2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第04講 拓展一：平面向量中的最值、范圍問題（解析版）

第04講拓展一：平面向量中的最值、范圍問題目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：重點(diǎn)考查向量模的最值、范圍問題 1方法一：轉(zhuǎn)換為一元二次（一次）不等式 1方法二：利用基本不等式 7方法三：借助圖形（數(shù)形結(jié)合） 10方法四：借助三角函數(shù) 15題型二：重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的最值、范圍問題 17方法一：幾何意義法 17方法二：自主建系法 21方法三：借助三角函數(shù) 30方法四：借助圖形 38方法五：極化恒等式 41題型一：重點(diǎn)考查向量模的最值、范圍問題方法一：轉(zhuǎn)換為一元二次（一次）不等式典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，是不共線的兩個(gè)向量，，，若，，則的最小值為A．2 B．4 C． D．【答案】B【詳解】由可得，，即.因?yàn)?，，所以，所以?令，因?yàn)?，，所?又對(duì)，恒成立，所以，所以.故選：B.例題2．（2023春·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)，均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則的最小值為______．【答案】/0.5【詳解】設(shè)的夾角為，因?yàn)?，兩邊平方可得：，即?duì)任意的恒成立，故可得：，即，則，故，因?yàn)椋瑢?duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故的最小值為，故答案為：.例題3．（2023春·上海普陀·高一曹楊二中校考期中）已知是單位向量，向量滿足.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】不妨設(shè)，由，可設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，等價(jià)于,解得，所以，于是.故答案為：例題4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因?yàn)椋詾閳A直徑，設(shè)，則，所以,故，所以當(dāng)時(shí)，，，故故答案為：.例題5．（2023春·河南鄭州·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知與是單位向量，．若向量滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】，是單位向量，，，，又，，且

，又，即，所以，即，解得.故答案為；精練核心考點(diǎn)1．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）設(shè)平面向量，，滿足：，，，，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】依題意，設(shè)，，.根據(jù)，即，即，整理得.顯然，否則，，與已知矛盾，故可得.由，即，故，解得.故.故答案為：2．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，為空間中4個(gè)單位向量，滿足，，，且．則的最小值為______．【答案】【詳解】設(shè)，且，因?yàn)椋傻?，又由，因?yàn)?，可得，設(shè)，可得，代入上式，可得且，所以，所以，即的最小值為.故答案為：.3．（2023春·江西贛州·高一?？计谥校┢矫嫦蛄?，滿足，，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】，，，則，得，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則，即，解得：或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．4．（2023春·福建福州·高一福建省連江第一中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)如果點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)滿足，設(shè)，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，由于，，故，所以，所以的坐?biāo)為；（2），，，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．5．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，滿足，，（θ為與的夾角），則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為1，即的最小值為1.故選：C.6．（2023春·黑龍江·高一黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?，是單位向量，且，設(shè)向量，當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，的最小值為______．【答案】//【詳解】當(dāng)時(shí)，，，即，，因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故答案為：，.方法二：利用基本不等式典型例題例題1．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，，解得.，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，的最小值為.故選：A.例題2．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤羝矫嫦蛄浚?，滿足，，，，則的最小值為______．【答案】2【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，令，設(shè)，由，得，由，得，由，得，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故答案為：2例題3．（2023春·湖北黃岡·高一?？计谥校┮阎?，是兩個(gè)平面向量，且對(duì)任意，恒有，則的最大值是_________.【答案】【詳解】對(duì)任意，恒有，向量的終點(diǎn)到向量所在直線的距離最短..設(shè)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的最大值是.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足.向量，，，記在方向上的向量為，則當(dāng)最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由，則，又，則，又，則，又，則，則，又，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故選：A.2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？计谥校┮阎堑闹芯€，，，，則的最小值是______.【答案】【詳解】設(shè)的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槭堑闹芯€，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值是.故答案為：3．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點(diǎn)．若為線段上的一點(diǎn)，且，則__________，的最小值為___________.【答案】【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為，所以，得，如圖，連接，則,所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：，.方法三：借助圖形（數(shù)形結(jié)合）典型例題例題1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，設(shè)向量，，的終點(diǎn)分別為，則，，由得，得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄浚見A角為，不妨設(shè)，，則，，所以以為直徑的圓的圓心，半徑為，又，所以，即的最大值為.故選：D例題2．（多選）（2023春·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）向量滿足，則的值可以是（

）A．3 B．2 C．6 D．3【答案】ABC【詳解】設(shè)，，，由向量滿足，，，所以，，所以.①如圖當(dāng)時(shí)，，即，即四點(diǎn)共圓，由余弦定理可得：，設(shè)四邊形的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，則有，則；②如圖當(dāng)時(shí)，，則在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)在優(yōu)弧上（不含端點(diǎn)），則，綜合①②可得.故選：ABC.例題3．（2023春·陜西西安·高一長安一中?？计谥校┮阎c(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外，若，且，，則的最小值為_____________.【答案】/【詳解】由，，∴，即，∴，在中，當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，由面積法得，解得，所以的最小值為.故答案為：.例題4．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是______．【答案】/【詳解】由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以Q(1,2)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）在中，，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【詳解】，，所以，則，又因?yàn)?，所以，所以由可得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，取的中點(diǎn)，則，所以，故選：A2．（2023春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谥校┰阡J角三角形ABC中，，，點(diǎn)O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.【答案】【詳解】，因?yàn)殇J角三角形中，所以，，所以，，又，即，則且，則，即.故答案為：3．（2023春·河南鄭州·高一鄭州市第九中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)平面向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．【答案】/【詳解】由題知，，與的夾角為，以的起點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，化簡得，即，所以的終點(diǎn)落在以為圓心，半徑為的圓上，易知在圓內(nèi)，，所以的最大值為，故答案為：.方法四：借助三角函數(shù)典型例題例題1．（2023春·山東·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，得，又，所以．?），因?yàn)?，所以，則，所以，故．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┤鐖D，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限；(1)證明：；（提示：設(shè)為的終邊，為的終邊，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為和）(2)求的范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明:如圖，設(shè)為的終邊，為的終邊，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為和則，設(shè)與的夾角為，則,,且，故成立.（2）令與的夾角為，因?yàn)椋菃挝粓A上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限，所以.，，，所以，故的范圍為.題型二：重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的最值、范圍問題方法一：幾何意義法典型例題例題1．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【詳解】延長，交于，由題意，過分別作的垂線，垂足為，正十二邊形的每個(gè)內(nèi)角為，在中，，，在中，，，則，∵，為的夾角，∴數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，由圖可知，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選：B.例題2．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┰谶呴L為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1、圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的切線與圓切于點(diǎn)N與延長線交點(diǎn)為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，則的取值范圍是.故選：A精練核心考點(diǎn)1．（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，延長，過點(diǎn)做交的延長線于點(diǎn).因?yàn)椋?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：D2．（2023春·廣西玉林·高一博白縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若的外接圓半徑為，且，則的取值范圍是_________．【答案】【詳解】的外接圓圓心為，過作，如下圖所示，，的幾何意義為在方向上的投影，當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值；，為等邊三角形，，又，，又，，則，，解得：，；同理可得：，，，.故答案為：.方法二：自主建系法典型例題例題1．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期中）在邊長為2的等邊三角形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，則的最小值是.故選：D.例題2．（多選）（2023春·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】作，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，，在中，，，則，，則，，設(shè)，，，，開口向上，對(duì)稱軸為，且，當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值；的取值范圍為，可能的取值為和.故選：BC.例題3．（2023春·天津武清·高一天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為，設(shè)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍是______________.【答案】【詳解】∵，∴，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵向量在向量上的投影向量為，∴，∴，由已知，設(shè)，，（，），則，，，∵，∴，即，∴，∴，，∴，又∵，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，∴，解得，且，，∴，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)，，則由以上基本不等式所求最小值可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，∴的最小值為，最大值為∴的取值范圍是.故答案為：.例題4．（2023春·廣東江門·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┰谄矫嫠倪呅沃校ㄈ鐖D所示），，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________；

【答案】/【詳解】因，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過點(diǎn)C作于G，作于F，因?yàn)椋?，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故答案為：.例題5．（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是等腰直角三角形，，是外接圓上一點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如圖，以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于，則,，，外接圓的方程為，設(shè),則，則，∴，由于，故，∴取值范圍為，故答案為：例題6．（2023春·山東青島·高一?？计谥校┮阎校?，，點(diǎn)是的中點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則為__________，若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】8-1【詳解】以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，，則，得，為的中點(diǎn)時(shí)，有，，，；為上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，，，由，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值-1.故答案為：8；-1精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L為2，為正方形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．0 B．4 C． D．8【答案】D【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，因?yàn)?，令，圓心到直線的距離為，則，所以的最大值是8，故選：D2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為_________．【答案】/【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.3．（2023春·天津武清·高一天津英華國際學(xué)校校考階段練習(xí)）已知中，，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【詳解】過作，垂足為，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，在中，，，∴，，，由題意，設(shè)，，則，，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，．設(shè)，且（），則當(dāng)取最小值時(shí)，______．【答案】7【詳解】由已知得點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．設(shè)，則由知．以為原點(diǎn)，分別以CB，CA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以直線BD的方程為．易知點(diǎn)在直線BD上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則，，，所以，所以．故當(dāng)時(shí)，取得最小值．此時(shí)，則，．由，得．故答案為：75．（2023春·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┨菪沃?，，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，__________.（2）的最小值是__________.【答案】0/【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，，，，，；（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值是.故答案為：；.6．（2023春·天津·高一統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，，則______；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∵E是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，可得，∴，，∴；因?yàn)辄c(diǎn)F為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè),故，所以，，故，由于，所以時(shí)，取到最小值，即的最小值為，故答案為：；方法三：借助三角函數(shù)典型例題例題1．（2023春·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知平面向量，，則的最大值為______.【答案】【詳解】解：因?yàn)槠矫嫦蛄?，，所以，?dāng)，即，的最大值為，故答案為：例題2．（2023·上海浦東新·上海市建平中學(xué)?？既＃┮阎橇闫矫嫦蛄?，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】如圖：以點(diǎn)為起點(diǎn)作向量，，，則，，，由，的夾角為，與的夾角為可知：四點(diǎn)共圓，由，得，，在中：，即所以，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，設(shè)，則，在中：，所以，，，，，，，則的取值范圍是故答案為：例題3．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中校考期中）德國機(jī)械學(xué)家萊洛設(shè)計(jì)的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．如圖，分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形的邊長為，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【詳解】由已知，弧是以為圓心，為半徑的圓的一部分，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過與直線垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知，，，由任意角的三角函數(shù)的定義，設(shè)，，則，，，∴，∴令，，則，當(dāng)時(shí)，，，，∴存在，使，即，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.例題4．（2023春·北京·高一101中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，，P為所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．所以，，所以，所以的取值范圍是．例題5．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考期中）在中，，.(1)求的值；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【答案】(1)24(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以?）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，根?jù)三角函數(shù)定義，，而點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)，其中.所以，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京·高一北京四中?？计谥校┮阎c(diǎn)，點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】2【詳解】由題，，.則.則當(dāng)，即時(shí)，有最小值2.故答案為：22．（2023春·福建·高一校聯(lián)考期中）如圖放置的邊長為1的正方形的頂點(diǎn)A，分別在軸的正半軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則的取值范圍為_____．【答案】【詳解】設(shè)，則，則，則又，則，則，則，則的取值范圍為故答案為：3．（2023春·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是正方形外接圓圓O上的動(dòng)點(diǎn)，正方形的邊長為2，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】由題意知，圓O的半徑為，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，，得，設(shè)，，則，所以，其中，又，所以，則，即的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考期中）在直角中，，，，為邊上一點(diǎn)，且.(1)若上一點(diǎn)滿足，且，求的值.(2)若為內(nèi)一點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，，故.（2）解：在中，，，，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，則，可得，設(shè)，若點(diǎn)在上且使得，且為的中點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以，，則，，，，，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)時(shí)，取最小值.5．（2023春·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）如圖，為半圓的直徑，，為上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)用向量的方法證明；(2)若是上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.（方法一）由題意可知，設(shè)，則，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由題意可知，，，設(shè)，則，得，得，，所以，故，即.（2）由題意得，則，設(shè)，則，，由（1）得，，所以，由，得，當(dāng)，即時(shí)，.故的最大值為.方法四：借助圖形典型例題例題1．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知單位向量和向量、滿足，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】設(shè)，，由可得，化簡可得，即.設(shè)，則由可得，故的軌跡為以為焦點(diǎn)，的橢圓，其方程為.設(shè)夾角為，則，由圓與橢圓的性質(zhì)可得，，，，故當(dāng)同向，均往負(fù)半軸時(shí)，取得最大值.故選：B例題2．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，作，令，則，，于是點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，如圖，觀察圖形知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相反，即點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與E重合時(shí)取等號(hào)，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相同，若點(diǎn)B與A重合，點(diǎn)C與E重合時(shí)，，若點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與F重合時(shí)，，因此，所以的取值范圍是.故選：A精練核心考點(diǎn)1．（2023·天津·校聯(lián)考二模）在平面四邊形中，，，.若E、F為邊BD上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)交于.不妨設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于點(diǎn)到點(diǎn)的距離.由可知且，所以平面四邊形是平行四邊形.設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以平面四邊形是菱?又因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，所以，所?，因?yàn)?/p>