2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第05講 數(shù)列不等式（解析版）

第05講數(shù)列不等式目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：數(shù)列不等式中恒成立問題 1角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問題 1角度2：根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù) 6角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問題 10題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問題 20題型一：數(shù)列不等式中恒成立問題角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問題典型例題例題1．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)求證：【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，得，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，得．，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．（2）證明：，所以，，，故．例題2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，由得，所以當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；解法二：由題，①，，即②，由①②得，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：由（1）知，所以，兩式作差得，所以.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，.(1)判定數(shù)列單調(diào)性；(2)判斷，是否恒成立.【答案】(1)遞增(2)不恒成立【詳解】（1）解法一：先證明一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，總有.證明：令，其中，則，易得在上為減函數(shù)，而，，因此在存在唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時(shí)，總有，即，從而上述性質(zhì)得證.令，，由上述性質(zhì)可得，故對(duì)任意的恒成立.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)且時(shí)，總有.因?yàn)?，所以成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即，所以，故成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的且時(shí)，總有.由對(duì)任意的恒成立.可得恒成立，故數(shù)列單調(diào)遞增.解法二：數(shù)列的生成函數(shù)為，其不動(dòng)點(diǎn)為、和，故數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)為或者或者，如下圖所示，因?yàn)?，由圖可知，恒成立，所以易知數(shù)列單調(diào)遞增.（2）解法一：由（1）知，數(shù)列在上單調(diào)遞增，故.先證明結(jié)論（）成立.設(shè)，其中，，易得在上單調(diào)遞減，而，，故在上存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.而，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.所以在上恒成立.故當(dāng)時(shí)，總有，即，因?yàn)?，所以，由累乘法可得，整理得，?dāng)時(shí)，則有，即，此時(shí).所以（）不能恒成立.解法二：數(shù)列的生成函數(shù)為，易知，將數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)和代入得，，因此為排斥不動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)?，所以可以得到?shù)列的蛛網(wǎng)圖如圖所示，由圖可知，，所以（）不能恒成立.角度2：根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù)典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，所以，則，不等式整理得，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然滿足不等式；且當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，則不等式恒成立；故當(dāng)不等式成立時(shí)的最小值為9.故選：B.例題2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，設(shè)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【詳解】由題意知，，且，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，則，，，數(shù)列是單調(diào)遞增的，，而數(shù)列是單調(diào)遞減的，，因?yàn)?，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：1例題3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，則______；若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】設(shè)，，則，所以，所以.又由，可得，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.例題4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題5．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,得,當(dāng)時(shí),,整理得,等式兩邊同除得,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,則.（2）不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立,即對(duì)一切正整數(shù)恒成立.令,設(shè)當(dāng)時(shí),最大,則,解得,因?yàn)?所以,又,則,即的最小值為.角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問題典型例題例題1．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(2)設(shè)為非零整數(shù)，，是否存在確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在【詳解】（1），①，②①②得，化簡(jiǎn)得，且數(shù)列為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，；則，（2），，假設(shè)存在確定的值，使對(duì)任意，都有恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，對(duì)任意恒成立．①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，．即，又為非零整數(shù)，．綜上所述：存在，使得對(duì)任意，都有．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，.(1)若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論.【答案】(1)，，(2)存在，證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意得.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，則.由題意知，所以.取，3，得，.【反思】也可根據(jù)及題意計(jì)算得，，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.（2）（解法1）利用數(shù)學(xué)歸納法.設(shè)，則.令，即，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：.當(dāng)時(shí)，，，所以成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即.因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，故.因此，所以.因此，即當(dāng)時(shí)命題也成立.綜上，存在，使得對(duì)一切成立.（解法2）當(dāng)時(shí)，由題意得，從而得到.①假設(shè)存在實(shí)數(shù)c，使得對(duì)所有都成立，又，則.結(jié)合式①得.由，解得.由式①得.解得.綜上，得.故存在，使得對(duì)一切成立.精練核心考點(diǎn)1．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．16 C． D．32【答案】D【詳解】，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，，解得或（舍），，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.故選：.2．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______．【答案】【詳解】數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即有，即，而，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，即，，而，依題意，，，令，，顯然，當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增的，于是，即有，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.則的通項(xiàng)公式為__________；若為數(shù)列的前項(xiàng)積，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.【答案】【詳解】由題意知，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，則，由，得，故問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，所以，所以單調(diào)遞減，故，所以，即實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：；.4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知，，又，得．當(dāng)時(shí)，由，得，得．則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．所以．又，則．當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以．（2）證明：由于又，所以．5．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由，得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，設(shè)，，兩式相減得得，所以，所以．6．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┰O(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求證數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)數(shù)列滿足，且.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【答案】(1)證明過程見詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2.（2）（i）因?yàn)閿?shù)列滿足，且，所以，則.（ii）因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，則，令，所以，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍.7．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)對(duì)任意，數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且；(2)記，證明：存在常數(shù)，使得．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：由于，則，所以，即單調(diào)遞增．假設(shè)存在，使得，則，所以．不妨取，即，即，則，這與任意，恒成立相矛盾，故假設(shè)不成立，所以．（2）由（1）有，又，所以．于是，故可取，即有．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，即，而，故是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列.（2）由（1），即，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，所以，則，則，又時(shí)，所以且，故.9．（2023春·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，且，則，可得，所以.（2）由（1）可得：，則，因?yàn)榈拈_口向上，對(duì)稱軸為，且，則當(dāng)時(shí)，取到最小值，可得，即，所以的取值范圍為.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在最小的正整數(shù)？使得對(duì)一切成立，說(shuō)明你的理由．【答案】存在，10，理由見解析【詳解】，所以對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立，因?yàn)?，又為正整?shù)，所以.題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由單調(diào)遞增，得，由，得，∴.時(shí)，得①，時(shí)，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價(jià)為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.故選：A例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式，若，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】不存在，理由見解析【詳解】不存在，理由如下：由題意可得：，∵，∴，則，解得，不符合題意，∴不存在正整數(shù)，使得.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．設(shè)在區(qū)間（）上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，，又，令，則，，有，所以當(dāng)時(shí)，，同理可得，時(shí)，，根據(jù)規(guī)律，得當(dāng)，，且此時(shí)的在單調(diào)遞增，又因?yàn)闉樵趨^(qū)間上的最小值，所以，，，，，若存在，使得有解，則有有解，進(jìn)而必有，令，設(shè)最大，則，即，即，即最大；所以當(dāng)時(shí)，有，所以.故答案為：例題4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知：正整數(shù)列各項(xiàng)均不相同，，數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)若，寫出一個(gè)滿足題意的正整數(shù)列的前5項(xiàng)：(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明若，都有，是否存在不同的正整數(shù)，，使得，為大于1的整數(shù)，其中.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）取，則，符合題設(shè)要求.（2）設(shè)，由已知得即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)有，整理得，所以數(shù)列為常數(shù)列，又，，所以有，所以，所以.（3），設(shè)存在不同的正整數(shù)，j，使得，為大于1的整數(shù).設(shè)，因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列且各不相同，所以，故，而，所以.因?yàn)?，所?又因?yàn)闉榇笥?的整數(shù)，所以的可能取值為2，同理的可能取值為2.所以，，又因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，而，故不成立，故不存在不同的正整?shù)i，j，使得，為大于1的整數(shù).例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：已知，___________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，，又，因此有，即，解得，(舍去)，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若選①：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得：，，則有，由，解得，而為正整數(shù)，則的最小值為，所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.若選②：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得，，則有，由，解得，而為正整數(shù)，則的最小值為，所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.若選③：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得：，，，令，得，顯然數(shù)列()是遞減的，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即由得，則的最小值為所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，存在正偶數(shù)使得，且對(duì)任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，又時(shí)也成立，所以，易得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)為