈍角，則實數(shù)f可能為（）

IZ

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可求解.

【詳解】分別以A3、AD.AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)%=1,M(x,y,z),故P(O,O,1),C(l,l,O).PM=(x,y,z-l),PC=(1,1,-1),

x=t

由PM=rPC可知，,y=/，即M(r,f,lT),

z-\=-t

又因為NftWD為鈍角，所以

由8(1,0,0).￡>(0,1,0).可知知3=(17,——),

yWB-M￡>=-r(l-f)-/(l-r)+(r-l)2<0,整理得3”-布+1<0,

解得g<r<l，

2.己知a=(l,2,—y),b=(x,\,2),且勸〃,“)，則()

A.x=—y=iB.x=一,y=—4

392

C.x=2,y=—D.x=l,y=-i

4

【答案】B

【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.

【詳解】a=(l,2,—y),力=(x,l,2),

貝ija-b=(l-x,l,-y-2),2Z?=(2x,2,4)

由2”(j),可得《；：屋」)二0,解之得口

3.如圖，正方體ABCD-A8CQ的棱長為6,點M為CG的中點，點尸為底面AgGR上的

動點，滿足8PJ.A"的點P的軌跡長度為()

A.2扃B.3亞'C.6百D.3出兀

【答案】B

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動點P的軌跡為線段即可得結(jié)果.

【詳解】分別以DA，DC,為X軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(6,0,0),8(6,6,0),M(0,6,3),設(shè)P(x,y,6),xe[0,6],je[0,6],

則AM=(-6,6,3),3P=(x-6,y-6,6),

由BPA.AM得一6(x—6)+6(y—6)+3x6=0,即y=x—3,

由于xw[0,6],yw[0,6],所以xw[3,6],ye[0,3],

所以點尸的軌跡為面AB?自上的直線：y=x-3,XG[3,6],即圖中的線段EF,

由圖知：EF=sj32+32=3A/2-

4.（2022?全國?高二課時練習(xí)）若平面a、夕的法向量分別為。=（應(yīng),sine,cose）,

b=—,cos0,sin6>,且a_L〃，則。等于（）

\2）

A.foc+：（k￡Z）B.2E+］（左EZ）

C.2kn-^kGZ）D.kit-^k,GZ）

【答案】D

【分析】根據(jù)平面垂直可知法向量垂直，利用數(shù)量積為0求解即可.

\

【詳解】.al^,平面a、Q的法向量分別為“=（&,sin。,cos。），b,cossin。

/

ab=&x^^+sinJcosO+cosOsin。=2sin0cos0+l=sin26+1=0

2

:.23=2k7t--,kGZ,解得9=hr」,kwZ,

24

二、多選題

5.（2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，點P是棱長為2的正方體

ABCC-ABGR的表面上一個動點，則（）

A.當(dāng)戶在平面BCC4上運動時，四棱錐尸-AAR。的體積不變

B.當(dāng)戶在線段AC上運動時，2P與AG所成角的取值范圍是

C.當(dāng)直線a與平面ABC。所成的角為45。時，點P的軌跡長度為乃+4&

D.若尸是A4的中點，當(dāng)P在底面ABCD上運動，且滿足尸產(chǎn)〃平面4CR時，PF長度的最

小值是有

【答案】AC

【分析】A.由四棱錐的高和底面積判斷；B.根據(jù).AD。是等邊三角形判斷；C.根據(jù)直線AP與

平面A3。所成的角為45,結(jié)合正方體的特征判斷；D.建立空間直角坐標(biāo)系，求得尸產(chǎn)的坐

標(biāo)進(jìn)行判斷.

【詳解】A.當(dāng)尸在平面BCC向上運動時，點/＞到面的距離不變，S正方除11M不變，

故四棱錐尸-441Ao的體積不變，故A正確：

gP(x,2-x,0)0<x<2,A(2,0,2),D,(0,0,2),C,(0,2,2),則D,P=(x,2-x,-2)，AC,=(-2,2,0),

QP-AC，!

設(shè)RP與AG所成的角為凡則cose』cos（AP，AG）卜|1|

O,P|.|AC,|31)2+3

因為04卜一1區(qū)1,

當(dāng)k-i|=o時，0=^,

..COSg=|cOS（￡>|P，AG）|=J=I1=/K兀

當(dāng)0<|x-l⑷時，IJ"MJ（x-lf+31132,則M吟,

VI32

綜上：三斗三,所以RP與AC所成角的取值范圍是故B錯誤；

32LJ2.

C.因為直線AP與平面ABCD所成的角為45,

若點尸在平面DCGA和平面BCG與內(nèi)，因為N4A8=45,NRAD=45最大，不成立；

在平面AORA內(nèi)，點尸的軌跡是AD,=2也，

在平面A84A內(nèi)，點尸的軌跡是做=20,

在平面AfG"時，如圖所示：

作尸MJ.平面A8CD,因為ZPAM=45，所以PM=AM.

又PM=AB,所以AM=AB,

則AP=A8,所以點P的軌跡是以A為圓心，以2為半徑的四分之一圓,

所以點尸的軌跡長度為Jx2乃x2=;r,

4

所以點P的軌跡總長度為長度為萬+4正，故C正確：

D.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)P(x,y,0)0￡x,yV2,4(2,2,2),。(0,0,2),C(0,2.0),

則CB,=(2,0,2),CDl=(0,-2,2),FP=(x-2,y-\,-2),

設(shè)平面CB.的?個法向量為〃=(a,6,C),

CD.n=O\-2b+2c=0

則《，即r1tl4，

[CB,-n=O[2a+2c=0

令a=l,則n=(1,-1,-1).

因為尸尸〃平面AC。，所以FP-n=(x-2)-(y-l)+2=0,即y=x+],

所以|FP卜7(-v-2)2+(y-l)2+4=V2x2-4.r+8=^2(x-l)2+6>R,

當(dāng)x=l時，等號成立，故D錯誤；

6.若//,12,〃是三條互相平行的直線，人與，2之間距離為1,//與/3之間距離為1,/2與，3之

間距離為正，A,B是直線//上的點，且A8=2,C,。分別是直線/2,上上的點，則()

A.A8C的面積是定值B.△AC。面積的最小值是3

C.三棱錐?！狝BC的體積是1D.4C￡>2-(AB-C￡))2=8

【答案】ABD

【分析】構(gòu)造直三棱柱OM-Ogf；中，4吏得OE=OF=1且OELOF,則4可以看做0&所在

直線，4可以看做E耳所在直線，4可以看做尸耳所在直線，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，根

據(jù)面積公式及錐體的體積公式判斷A、B、C,再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算判斷D；

【詳解】解：如圖所示直三棱柱。后尸-。巴耳中，OE=OF=IROE1OF,

則4可以看做。。所在直線，4可以看做EE1所在直線，&可以看做尸耳所在直線，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)C(l,O,c),8(0,0/)，A(0,0力+2),￡>(0,1,6/),

則8=(-l,l,d-c),AB=(0,0,-2),

對于A：因為AB=2,且EEJ/OO、,即C到AB的距離均為1,所以S=；A8xOE=l為定

值，故A正確：

依題意.即為AACD在底面的投影，所以S^CDNS。"=gxlxl=；,

即“8面積的最小值是g,故B正確；

因為點。到平面ABC的距離d=1,所以VD_AHC=gxS，跣?"=gx1x1=g,故C錯誤；

所以82=2+(4-C)2,ABCD=-2(d-c),

所以4。2_(48.002=4[2+(4_耳〔_[_2(八可了=8+4(</_4_4(1_°)2=8,

故D正確;

7.已知正方體ABCD-EFGH棱長為2,M為棱CG的中點，P為底面EFGH上的動點，則（）

A.存在點尸，使得|A"+|PM|=4

B.存在唯一點尸，使得”1PM

C.當(dāng)AM，BP,此時點尸的軌跡長度為0

97r

D.當(dāng)P為底面EFGH的中心時，三棱錐PTBM的外接球體積為亍

【答案】BCD

【分析】以力為原點，DA,DC,〃”所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

設(shè)P點坐標(biāo)為（x,y,2）,然后利用向量可判斷ABC的正誤，當(dāng)。為底面EFG”的中心時,

外接球球心為棱AM的中點，然后可判斷D.

【詳解】

B

x

以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

A(2,0,0),M(0,2,1),設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y,2)(x,ywR),AP=(x-2,y,2),PM=(-x,2-y,-l)

為求+\PM\的最小值，找出點A關(guān)于平面EFGH的對稱點，設(shè)該點為A,則A,點坐標(biāo)為

(2,0,4)

/.\AP\+\PM\>|AM=J(0_2)2+(2-0)2+0-4)2=A/T7>4

故A選項錯誤.

由"_LPM可得AP?尸M=0^?x2-2x+/-2y+2=0=>(x-l)2+(3；-l)2=0=>x=y=l

故B選項正確.

A/JL8P時，即AM.BP=0，此時由點P坐標(biāo)為(x/,2)得到

-2(x-2)+2(y-2)+2=0y=x—1

點尸軌跡是連接棱E尸中點與棱EH中點的線段，其長度為線段，廠的一半，即長為0.故C

選項正確.

當(dāng)P為底面EFGH的中心時，由B選項知AP1PM.

13q

易得...外接球球心為棱AM的中點，從而求得球半徑為5V-7r

故D選項正確.

三、填空題

8.若向量”(2,1,-2),=(6,-3,2),則a?+2b)=.

【答案】19

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算，求得a+2〃的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得

答案.

【詳解】：a=(2,l,-2),6=(6,-3,2),：.a+2b=(2,1,-2)+2(6,-3,2)=(14,-5,2),

.?“(a+2〃)=(2,l,-2).(14,-5,2)=19.

9.(2022?全國高二專題練習(xí))已知平面a的法向量是“=(3x-l,-1,x+5),平面夕的法向量

是b=(x+LX2+3,-X),且則實數(shù)x的值為一.

【答案】T或4

【分析】利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于實數(shù)x的方程，解之即可求得實數(shù)x的值

【詳解】Q<2.L/?,a.Lby

:.ab=(3x-l)(x+l)-(x2+3)-Mx+5)=0,

解得x=-l或X=4.

10.(2022?福建?漳州市第一外國語學(xué)校高二期末)如圖所示，長方體A8CD-AqCQ的底面

ABC。是邊長為1的正方形，長方體的高為2,E、P分別在AD、AC上，且我/BD、,則直線

EF與直線BDt的距離為.

【分析】建立.空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求出EF,BDj,由EFBR求得

2=〃=；,連接RE并延長交ADFG,在-GB"中，作GHLBAT”，由余弦定理求得

cosNGBR,再由三角形知識求得G”即可求解.

如圖，以。為原點，ZM,。。,。。所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(l,0,0),B(l,l,0),C(0,l,0)，A(l,0,2),R(0,0,2),

設(shè)DE=ADA,,AF=〃AC,乂。A=(1,0,2),AC=(-1,1,0),則DE=(A,0,22),AF=(-//,〃,0),

則所=E￡)+ZM+AF=(l-/l-〃,〃,一2/l),又BQ=(-1,-1,2),EfBD「貝lj

1—2—//卜i-24初田i1

——產(chǎn)=5=丁，解得丸=〃=三，

—1—12j

1、1DGA,E-

則。E=qZM,,AF=彳AC,連接RE并延長交A。于G,由方二為二？得G為AO中點,

同理可得連接即并延長也交A￡＞于G點，

BG=JiZ|=乎,RG=J^=孚,。f==#，畫出AGBR的平面圖，作

GH±BDt于H,

5+6_17____

由余弦定理得cosNGBR=—~-7=~~—=—F=,則sinNGBR=./1——=-^=,

2x2布國730M

2

GH=GBsinNGBD、=—,

'4

GFGE17Ju

又■二百=彳，則直線EF與直線8。1的距離為3G”=絲.

FBEDt236

11.（2021.安徽.高二期中）如圖，正三棱柱A8C-A8IG的各棱長均為1，點。和點E分別為

棱BC和棱44的中點，先將底面ABC置于平面a內(nèi)，再將三棱柱繞BC旋轉(zhuǎn)一周，則以下結(jié)

論正確的是（填入正確結(jié)論對應(yīng)的序號）.

①設(shè)向量。E旋轉(zhuǎn)后的向量為a，則何=乎

②點E的軌跡是以工叵為半徑的圓

4

③設(shè)①中的4在平面a上的投影向量為。，則W的取值范圍是［，孚］

④直線0E在平面a內(nèi)的投影與直線8C所成角的余弦值的取值范圍是yJ

【答案】①②③

【分析】利用坐標(biāo)法，由可得益=［：,坐,1］,利用模長公式可判斷①②，利用投影向量的概

44

念可得6=(；,y，o)，可判斷③，利用夾角公式可判斷④.

【詳解】如圖，取棱的中點尸，以。8為X軸，0A為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系。一個,

x-71'

則0(0,0,0),手“，C8=(1,0,0),OE=:,￥，1，

OE繞著BC旋轉(zhuǎn)即繞著x軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的向量為人則卜卜|OE卜乎，①正確；

設(shè)a=(x,y,z),則x=；,/+z2=(*)點后的軌跡是以坐為半徑的圓，②

正確；

由題知產(chǎn)€0,^|,0在平面a上的投影向量即為其在xQy平面上的投影向量6=(；,y,0),

W七十，鹿乎,③正確；

設(shè)直線OE在平面a內(nèi)的投影與直線BC所成的角為。，

旦,④錯誤.

12.已知單位空間向量"，e2,%滿足44=0，/芻=q?%=g?若空間向量〃滿足

夕6=〃./=乎，且對于任意實數(shù)再兒|。-邛-的最小值是2,則|人雞|(/1￡穴)的

最小值是.

【答案】顯

2

【分析】以e；,e；方向為軸，垂直于，，?方向為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求

得a坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.

【詳解】以4，?2方向為x,y軸，垂直于e；,e；方向為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

e,=(1,0,0),e2=(0,1,0),由e2=q=g可設(shè)63=(g,g,Z1),由是單位空間向量可得

冬'由…=當(dāng)可設(shè)a=(乎，乎,zj,

222

la-xel-ye2l=J(^^--x)+(■^^--y)+z2>當(dāng)x=y=^^，|a-xq-灼|的最小值是2，

所以z?=±2,取。=(乎，乎,2),

當(dāng)2=孚時，|a-/1與|(/1€/?)最小值為旁.

13.在棱長為1的正方體ABC。-ABC。中，過點A的平面a分別與棱BB-CC,,交于

點E,F,G,記四邊形AEFG在平面BCG耳上的正投影的面積為R,四邊形4EFG在平面ABB^

上的正投影的面積為邑.

給出下面四個結(jié)論：

①四邊形AEFG是平行四邊形；

②5+￡的最大值為2；

③SS的最大值為5；

④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值為邁.

則其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【分析】對①，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷答案；

建立空間直角坐標(biāo)系，^BE=a,CF=h,DG=c,然后根據(jù)①得到a,6,c的關(guān)系，進(jìn)而判斷②,

然后結(jié)合基本不等式判斷③，最后根據(jù)菱形的對角線互相垂直判斷④.

【詳解】對①，因為平面AEFG分別與平面BCC圈、平面4。力0、平面488出、平面CD0G

交于EF,AG,AE,GF,易知平面BCCtBt//平面ADD^，則AG//EF,而平面A網(wǎng)A〃平面

CDD?,則AE〃G尸，所以四邊形AEFG是平行四邊形.①正確；

以A為原點，AB,AR"分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，記點G在平面BCGA上的投影

點為點點F,G在平面AB旦A上的投影點分別為點/J.設(shè)BE=a,CF=b,DG=c,其中

OVa,/?,cVl,則E(l,O,a),F(l,l⑼,G(O,l,c),A(0,0,0),所以/=(1,0,a),3=(l,0,b-c),

由①，AE=GF^>h=a+c'則

0<￡?<1

<0<6t+C<l.

0<c<l

易得，S,=BEx