微專題23 圓周運動的其他臨界問題-2025版高中物理微專題

微專題23圓周運動的其他臨界問題【核心要點提示】五種典型臨界條件(1)物體離開接觸面的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力FN＝0.(2)相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時，常存在著靜摩擦力，則相對滑動的臨界條件是：靜摩擦力達到最大值．(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT＝0.(4)加速度變化時，速度達到最值的臨界條件：當(dāng)加速度變?yōu)?時．(5)物塊與彈簧脫離的臨界條件：彈力FN＝0，速度相等，加速度相等【微專題訓(xùn)練】【例題】在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內(nèi)低．如圖所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側(cè)的路面比右側(cè)的路面低一些．汽車的運動可看作是做半徑為R的圓周運動．設(shè)內(nèi)外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向摩擦力(即垂直于前進方向)等于零，則汽車轉(zhuǎn)彎時的車速應(yīng)等于()A.eq\r(\f(gRh,L))B.eq\r(\f(gRh,d))C.eq\r(\f(gRL,h))D.eq\r(\f(gRd,h))【解析】考查向心力公式．汽車做勻速圓周運動，向心力由重力與斜面對汽車的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtanθ，根據(jù)牛頓第二定律：F向＝meq\f(v2,R)，tanθ＝eq\f(h,d)，解得汽車轉(zhuǎn)彎時的車速v＝eq\r(\f(gRh,d))，B對．【答案】B【變式】(2018·遼寧師大附中高三上學(xué)期期末)如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上有一個質(zhì)量為m的小物塊。用長為L的輕細繩將物塊連接在通過轉(zhuǎn)臺中心的轉(zhuǎn)軸上。細繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角為θ，系統(tǒng)靜止時細繩繃直但張力為零。物塊與轉(zhuǎn)臺間動摩擦因數(shù)為μ(μ＜tanθ)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動且未離開轉(zhuǎn)臺的過程中(CD)A．物塊受轉(zhuǎn)臺的靜摩擦力方向始終指向轉(zhuǎn)軸B．至繩中出現(xiàn)拉力時，轉(zhuǎn)臺對物塊做的功為μmgLsineq\f(θ,2)C．物塊能在轉(zhuǎn)臺上隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動的最大角速度為eq\r(\f(g,Lcosθ))D．細繩對物塊拉力的瞬時功率始終為零[解析]由題可知，物體做加速圓周運動，所以開始時物體受到的摩擦力必定有一部分的分力沿軌跡的切線方向。故A錯誤；對物體受力分析知物塊離開圓盤前，沿軸線方向的合力：F＝f＋Tsinθ＝meq\f(v2,r)①N＋Tcosθ＝mg②根據(jù)動能定理知W＝Ek＝eq\f(1,2)mv2③彈力T＝0，r＝Lsinθ④由①②③④解得W＝eq\f(1,2)fLsinθ≤eq\f(1,2)μmgLsinθ，至繩中出現(xiàn)拉力時，轉(zhuǎn)臺對物塊做的功為eq\f(1,2)μmgLsinθ，故B錯誤；當(dāng)N＝0，f＝0，由①②知ω0＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，所以當(dāng)物塊的角速度增大到eq\r(\f(g,Lcosθ))時，物塊與轉(zhuǎn)臺間恰好無相互作用，故C正確；由幾何關(guān)系可知，物體在做圓周運動的過程中受到的繩子的拉力方向與物體運動的方向始終垂直，所以細繩對物塊拉力的瞬時功率始終為零。故D正確?！纠}2】(多選)如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的光滑細金屬圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量均為m的帶孔小球A、B穿于環(huán)上，兩根長為R的細繩一端分別系于A、B球上，另一端分別系于圓環(huán)的最高點和最低點，現(xiàn)讓圓環(huán)繞豎直直徑轉(zhuǎn)動，當(dāng)角速度緩慢增大到某一值時，連接B球的繩子恰好拉直，轉(zhuǎn)動過程中繩不會斷，則下列說法正確的是()A．連接B球的繩子恰好拉直時，轉(zhuǎn)動的角速度為eq\r(\f(2g,R))B．連接B球的繩子恰好拉直時，金屬圓環(huán)對A球的作用力為零C．繼續(xù)增大轉(zhuǎn)動的角速度，金屬環(huán)對B球的作用力可能為零D．繼續(xù)增大轉(zhuǎn)動的角速度，A球可能會沿金屬環(huán)向上移動解析：當(dāng)連接B球的繩剛好拉直時，mgtan60°＝mRsin60°ω2，求得ω＝eq\r(\f(2g,R))，A項正確；連接B球的繩子恰好拉直時，A球與B球轉(zhuǎn)速相同，A球所受合力也為mgtan60°，又小球A所受重力為mg，可判斷出A球所受繩的拉力為2mg，A球不受金屬圓環(huán)的作用力，B項正確；繼續(xù)增大轉(zhuǎn)動的角速度，連接B球的繩上會有拉力，要維持B球豎直方向所受外力的合力為零，環(huán)對B球必定有彈力，C項錯誤；當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度增大，環(huán)對B球的彈力不為零，根據(jù)豎直方向上A球和B球所受外力的合力都為零，可知繩對A球的拉力增大，繩應(yīng)張得更緊，因此A球不可能沿環(huán)向上移動，D項錯誤。答案：AB【變式2】(2015·黑龍江哈爾濱)用一根細線一端系一小球(可視為質(zhì)點)，另一端固定在一光滑圓錐頂上，如圖所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動的角速度為ω，細線的張力為FT，則FT隨ω2變化的圖像是下列選項中的()【解析】小球未離開錐面時，設(shè)細線的張力為FT，線的長度為L，錐面對小球的支持力為FN，則有FTcosθ＋FNsinθ＝mg及FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，可求得FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ.可見當(dāng)ω由0開始增大，F(xiàn)T從mgcosθ開始隨ω2的增大而線性增大，當(dāng)角速度增大到小球飄離錐面時，有FTsinα＝mω2Lsinα，其中α為細線與豎直方向的夾角，即FT＝mω2L，可見FT隨ω2的增大仍線性增大，但圖線斜率增大了，綜上所述，只有C項正確．【答案】C【例題3】(2014·新課標全國卷Ⅰ，20)(多選)如圖，兩個質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，下列說法正確的是()A．b一定比a先開始滑動B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a所受摩擦力的大小為kmg【解析】小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。當(dāng)角速度增加時，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時，發(fā)生相對滑動，對木塊a：fa＝mωeq\o\al(2,a)l，當(dāng)fa＝kmg時，kmg＝mωeq\o\al(2,a)l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b：fb＝mωeq\o\al(2,b)·2l，當(dāng)fb＝kmg時，kmg＝mωeq\o\al(2,b)·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先達到最大靜摩擦力，選項A正確；兩木塊滑動前轉(zhuǎn)動的角速度相同，則fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa<fb，選項B錯誤；當(dāng)ω＝eq\r(\f(kg,2l))時b剛開始滑動，選項C正確；當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a沒有滑動，則fa＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項D錯誤。【答案】AC【變式3】如圖所示，兩個可視為質(zhì)點的、相同的木塊A和B放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為L的細繩連接，木塊與轉(zhuǎn)盤的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，A放在距離轉(zhuǎn)軸L處，整個裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是()A．當(dāng)ω>eq\r(\f(2Kg,3L))時，A、B相對于轉(zhuǎn)盤會滑動B．當(dāng)ω>eq\r(\f(Kg,2L))時，繩子一定有彈力C．ω在eq\r(\f(Kg,2L))<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)增大時，B所受摩擦力變大D．ω在0<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))范圍內(nèi)增大時，A所受摩擦力一直變大【解析】當(dāng)A、B所受靜摩擦力均達到最大值時，A、B相對轉(zhuǎn)盤將會滑動，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝eq\r(\f(2Kg,3L))，A項正確；當(dāng)B所受靜摩擦力達到最大值后，繩子開始有彈力，即：Kmg＝mω2·2L，解得：ω＝eq\r(\f(Kg,2L))，B項正確；當(dāng)eq\r(\f(Kg,2L))<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))時，隨角速度的增大，繩子拉力不斷增大，B所受靜摩擦力一直保持最大靜摩擦力不變，C項錯；0<ω≤eq\r(\f(Kg,2L))時，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2L，靜摩擦力隨角速度增大而增大，當(dāng)eq\r(\f(Kg,2L))<ω<eq\r(\f(2Kg,3L))時，以A、B整體為研究對象，F(xiàn)fA＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，可知A受靜摩擦力隨角速度的增大而增大，D項正確．【答案】ABD【鞏固習(xí)題】1.(2013·新課標全國Ⅱ)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶．如圖所示，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為vc時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢．則在該彎道處()A．路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低B．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動D．當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，vc的值變小【解析】汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢，說明路面外高內(nèi)低，此時重力和支持力的合力恰好提供汽車在水平面上的圓周運動向心力，故A項正確；車速低于vc，汽車有向內(nèi)側(cè)滑動的趨勢，受到向外的摩擦力，這時重力、支持力、摩擦力仍能提供物體做圓周運動的向心力，只有靜摩擦力等于滑動摩擦力時，才有可能向內(nèi)側(cè)滑動，故B項錯誤；當(dāng)速度為vc時，靜摩擦力為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc時，摩擦力指向內(nèi)側(cè)，只要速度不超出重力、支持力和最大靜摩擦力提供向心力所對應(yīng)的速度，車輛不會側(cè)滑，故C項正確；當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，由于支持力和重力不變，則vc的值不變．故D項錯誤．【答案】AC2.如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的細繩，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，小球沿斜面做圓周運動，若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是()A．2m/s B．2eq\r(10)m/sC．2eq\r(5)m/s D．2eq\r(2)m/s【解析】小球通過最高點的最小速度為vA＝eq\r(gLsinα)＝2m/s，在B點的最小速度vB滿足eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋2mgLsinα，解得vB＝2eq\r(5)m/s.【答案】C3.【遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校2017屆高三上學(xué)期第二次模擬考試】如圖所示，在傾角θ=30°的光滑斜面上，長為L的細線一端固定，另一端連接質(zhì)量為m的小球，小球在斜面上做圓周運動，A、B分別是圓弧的最高點和最低點，若小球在A、B點做圓周運動的最小速度分別為vA、vB，重力加速度為g，則（）A． B．C． D．【答案】C4.(2014·安徽)如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)，(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2，則ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s【解析】當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點，所受的靜摩擦力沿斜面向上達到最大時，角速度最大，由牛頓第二定律，得μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，則ω＝eq\r(\f(10×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2)－\f(1,2),2.5))rad/s＝1rad/s，C選項正確，其他選項錯誤．【答案】C5.(2015·湖北黃岡高三質(zhì)檢)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B，它們與盤間的動摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛要發(fā)生滑動時，燒斷細線，則()A．兩物體均沿切線方向滑動B．物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，同時所受摩擦力減小C．兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發(fā)生滑動D．物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，物體A發(fā)生滑動，離圓盤圓心越來越遠【解析】當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛要發(fā)生滑動時，A物體靠細線的拉力與圓盤的最大靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運動，B靠指向圓心的靜摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以燒斷細線后，A所受最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力，A要發(fā)生相對滑動，離圓盤圓心越來越遠，但是B所需要的向心力小于B的最大靜摩擦力，所以B仍保持相對圓盤靜止?fàn)顟B(tài)，做勻速圓周運動，且靜摩擦力比繩子燒斷前減小。故B、D正確，A、C錯誤?！敬鸢浮緽D6.【四川省資陽市2017屆高三上學(xué)期第一次診斷考試理科綜合】如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺上有一個質(zhì)量為m的物塊，用長為l的輕質(zhì)細繩將物塊連接在轉(zhuǎn)軸上，細繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ=30°，此時繩伸直但無張力，物塊與轉(zhuǎn)臺間動摩擦因數(shù)為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動，角速度為ω，重力加速度為g，則()A．當(dāng)時，細繩的拉力為0B．當(dāng)時，物塊與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力為0C．當(dāng)時，細繩的拉力大小為D．當(dāng)時，細繩的拉力大小為【答案】AC【解析】當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度比較小時，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當(dāng)細繩恰好要產(chǎn)生拉力時：，解得：，隨速度的增大，細繩上的拉力增大，當(dāng)物塊恰好要離開轉(zhuǎn)臺時，物塊受到重力和細繩的拉力的作用，則：解得：，由于ω1＜＜ω2，所以當(dāng)ω=時，物塊與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力不為零．故B錯誤；由于＜，所以當(dāng)ω=時，細線中張力為零，故A正確；由于ω1＜＜ω2，由牛頓第二定律：，因為壓力小于mg，所以f＜mg，解得：F＞mg．故D錯誤；當(dāng)ω=＞ω2時，小球已經(jīng)離開轉(zhuǎn)臺，細繩的拉力與重力的合力提供向心力，則：mgtanα＝m()2lsinα，解得：cosα=，故．故C正確；故選AC.7.(2018·河北省定州中學(xué)高三上學(xué)期期中試題)在光滑圓錐形容器中，固定了一根光滑的豎直細桿，細桿與圓錐的中軸線重合，細桿上穿有小環(huán)(小環(huán)可以自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動)，小環(huán)上連接一輕繩，與一質(zhì)量為m的光滑小球相連，讓小球在圓錐內(nèi)做水平面上的勻速圓周運動，并與圓錐內(nèi)壁接觸。如圖所示，圖a中小環(huán)與小球在同一水平面上，圖b中輕繩與豎直軸成θ(θ<90°)角。設(shè)圖a和圖b中輕繩對小球的拉力分別為Ta和Tb，圓錐內(nèi)壁對小球的支持力分別為Na和Nb，則在下列說法中正確的是(BC)A．Ta一定為零，Tb一定為零B．Ta、Tb是否為零取決于小球速度的大小C．Na一定不為零，Nb可以為零D．Na、Nb的大小與小球的速度無關(guān)[解析]對甲圖中的小球進行受力分析，小球所受的重力，支持力合力的方向可以指向圓心提供向心力，所以Ta可以為零，若Na等于零，則小球所受的重力及繩子拉力的合力方向不能指向圓心而提供向心力，所以Na一定不為零；對乙圖中的小球進行受力分析，若Tb為零，則小球所受的重力，支持力合力的方向可以指向圓心提供向心力，所以Tb可以為零，若Nb等于零，則小球所受的重力及繩子拉力的合力方向也可以指向圓心而提供向心力，所以Nb可以為零；所以BC正確，AD錯誤；故選BC。8.(2016·安徽江淮名校高三聯(lián)考)如圖所示，放于豎直面內(nèi)的光滑金屬細圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長為R的細繩一端系于球上，另一端系于圓環(huán)最低點，繩的最大拉力為2mg。當(dāng)圓環(huán)以角速度ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動時，發(fā)現(xiàn)小球受三個力作用。則ω可能為()A．3eq\r(\f(g,R)) B.eq\f(3,2)eq\r(\f(g,R)) C.eq\r(\f(3g,2R)) D.eq\r(\f(g,2R))【解析】因為圓環(huán)光滑，所以這三個力肯定是重力、環(huán)對球的彈力、繩子的拉力，細繩要產(chǎn)生拉力，繩要處于拉伸狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時細繩與豎直方向的夾角為60°，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時，小球繞豎直軸做圓周運動，向心力由三個力在水平方向的合力提供，其大小為F＝mω2r，其中r＝Rsin60°一定，所以當(dāng)角速度越大時，所需要的向心力越大，繩子拉力越大，所以對應(yīng)的臨界條件是小球在此位置剛好不受拉力，此時角速度最小，需要的向心力最小，對小球進行受力分析得：Fmin＝mgtan60°，即mgtan60°＝mωeq\o\al(2,min)Rsin60°，解得ωmin＝eq\r(\f(2g,R))。當(dāng)繩子拉力達到2mg時，此時角速度最大，對小球進行受力分析得：豎直方向：FNsin30°－(2mg)sin30°－mg＝0水平方向：FNcos30°＋(2mg)cos30°＝mωeq\o\al(2,max)(Rsin60°)解得ωmax＝eq\r(\f(6g,R))，故A、C、D錯誤，B正確?！敬鸢浮緽9.(2018·山西百校聯(lián)盟質(zhì)檢)將一平板折成如圖所示形狀，AB部分水平且粗糙，BC部分光滑且與水平方向成θ角，板繞豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，放在AB板E處和放在BC板F處的物塊均剛好不滑動，兩物塊到轉(zhuǎn)動軸的距離相等，則物塊與AB板的動摩擦因數(shù)為()A．μ＝tanθ B．μ＝eq\f(1,tanθ)C．μ＝sinθ D．μ＝cosθ解析：設(shè)物塊與AB部分的動摩擦因數(shù)為μ，板轉(zhuǎn)動的角速度為ω，兩物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為L，由于物塊剛好不滑動，則對AB板上的物體有μmg＝mω2L，對BC板上的物體有mgtanθ＝mω2L，因此μ＝tanθ，A項正確。答案：A10.如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細繩AC和BC的結(jié)點C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承受的最大拉力均為2mg。當(dāng)AC和BC均拉直時∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1m。ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而C球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。當(dāng)小球的線速度增大時，兩繩均會被拉斷，則最先被拉斷的那根繩及另一根繩被拉斷時的速度分別為(g取10m/s2)()A．AC5m/s B．BC5m/sC．AC5.24m/s D．BC5.24m/s解析：據(jù)題意，小球轉(zhuǎn)動時向心力為FTBC＋FTACcos53°＝meq\f(v2,R)，此時設(shè)BC繩剛好被拉斷，則拉力為FTBC＝2mg，此時FTACsin53°＝mg，即FTAC＝eq\f(5,4)mg，說明BC繩先被拉斷；當(dāng)AC繩拉斷時，有FTAC′＝2mg，此時由于小球重力等于mg，則AC繩與水平方向的夾角等于30°，有FTAC′cos30°＝meq\f(v′2,R′)，此時小球轉(zhuǎn)動半徑為R′＝eq\f(BC,cos53°)cos30°＝eq\f(5\r(3),6)m，代入數(shù)值得v′＝5m/s，故選項B正確。答案：B11.如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點的高度為筒高的一半．內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊隨圓錐筒一起做勻速轉(zhuǎn)動，則下列說法正確的是()A．小物塊所受合外力指向O點B．當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度ω＝eq\f(\r(2gH),R)時，小物塊不受摩擦力作用C．當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度ω>eq\f(\r(2gH),R)時，小物塊受摩擦力沿AO方向D．當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度ω<eq\f(\r(2gH),R)時，小物塊受摩擦力沿AO方向【解析】勻速圓周運動物體所受合外力提供向心力，指向物體圓周運動軌跡的圓心，A項錯；當(dāng)小物塊在A點隨圓錐筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，小物塊在筒壁A點時受到重力和支持力的作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動的角速度為ω，有：mgtanθ＝mω2·eq\f(R,2)，由幾何關(guān)系得：tanθ＝eq\f(H,R)，聯(lián)立以上各式解得ω＝eq\f(\r(2gH),R)，B項正確；當(dāng)角速度變大時，小物塊所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供部分向心力，C項正確；當(dāng)角速度變小時，小物塊所需向心力減小，故摩擦力沿OA方向，抵消部分支持力的水平分力，D項錯．【答案】BC12．如圖所示，AC、BC兩繩系一質(zhì)量為m＝0.1kg的小球，AC繩長L＝2m，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，兩繩拉直時與豎直軸的夾角分別為30°和45°。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，若兩繩中始終有張力，小球的角速度可能是(g＝10m/s2)()A．2rad/s B．2.5rad/sC．3rad/s D．4rad/s[解析]當(dāng)BC繩剛好拉直時(BC繩中的張力為0)，此時小球的角速度最小，則有mgtan30°＝mωmin2Lsin30°，解得ωmin＝eq\r(\f(g,Lcos30°))，代入數(shù)據(jù)得ωmin≈2.4rad/s；當(dāng)角速度繼續(xù)增大時，AC繩中拉力減小，BC繩中張力增大，當(dāng)AC繩中拉力為0(AC繩剛好拉直)時，小球角速度最大，則有mgtan45°＝mωmax2Lsin30°，代入數(shù)據(jù)得ωmax≈3.16rad/s，綜上所述，B、C項正確。[答案]BC13.(2016·山東德州高三月考)一豎直桿上相距L的A、B兩點拴著一根不可伸長的輕繩，繩長1.4L，繩上套著一個光滑的小鐵環(huán)，設(shè)法轉(zhuǎn)動豎直桿，不讓繩纏繞在桿上，而讓鐵環(huán)在某水平面上做勻速圓周運動，如圖所示，當(dāng)兩段繩成直角時，求鐵環(huán)轉(zhuǎn)動的周期，已知重力加速度為g?！窘馕觥吭O(shè)某時刻鐵環(huán)所在的位置為O點，∠BAO＝θ，繩中拉力為F。由牛頓第二定律得：Fcosθ＝Fsinθ＋mg①Fcosθ＋Fsinθ＝ma②由圓周運動規(guī)律得：a＝(eq\f(2π,T))2r③由幾何關(guān)系得：r＝Lcosθsinθ④Lcosθ＋Lsinθ＝1.4L⑤由①得：cosθ＞sinθ⑥由⑤⑥解得：sinθ＝0.6，cosθ＝0.8⑦則由①②③④⑤⑦解得T＝eq\f(4π,5)eq\r(\f(3L,7g))【答案】eq\f(4π,5)eq\r(\f(3L,7g))14.【經(jīng)典題】如圖所示，細繩一端系著質(zhì)量為M＝0.6kg的物體，靜止在水平圓盤上．另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量為m＝0.3kg的物體．M的中點與圓孔的距離為0.2m，并已知M與圓盤的最大靜摩擦力為2N．現(xiàn)使此圓盤繞中心軸線轉(zhuǎn)動．問角速度ω在什么范圍內(nèi)可使m處于靜止?fàn)顟B(tài)？(取g＝10m/s2)【解析】物體M受到重力Mg，水平盤面的支持力N，繩子的拉力T和摩擦力f作用．設(shè)物體M和盤面保持相對靜止，當(dāng)ω具有最小值時，M有被拉向圓心的趨勢，故盤面對M的靜摩擦力的方向背離圓心向外，且等于最大靜摩擦力fm＝2N，根據(jù)牛頓第二定律，得對于m有：T＝mg對于M有：T－fm＝Mωeq\o\al(2,1)r所以ω1＝eq\r(T－fm/Mr)＝eq\r(mg－fm/Mr)＝eq\f(5\r(3),3)rad/s＝2.9rad/s當(dāng)ω具有最大值時．M有離開圓心O的運動趨勢，水平盤面對M的靜摩擦力方向指向圓心，且等于最大靜摩擦力fm＝2N，根據(jù)牛頓第二定律，得對于M有：T＋fm＝Mωeq\o\al(2,2)rω2＝eq\f(5\r(15),3)rad/s＝6.5rad/s故角速度的范圍是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s，物體M都能處在靜止?fàn)顟B(tài)．【答案】2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s15.(2015·安微合肥)如圖所示，在光滑的圓錐體頂端用長為l的繩懸掛一質(zhì)量為m的小球．圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30°.物體以速率v繞圓錐體軸線做水平勻速圓周運動．(1)當(dāng)v1＝eq\r(\f(gl,6))時，求繩對物體的拉力．(2)當(dāng)v2＝eq\r(\f(3gl,2))時，求繩對物體的拉力．【解析】如圖甲所示，物體在錐面上運動，但支持力FN＝0，小球只受重力mg和線的拉力FT作用，其合力F應(yīng)沿水平面指向軸線，由幾何關(guān)系，知F＝mgtan30°①又F＝meq\f(v\o\al(2,0),r)＝meq\f(v\o\al(2,0),lsin30°)②由①②兩式，解得v0＝eq\r(\f(\r(3)gl,6))(1)因為v1<v0，所以小球與錐面接觸并產(chǎn)生支持力FN，此時小球受力如圖乙所示．根據(jù)牛頓第二定律，有FTsin30°－FNcos30°＝eq\f(mv\o\al(2,1),lsin30°)③FTcos30°＋FNsin30°－mg＝0④由③④兩式，解得FT＝eq\f(1＋3\r(3)mg,6)≈1.03mg(2)因為v2>v0，所以小球與錐面脫離并不接觸，設(shè)此時線與豎直方向的夾角為α，小球受力如圖丙所示．則FTsinα＝eq\f(mv\o\al(2,2),lsinα)⑤FTcosα－mg＝0⑥由⑤⑥兩式，解得FT＝2mg【答案】(1)1.03mg(2)2mg16.如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，已知O點在斜面底邊的距離sOC＝L，求：(1)小球通過最高點A時的速度vA；(2)在最高點A和最低點B時細線上拉力之差；(3)小球運動到A點或B點時細線斷裂，小球滑落到斜面底邊時到C點的距離若相等，則l和L應(yīng)滿足什么關(guān)系？【解析】(1)小球恰好在斜面上做完整的圓周運動，有：mgsinθ＝meq\f(v\o\al(2,A),l)，vA＝eq\r(glsinθ)(2)在A點：FTA＋mgsinθ＝meq\f(v\o\al(2,A),l)在B點：FTB－mgsinθ＝meq\f(v\o\al(2,B),l)由機械能守恒eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋mg·2l·sinθ.所以FTB－FTA＝6mgsinθ(3)由(2)可求vB＝eq\r(5glsinθ)A點斷裂：L＋l＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,A)，sA＝vAtAB點斷裂：L－l＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,B)，sB＝vBtB由sA＝sB聯(lián)立可求得L＝eq\f(3,2)l.【答案】(1)eq\r(glsinθ)(2)6mgsinθ(3)L＝eq\f(3,2)l17.如圖所示，半徑為eq\f(l,4)、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點上，A、B兩點相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點到球心的距離均為l。當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動并達到穩(wěn)定時(輕繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi))。求：(1)豎直桿角速度ω為多大時，小球恰好離開豎直桿；(2)輕繩a的張力Fa與豎直桿轉(zhuǎn)動的角速度ω之間的關(guān)系。解析：(1)小球恰好離開豎直桿時，小球與豎直桿間的作用力為零，設(shè)此