高中北師大版數(shù)學(xué)選修2-1學(xué)案 第1章常用邏輯用語

第一章常用邏輯用語

本章知識(shí)要覽

?1內(nèi)容提要

本章主要講述常用邏輯的基本知識(shí)，包括命題、充分條件和必要

條件、全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”等一些

基礎(chǔ)知識(shí).

邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要全

面地理解概念，正確地表述概念和結(jié)論，進(jìn)行推理和論證都要使用邏

輯用語，這就離不開對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用.學(xué)習(xí)一些邏輯用語，

可以使我們正確理解數(shù)學(xué)概念，合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論，準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)

容.

本章的重點(diǎn)知識(shí)：充分條件與必要條件的判斷，全稱量詞和全稱

命題、存在量詞和特稱命題，含有量詞的命題的否定，邏輯聯(lián)結(jié)詞

“且”“或”“非”的應(yīng)用.

本章的難點(diǎn)知識(shí)：充分條件與必要條件的應(yīng)用，對(duì)一些代數(shù)命題

真假的判斷，含有量詞的命題的否定等.

本章的易錯(cuò)知識(shí)：復(fù)合命題的真假判斷，充分條件與必要條件的

判斷，否命題與命題的否定的關(guān)系.

?（學(xué)法建議

1.注意和初中及高中已學(xué)過的知識(shí)相銜接，形成良好的知識(shí)體

系，在此基礎(chǔ)上再根據(jù)本章知識(shí)特點(diǎn)，較快地吸收新的知識(shí)，形成新

的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.反復(fù)推敲思考本章各知識(shí)點(diǎn)的含義和各種表示方法，對(duì)容易

混淆的知識(shí)點(diǎn)仔細(xì)辨識(shí)、區(qū)別，達(dá)到熟練掌握，逐步建立和邏輯知識(shí)

結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的理論體系和思考方法.

3.通過本章的學(xué)習(xí)，要努力培養(yǎng)自己的觀察、比較、抽象、概

括能力，提高準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的意識(shí)和能力，培養(yǎng)科學(xué)

的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

§1命題

學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)雎點(diǎn)-

I.能把命題改寫成“若p,則q'的彩式.重點(diǎn)：會(huì)寫四種命題并會(huì)判斷命題的真假，以及四種命

2.會(huì)判斷命題的真假.題之間的相互關(guān)系.

3.能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命翹的逆命題、否命題及逆否命題.難點(diǎn)：分清命題的條件和結(jié)論，寫出原命題的逆命題、

4.能用四種命題之間的相互關(guān)系判斷四種命題的否命題、逆否命題.利用四種命題之間的關(guān)系判斷命題的

真假.真假.

皿預(yù)?篇YUXIPIAN------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------新知導(dǎo)學(xué)

?I細(xì)讀課本

知識(shí)點(diǎn)一命題的概念

［填一填］

(1)可以判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句叫作命題.

(2)命題“2￡N”，“巾GN”可以判斷真假，命題“2GN”是

正確的，是真的，叫作真命題.命題“乓N”是錯(cuò)誤的，是假的，

叫作假命題.

(3)通常把命題表示為“若p,則q”的形式，其中p是條件,q

是結(jié)論.

［答一答］

1.是不是所有語句都能判斷真假？所有命題都可改寫成“若p,

則/'的形式？

提示：不是.如兀是無理數(shù)嗎？(未涉及真假)；%>1(不能判斷真

假），所以并不是所有語句都能判斷真假.所有命題都可改寫成“若P,

則q”的形式，真命題是p成立，則q一定成立，而假命題是p和q

相矛盾，或p成立，而q不一定成立.

2.如何說明一個(gè)命題是假命題？

提示：明顯違背定理、定義、概念或事實(shí)的命題是假命題，或者

能夠舉出符合命題的條件p,而不符合命題的結(jié)論q的特殊例子（反例）

的，也是假命題.

知識(shí)點(diǎn)二四種命題

［填一填］

⑴如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條

性，這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆命題，其中一個(gè)命題叫作原命題，另

一個(gè)命題就叫作原命題的逆命題.

⑵如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定

和結(jié)論的否定,這樣的兩個(gè)命題叫作互為否命題，其中一個(gè)命題叫作

原命題，另一個(gè)命題就叫作原命題的否命題.

⑶如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定

和條件的否定,這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題，其中一個(gè)命題叫

作原命題，另一個(gè)命題叫作原命題的逆否命題.

（4）四種命題間的相互關(guān)系如圖所示

［答一答］

互為逆命題的兩個(gè)命題的真假情況，互為否命題的兩個(gè)命題的真

假情況，以及互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假情況是否一致？

提ZF：四種命題：

原命逆命否命逆否命

題題題題

真真真真

真假假真

假假假假

假真真假

因此：兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題

互逆或互否，它們的真假性沒有關(guān)系.

?(特別關(guān)注

1.“用文字或符號(hào)表述的語句”的含義是：用文字語言敘述、

數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)關(guān)系式(如方程、不等式、函數(shù)關(guān)系式)等

表述的語句.如“若f+y2=0(%￡R,y￡R),則％=(),y=0"

就是一命題.

2.如：X2—i=o,%>2,上述語句中含有變量了,在沒有給定變

量的值之前，是無法確定其真假的.像這種含有變量的語句，叫開語

句.開語句不是命題.

3.要判斷一個(gè)語句是不是命題，還要看它是否符合“可以判斷

真假”這個(gè)條件.

例如，a：“12>5”；b：“3是12的約數(shù)”；C：“0.5是整數(shù)”都

是命題，其中人是真的，叫作真命題；c是假的，叫作假命題.

又如，d：”這是一棵大樹”；e：由于“大樹”沒有界

定，就不能判斷”這是一棵大樹”的真假；由于％是未知數(shù)，也不能

判斷一<2”是否成立.故d,e都不是命題.

4.數(shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若p則/'的形式，但

是把它的表述作適當(dāng)改變，也可以寫成“若p,則/'的形式.

5.在把命題改寫成“若p,則/的形式時(shí)，應(yīng)分清命題的條件

和結(jié)論分別是什么，然后將條件寫在前，結(jié)論寫在后即可.注意命題

形式的改變并不改變命題的真假.

6.將含有大前提的命題改寫成“若p,則q”的形式時(shí)，大前提

仍要作為大前提，不能寫在條件中.

7.學(xué)習(xí)四種命題時(shí)，原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆

命題等價(jià)，兩個(gè)等價(jià)命題具有相同的真假性.

8.在同一個(gè)命題的四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)要么是0個(gè)，要

么是2個(gè)，要么是4個(gè).

9.四種命題之間的關(guān)系，還提供了一個(gè)判斷命題真假的方法，

由于互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)命題，它們同真假，所以當(dāng)一個(gè)

命題不易判斷真假時(shí)，可以通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題

的真假.

陶課堂篇KETANGPIAN-----------------------合作探究

類型一命題的概念與命題真假的判斷

【例1】判斷下列語句哪些是命題.若是命題，則判斷其真假.

⑴地球是太陽系的一顆行星.

⑵09N.

(3)空集是任何非空集合的子集.

(4)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

(5)求|%+仇

(6)若整數(shù)。是素?cái)?shù)，則。是奇數(shù).

(7)求證：表為無理數(shù).

【思路探究】(4)(5)(7)不是陳述句，故一定不是命題；其他都

是陳述句，且都能判斷其真假，故都是命題.

【解】（1）是命題，且為真命題.（2）是命題，且為假命題.（3）

是命題，且為真命題.（4）是疑問句，不是命題.（5）是祈使句，不是

命題.（6）是命題，且為假命題.（7）是祈使句，不是命題.

規(guī)律方法根據(jù)命題的定義，判斷一個(gè)語句是否為命題，一要看

其是否為陳述句，二要看其是否能判斷真假，兩者缺一不可.

（1）“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思.”

這是唐代詩人王維的詩《相思》，在這四句詩中，可以作為命題的是

A.紅豆生南國B.春來發(fā)幾枝

C.愿君多采擷D.此物最相思

（2）已知下列三個(gè)命題：

①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的右則其體積縮小到原來的1

Zo

②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；

③直線x+y+l=O與圓f+y2=；相切.

其中真命題的序號(hào)為（C）

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

解析：（1）“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實(shí)，

所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多

采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能判斷真假，不是

命題，故選A.

（2）對(duì)于命題①，設(shè)球的半徑為R,則方倒3=懸7r尺3,故體積縮

小到原來的I,命題正確;

O

對(duì)于命題②，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不一定

相同，例如數(shù)據(jù)：1,3,5和3,3,3的平均數(shù)相同，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，命題

不正確；

對(duì)于命題③，圓*+y2=；的圓心(0,0)到直線％+曠+1=0的距離

J__啦

d=誼=2,等于圓的半徑所以直線與圓相切命題正確.

類型二四種命題的關(guān)系

【例2】分別寫出下列命題的逆命題、否命題及逆否命題，并

判斷這四個(gè)命題的真假.

(1)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個(gè)整數(shù)能被5整除；

(2)若k>0,則方程f+(2Z：+l)%+F=0必有兩個(gè)相異實(shí)根；

(3)四條邊相等的四邊形是菱形.

找出原命題的依據(jù)定義寫出麗

【思路探究】條件和結(jié)論f另外三種命題|真假|(zhì)

【解】(1)逆命題：若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則這個(gè)整數(shù)的末

位數(shù)字是0;

否命題：若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字不是0,則這個(gè)整數(shù)不能被5整

除；

逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被5整除，則這個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字不

是0.

逆命題和否命題是假命題，原命題和逆否命題是真命題.

(2)逆命題：若方程/+(2%+1)*+公=。有兩個(gè)相異實(shí)根，則2>o.

否命題：若女W0,則方程%2+(2%+1k+必=0沒有兩個(gè)相異實(shí)

根.

逆否命題：若方程%2+(22+1)%+斤=。沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則

攵W0.

原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題.

(3)原命題可以改寫成：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是菱

形.

逆命題：若一個(gè)四邊形是菱形，則它的四條邊相等；

否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不全相等，則它不是菱形；

逆否命題：若一個(gè)四邊形不是菱形，則它的四條邊不全相等.

原命題和逆否命題是假命題，逆命題和否命題是真命題.

規(guī)律方法根據(jù)原命題寫出其他命題的方法：

要寫出一個(gè)“若P，則”形式的命題的逆命題、否命題、逆否

命題，只需要根據(jù)定義把命題的條件和結(jié)論進(jìn)行交換即可得逆命題，

把條件和結(jié)論同時(shí)否定即可得否命題，把條件和結(jié)論互換后同時(shí)否定

即可得逆否命題.寫其他命題時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)對(duì)于不是“若P，則形式的命題，要寫出其他三種命題，

應(yīng)先把命題改寫成“若p,則的形式，以分清原命題的條件和結(jié)

論.

(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí)，寫其他三種命題時(shí)必須保留大前提,

也就是大前提始終不動(dòng).

(3)對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時(shí)，應(yīng)

把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提.

分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.

(1)若/+>2=0,則％,y全為零；

(2)已知a,b,c為實(shí)數(shù)，若〃=『則ac="c.

解：(1)逆命題：若％,y全為零，則d+y2=0,真命題.

否命題：若則％,)不全為零，真命題.

逆否命題：若％,y不全為零，則f+Jwo,真命題.

(2)逆命題：已知a,b,c為實(shí)數(shù)，若ac=bc,則a=。，假命題.

否命題：已知a,b,c為實(shí)數(shù)，若a乎b,則acWOc,假命題.

逆否命題：已知a,b,c為實(shí)數(shù)，若acWbc,則aW。，真命題.

類型三逆否命題的應(yīng)用

【例3]判斷命題”已知a,%為實(shí)數(shù)，若關(guān)于%的不等式*

+(2a+l)%+a2+2W0的解集非空，則。21”的逆否命題的真假.

【思路探究】本題可直接寫出其逆否命題并判斷其真假，也可

直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假.

【解】解法1:其逆否命題為：已知a,%為實(shí)數(shù)，如果a<l,

則關(guān)于％的不等式%2+(2a+l)%+/+2W0的解集為空集.判斷如下：

拋物線y=%2+Qa+1)%+/+2的開口向上，判別式/=(2。+1尸

—4(/+2)=4。-7.

因?yàn)閍<l,所以4。一7<0,即/<0.

所以拋物線y=f+(2a+1)%+/+2與％軸無交點(diǎn)，所以關(guān)于工

的不等式％2+(2a+l)%+a2+2W0的解集為空集，故逆否命題為真命

題.

解法2:先判斷原命題的真假.

因?yàn)閍,x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式f+(2a+l)x+a2+2W0

7

的解集非空，所以』=(24+1)2—4(/+2)10,即4。-720,解得“與不

7

因?yàn)?>1,所以

所以原命題為真命題.

又因?yàn)樵}與其逆否命題真假相同，所以逆否命題為真命題.

規(guī)律方法由于互為逆否命題的兩個(gè)命題有相同的真假性，當(dāng)一

個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)一，可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判

斷該命題的真假.

判斷命題”若。>0,貝ljd+x_a=o有實(shí)根”的逆否命題的真假.

解：解法1:原命題：若a>0,則％2+%—。=0有實(shí)根.

逆否命題：若f+x—a=O無實(shí)根，

貝IaWO.

V?+x-4z=0無實(shí)根，

1

-

即<

/.J=l+4ti<0,Q4

，“若％2+'一0=0無實(shí)根，

則aWO”為真命題.

解法2:'：a>0,

方程x1+x—a=0的根的判別式/=1+4?！?,

...方程%2+%—。=0有實(shí)根，

原命題“若Q>0,則％2+%一“=0有實(shí)根”為真命題.

?.?原命題與其逆否命題等價(jià)，

“若a>0,則f+%—a=。有實(shí)根”的逆否命題為真命題.

類型四由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍

【例4】已知p：5%—l>a,q：%>1,試確定實(shí)數(shù)。的取值范圍,

使得：（1）“若〃，則/為真命題；（2）“若q,則p”為真命題.

,田攸行大"R一|解不等式確定

［心路探九］|由p,q建乂不寸式a的取值范圍

【解】（1）“若〃，則”即“若％〉手，則%>1"，由命題為

真命題可知卓工21,解得a24.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［4,+?□）.

（2）“若q,則p”即“若%>1,則%〉手”，由命題為真命題可

知解得aW4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（一8,4］.

規(guī)律方法已知命題的真假求參數(shù)的解題思路：

利用命題的真假求參數(shù)取值范圍的題目常與不等式相結(jié)合.

(1)命題“若p，則q”為真命題，即由p可以推出q,根據(jù)題意

建立相應(yīng)的不等式或方程求解.若命題是假命題，則命題的“對(duì)立

面”就是真命題，命題與其“對(duì)立面”的關(guān)系是“交集為空集，并集

為全集”.

(2)涉及兩個(gè)命題的題目往往是先假設(shè)命題甲和乙都是真命題，

求出參數(shù)的取值范圍.若為假命題，則參數(shù)的取值范圍就是設(shè)之為真

命題時(shí)的補(bǔ)集.若題中命題甲、乙一真一假，則需分類討論：甲真乙

假、甲假乙真，分別求出參數(shù)的取值范圍，最后取并集.

已知命題：若d+3%+2<0,則一2<x<//z.若其逆命題是真命題，

求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

解：逆命題：若一2vxvm,則x2+3x+2v0.解不等式x2+3x+

2<0,得一2<x<—1,所以一2vmW—1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(一2,—1].

西提高篇TIGAOPIAN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------自我超越

——數(shù)學(xué)思想——

分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

“命題一真一假”是?？碱}型，應(yīng)引起重視，其解決方法是分兩

種情況討論：一種是〃真且g假，另一種是p假且q真.然后求兩部

分的并集.

【例5】設(shè)有兩個(gè)命題p：|%|+|%+1]與機(jī)的解集為R,q：函數(shù)

_/(%)=—(7—3m),是減函數(shù)，若這兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)為真命題,

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【思路分析】先把命題p和命題9的根的范圍解出來.再分

情況討論.

【解】若命題〃為真，則可得mW1;若命題q為真，則7—

3加>1,即/n<2.

?.?命題〃和q中有且只有一個(gè)為真命題有兩種情況：

①〃真，q假;②p假,q真.

/nWl,[in>\,

由①得彳:.加￡0,由②得彳

m^2,[m<2,

l<m<2.

故的取值范圍為｛m\l<m<2｝.

P：對(duì)任意實(shí)數(shù)%都有0^+辦+1〉0恒成立；Q:關(guān)于X的方程

X+Q=O有實(shí)數(shù)根，如果產(chǎn)與。中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)

數(shù)Q的取值范圍.

a>0,a>0,

解：尸真：4=0時(shí)顯然成立；aWO時(shí)，\即12,八今

zl<0,[a~—4a<0

0<6/<4,所以0WQ<4;。真：心0,即1一4心0,即忘".因?yàn)镻與

Q中有且僅有一個(gè)為真命題，因此P真。假或。假。真，當(dāng)P真。

假時(shí)，:<。<4;當(dāng)P假。真時(shí)：a<0.所以a的取值范圍是｛a|a<0或;

<a<4}.

鞏固篇GONGGUPIAN當(dāng)堂演練

1.下列語句不是命題的有(C)

①f-3=0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？

③3+1=5；④5%—3>6.

A.①③④B.①②③

C.①②④D.②③④

解析：命題是能夠判斷真假的語句.①②④不能判斷真假，故①

②④不是命題.

2.有下列四個(gè)命題，其中真命題是（C）

①“若孫=1,則小y互為倒數(shù)”的逆命題；

②“面積相等的三角形全等”的否命題；

③“若mW1,則方程％2—2%+m=0有實(shí)根”的逆否命題；

④“若MGP=P,則的逆否命題.

A.①②B.②③

C.①②③D.③④

解析：若wnp=p,則pew,故原命題為假命題，則其逆否命

題也為假命題，其他三個(gè)命題為真命題.

3.給出四個(gè)命題：

①若%2—3%+2=0,則％=1或%=2；②若一2W%<3,則（%+2）（%

—3）^0；③若％=y=0,貝!Jf+y：。；④若%,曠金/卜，％+）是奇數(shù)，

則x,y中一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，那么（A）

A.①的逆命題為真B.②的否命題為真

C.③的逆否命題為假D.④的逆命題為假

解析：①的逆命題為“若％=1或x=2,則幺-3%+2=0”其為

真命題，故①的逆命題為真.

4.“/十/力0”的含義為（A）

A.a,b不全為0

B.a,。全不為0

C.a,。至少有一個(gè)為0

D.。不為0且。為0,或。不為0且a為。

解析：“若?2+/?V0,則a,h至少有一個(gè)不為0"，即a,b

不全為0.

5.判斷下列命題的真假：

(1)已知a,b,c,d￡R,若aWc,且。Wd,則a+OWc+d；

(2)對(duì)任意％￡N,丁>￥；

(3)若加>1,則方程2x+/n=0無實(shí)數(shù)根；

(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓.

解：(1)假命題.舉例如a=l,b=2,c=3,d=0.而aWc,b豐d,

貝||a~\~h=c~\~d.

(2)假命題.當(dāng)％=0時(shí)，?=?,故對(duì)任意x￡N,為假命題.

(3)真命題.方程2%+機(jī)=0無實(shí)數(shù)根，則/=(—2)2—4m<0,

解得m>l.

(4)假命題.任何三角形均有外接圓，故為假命題.

§2充分條件與必要條件

--------學(xué)習(xí)目標(biāo)-------------------------重點(diǎn)睚點(diǎn)-------------

i.能正碉地理解充分條件、必要條件、充要條件.

支點(diǎn)：充分條件、必要條件的概念.

2.能根據(jù)命題的真假判斷充分條件、必要條件.

難點(diǎn)：判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件.

3.會(huì)分析一個(gè)命題的充要條件，并給予證明.

預(yù)/篇YUXIPIAN新知導(dǎo)學(xué)

u細(xì)讀課本

知識(shí)點(diǎn)一充分條件的定義

［填一填］

“若P，則，’形式的命題為真命題是指：由條件〃可以得到結(jié)

論0,通常記作：鼻，讀作"P推出,此時(shí)我們稱P是9的充

分條件.

［答一答］

1.判定定理中的條件是結(jié)論的充分條件你是怎樣理解的？

提示：只要有條件p,就一定有結(jié)論q,即〃對(duì)于＜7是充分的，

也就是說，為了得到結(jié)論，具備條件p就足夠了，可表示為p0q.

2.p是＜7的充分條件和p的充分條件是q是一回事嗎？

提示：不是.p是鄉(xiāng)的充分條件是指p是條件，q是結(jié)論.即p

0q，,

〃的充分條件是i7是指q是條件，〃是結(jié)論，即q=p.

知識(shí)點(diǎn)二必要條件的定義

［填一填］

如果“若p,則，'形式的命題為真命題，即一，稱，是q的

充分條件,同時(shí)，我們稱。是.〃的必要條件.

［答一答］

對(duì)〃是9的充分條件和q是p的必要條件你是怎樣理解的？

提示：p是9的充分條件和q是p的必要條件都可得出“若p,

則是真命題，即p今/對(duì)同一個(gè)真命題，條件是結(jié)論的充分條件，

而結(jié)論是條件的必要條件.

知識(shí)點(diǎn)三充要條件的定義

［填一填］

(1)如果“若p,貝I」/'形式的命題為真命題,即包，同時(shí)“若

q,貝Up”也為真命題,即q=D，由于必所以「是。的充分條件;

由于q=p，所以。是〃的必要條件,在這種情況下，我們稱p是9

的充分必要條件,簡稱充要條件.

(2)我們常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)充要條件是夕的充要條件也

可以說成：。成立當(dāng)且僅當(dāng)〃成立.如果p,9分別表示兩個(gè)命題，

且它們互為充要條件，我們通常稱命題p和命題q是兩個(gè)相互等價(jià)的

命題.

［答一答］

如果p是q的充要條件，則命題“若p，則q”和它的逆命題的

真假性如何？

提示：因〃是q的充分條件，則命題“若p,則是真命題，〃

是q的必要條件，則“若小則〃”是真命題，即命題“若p,則q”

的逆命題也是真命題.

■特別關(guān)注

1.關(guān)于充分條件的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)處理充分條件的問題時(shí)，首先要分清條件和結(jié)論，然后才能

進(jìn)行推理和判斷.

(2)對(duì)于“若p,則/形式的命題，若命題為真，則〃是9的充

分條件；若命題為假，則〃不是q的充分條件.

2.關(guān)于必要條件的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)對(duì)于“若P，則q”形式的命題，若命題為真，則鄉(xiāng)是p的必

要條件；若命題為假，則9不是p的必要條件.即充分條件、必要條

件主要是與判斷''若P，則形式的命題的真假相關(guān)的，在理解這

些概念時(shí)要注意結(jié)合具體的實(shí)例，這樣有利于培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際、分

析問題、解決問題的能力.

(2)在判斷條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系時(shí)：

①分清條件是什么，結(jié)論是什么.

②嘗試用條件推結(jié)論，再嘗試用結(jié)論推條件.推理方法可以是直

接證法、間接證法(即反證法)，也可以舉反例說明其不成立.

③指出條件是結(jié)論的什么條件.

3.對(duì)于充要條件的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)一般地，關(guān)于充要條件的判斷主要有以下幾種方法：

①定義法：直接利用充要條件的定義判斷.

②等價(jià)法：“p=q”表示〃等價(jià)于q,等價(jià)命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，

當(dāng)我們要證明一個(gè)命題成立時(shí)，就可以去證明它的等價(jià)命題成立.

③利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件〃和結(jié)論q都是集

合，那么，若pNq,則〃是q的充分條件；若q』,則〃是q的必

要條件；若〃=q,則p是q的充要條件.

(2)從集合的觀點(diǎn)看，充分不必要條件、必要不充分條件、充要

條件、既不充分也不必要條件的區(qū)別是：首先建立與p,q相應(yīng)的集

喧^課堂篇KETANGPIAN合作探究

類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定

[例1]下列各題中，〃是4的什么條件?

(l)p：a,h,c成等比數(shù)列，<7：b=yjac；

(2)p：y+x>4,q：x>l,y>3；

(3)p：a>b,q；2a>2b；

(4)p：△ABC是直角三角形，q：ZkABC為等腰三角形.

【思路探究】可先看p成立時(shí)，g是否成立，再反過來若g成

立時(shí)，〃是否成立，從而判定p,q間的關(guān)系.

【解】(1)若。，h,c成等比數(shù)列，則/=ac,h=±\[ac,貝I〃

若力=^^,當(dāng)a=0,6=0時(shí)，a,h,c不成等比數(shù)列，即q"

p,故〃是g的既不充分也不必要條件.

(2)y+%>4不能得出x>l,y>3,即p=>q,而％>1,y>3可得％+y>4,

即gOp,故p是9的必要不充分條件.

⑶當(dāng)時(shí)，有2">2〃，即p=q,當(dāng)2">2〃時(shí)，可得a>b,即q

=>p,故p是q的充要條件.

(4)解法1:若△ABC是直角三角形不能得出△A3C為等腰三角

形，即〃=/若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角

形，即4=>p,故〃是q的既不充分也不必要條件.

解法2:如圖所示：p,夕對(duì)應(yīng)集合間無包含關(guān)系，故p是9的既

不充分也不必要條件.

規(guī)律方法充分必要條件判斷的常用方法:

(1)定義法:分清條件和結(jié)論，利用定義判斷.

(2)等價(jià)法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷

(3)集合法:

設(shè)A={xIp(x)},B={xIq(%)設(shè)若％具有性質(zhì)p,則

%e4;若%具有性質(zhì)夕，則％GB.

①若A號(hào)3,則P是q的充分不必要條件；

②若5呈4,則P是q的必要不充分條件；

③若4:5,則p是q的充要條件；

④若428且8幺4,則P是q的既不充分又不必要條件.

(1)已知a,h,c是實(shí)數(shù),則“a,h,c成等比數(shù)列"是

的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)設(shè)p：x<3,<7：—?jiǎng)tp是q成立的(C)

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：(1)若a,b,c成等比數(shù)列，則h2=ac成立；若a=b=c

=0,滿足/二時(shí)，但a,b,c不能成等比數(shù)列，故"a,b,c成等比

數(shù)列”是“廿=M”的充分不必要條件.

(2)因?yàn)?-1,3)(—8,3),所以p是夕成立的必要不充分條件.

類型二充要條件的證明

【例2】證明：一次函數(shù)人力=丘+。(女"0)是奇函數(shù)的充要條

件是b=0.

【思路探究】在證明充要條件的問題時(shí)，我們一般都要從充分

性和必要性兩個(gè)方面證明，證明充分性就是證明“p=q"，證明必要

性就是證明飛今p”.

【證明】(1)充分性：如果。=0,那么式工)="(270)..."(一%)

=k(~x)=~kx,.\/(%)是奇函數(shù).

(2)必要性：?.?{%)=丘+僅%#0)是奇函數(shù)，.?._/(一%)=-7(%)對(duì)任

意％均成立，即網(wǎng)一%)+b=—(日+份，

：.b=0.

綜上可知，一次函數(shù)八%)=丘+仇ZW0)是奇函數(shù)的充要條件是b

=0.

規(guī)律方法充要條件一定要從充分性和必要性兩個(gè)方面加以證

明，缺一不可.即證明“條件”=“結(jié)論”和“結(jié)論”臺(tái)“條件”.證

明過程中兩個(gè)方面又是相互獨(dú)立的.

求證：關(guān)于x的方程ax2+hx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是

a+b+c=0.

證明：先證必要性：

二,方程公之+陵十仁二。有一個(gè)根為1,

.,.x=1滿足方程ox2+b%+c=0.

.,.flXl2+/7Xl+c=O,

即a+b+c=0..?.必要性成立.

再證充分性：

Vtz+Z?+(?=0,

c=-a—b.代入方程以2+法+，=0中可得：ax-\-bx~a~b=

0,即(x—l)(ax+h+q)=0.

故方程ox2+b%+c=0有一個(gè)根為1.

故關(guān)于％的方程ax2+^+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a~\~b

+c=0.

類型三利用充分性、必要性確定參數(shù)的范圍

3—1YI3+/71

[例3]已知p：關(guān)于％的不等式六一<%<=,q：%(%—3)<0,

若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【思路探究】求出q對(duì)應(yīng)的集合，然后把問題轉(zhuǎn)化為集合間的

包含關(guān)系求解.

.、3一加3+772

【角牛】記A={x\--2―卜

B={尤|%(%—3)<0}={x|0<%<3},

若〃是<7的充分不必要條件，則4B.

注意到8={%|0<%<3}/0,分兩種情況討論：

__3—機(jī)、3+m

(1)若4=0,即一^-三―^一，

解得根W0,此時(shí)AB,符合題意；

3-m3+"2

(2)若A/。，即一y<-^-,解得加>0,要使AB,

應(yīng)有j3+能解得0<"z<3.

2<3,

<m>0,

綜上可得，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一8,3).

規(guī)律方法將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，是解決該

類問題的一種有效的方法，關(guān)鍵是準(zhǔn)確把p、q用集合表示，借助數(shù)

軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法建立方程或不等式，求參數(shù)的范圍.

是否存在實(shí)數(shù)p,使“4%+p<0"是"J—X一2〉0”的充分條件?

如果存在，求出P的取值范圍.

解：存在.解不等式f—%—2>0,得％>2或x<—1.

由4x+p<0,得了<一￡

若當(dāng)％<一(時(shí)，x>2或％<—1成立，則有一—1,即p24.

所以當(dāng)p24時(shí)，一—1今%<—1

=%2-x—2>0,

所以當(dāng)“24時(shí)，"4x+p<0”是%—2>0”的充分條件.

窿卜提高篇TIGAOPIAN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------自我超越

——數(shù)學(xué)思想——

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果是充要

條件的關(guān)系，因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化保證了轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍是原問題所需要

的結(jié)果.一般地，除了部分證明題以外，多數(shù)問題如解方程、解不等

式、代數(shù)式的運(yùn)算與變形等都是等價(jià)轉(zhuǎn)化.

(2)化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

①熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)

用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和表達(dá)形式來解決.

②簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對(duì)簡單問題的

解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

③直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解

決.

④正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反

面，設(shè)法從反面去探求，使問題獲解.

【例4】求0?+2%+1=03。0)至少有一負(fù)根的充要條件.

【思路分析】至少有一負(fù)根等價(jià)于方程有一正根和一負(fù)根和方

程有兩負(fù)根.

【解】若方程有一正根和一負(fù)根，等價(jià)于

1/=4—4Q20,

<1=>a<0.

Z=4—4心0,

_2<0

若方程有兩負(fù)根，等價(jià)于1。=0<QW1.

->o

綜上可知，原方程至少有一負(fù)根的必要條件是a<Q或0<QW1.

由以上推理的可逆性知：當(dāng)Q<0時(shí)方程有異號(hào)兩根；

當(dāng)0<aWl時(shí)，方程有兩負(fù)根.

故a<0或0<aW1是方程OX2+2A：+1=0至少有一負(fù)根的充要條

件.

所以Q*+2X+1=0(aN0)至少有一負(fù)根的充要條件是a<0或

0<“W1.

?4

已知(%+1)(2—%)20的解為條件p,關(guān)于x的不等式爐+如一

2_

—3加一1<0(加>—])的解為條件q.若p是q的充分不必要條件，求實(shí)

數(shù)，”的取值范圍.

解：設(shè)條件p的解集為集合A,則A={%|一1W%W2},

設(shè)條件q的解集為集合3,則

B={JC|—2m—l<x<m+1},

若〃是q的充分不必要條件，則A是8的真子集，

"團(tuán)+1>2,

—2m解得機(jī)

故有，—1<—1,>1.

2

m>一,

*吸?鞏固篇GONGGUPIAN-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------當(dāng)堂演練

1.設(shè)a,?為向量,則“|。仍|=|⑷步|"是％〃〃'的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：a'b=\a\-\b\cos(a,b),由|a?例=|a||加可得cos〈a,b)=±1,

從而〈a,b)=0或兀，所以a,b方向相同或相反，可得a〃b.反過

來,若a〃瓦也一定能得到依例=同步|.

2.設(shè)集合A,B,則AC3是成立的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

角翠析：由AG8,得AA3=A;反過來，由4G3=A,且(AGB)

包3,得AC8.因此，AN3是AG3=A成立的充要條件.

3.設(shè)點(diǎn)P(x,y),則“％=2且y=-l”是“點(diǎn)P在直線/：%+y

-1=0上”的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查點(diǎn)與直線位置關(guān)系，充要條件.當(dāng)％=2,y=-l

時(shí)，有2—1-1=0成立，此時(shí)P(2,—1)在直線上，而點(diǎn)、P(x,y)在

直線并不確定有“x=2且丁=一1”.

4.“a=l”是“函數(shù)外)=|%—a|在區(qū)間［2,+8)上為增函數(shù)”

的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

—x+a,x<a,

解析：由題意知，函數(shù)、函數(shù)/(%)在［a,+

x-a,x^a,

8)上單調(diào)遞增.當(dāng)Q=1時(shí)，函數(shù)/(X)在［1,+8)上是增函數(shù)，當(dāng)然

在［2,+8)上為增函數(shù)，反之不成立，故選A.

x-1

5.已知命題p：8|W2,q：~j==>0,r：3辦+2。2<0(。>0).若

W+l

命題r是命題p的必要不充分條件，且r是q的充分不必要條件，試

求a的取值范圍.

解析：命題p:6W%W10;命題q:x>l;命題廣a<r<2”.若記以

上3個(gè)命題中％的取值構(gòu)成的集合分別為A,B,C,由于r是p的必

要不充分條件，廠是q的充分不必要條件，所以有ACB,結(jié)合數(shù)

軸應(yīng)有彳、即a的取值范圍是5WtzW6.

［2心10,

§3全稱量詞與存在量詞

學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)雎點(diǎn)

1.通過豐富的具體實(shí)例熟悉常見的全稱量訶和存在量訶的含義.

重點(diǎn)：仝林量詞和存在量詞的含義.

2.會(huì)根據(jù)定義判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題.

難點(diǎn)：全稱命題與特稱命題的否定.

3.能夠?qū)懗鋈Q命題和特稱命題的否定形式.

m預(yù)旦篇YUXIPIAN新知導(dǎo)學(xué)

“細(xì)讀課本

知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞與全稱命題的定義

［填一填］

(1)在命題的條件中，“所宜”“每一個(gè)”“任何”“任意一

條”“二切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義,這樣的

詞叫作全稱量詞，像這樣含有全稱量詞的命題叫作全稱命題.

(2)在某些全稱命題中，有時(shí)全稱量詞可以省略.

［答一答］

將下列不含全稱量詞的全稱命題改寫成含有全稱量詞的命題.

(1)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；

(2)平行線不相交；

(3)對(duì)頂角相等.

提示：(1)任意不共線的三點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面.

(2)任意兩條平行線都不相交.

(3)每一組對(duì)頂角都相等.

知識(shí)點(diǎn)二存在量詞與特稱命題的定義

［填一填］

在命題中，“有些”“至少有一個(gè)”“有一個(gè)”“存在”等都有

表示個(gè)別或一部分的含義,這樣的詞叫作存在量詞，像這樣含有存在

量詞的命題，叫作特稱命題.

［答一答］

下列各命題中含有的量詞分別是什么？

(1)任意實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)；

(2)0乘以任何數(shù)都等于0；

(3)任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；

(4)AAfiC的內(nèi)角中有小于60。的角.

提示：⑴任意(2)任何(3)任何(4)有

知識(shí)點(diǎn)三全稱命題、特稱命題的否定形式

［填一填］

(1)要說明一個(gè)全稱命題是錯(cuò)誤的，只需找出一個(gè)反例就可以

了.實(shí)際上是要說明這個(gè)全稱命題的否定是正確的.全稱命題的否定

是特稱命題.

(2)要說明一個(gè)特稱命題“存在一些對(duì)象滿足某一性質(zhì)”是錯(cuò)誤

的，就要說明所有的對(duì)象都不滿足這一性質(zhì).實(shí)際上是要說明這個(gè)特

稱命題的否定是正確的.特稱命題的否定是全稱命題.

［答一答］

1.命題的否定和否命題的區(qū)別與聯(lián)系.

提示：命題的否定是只否定命題的結(jié)論，而否命題是條件和結(jié)論

同時(shí)否定，原命題和命題的否定必須一真一假，原命題和否命題沒有

固定的真假關(guān)系.

2.如何寫出含有量詞的命題的否定，原先的命題與它的否定在

形式上有何變化？

提示：寫含有量詞的否定，不只是否定命題的結(jié)論，還要把全稱

量詞改為存在量詞或把存在量詞改為全稱量詞.

?(特別關(guān)注

1.關(guān)于全稱量詞和全稱命題的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)全稱量詞往往有一定的限制范圍，該范圍直接影響著全稱命

題的真假.若對(duì)于給定范圍內(nèi)的一切值，全稱命題成立，則全

稱命題為真命題.若能舉出反例，則為假命題.

(2)有的命題省去全稱量詞，仍是全稱命題.如“有理數(shù)都是實(shí)

數(shù)”就省去了全稱量詞“所有”.因此，要判定一個(gè)命題是否是全稱

命題，除看它是否含有全稱量詞外，還要結(jié)合具體意義.

(3)在全稱命題中，可以包括多個(gè)變量.如：對(duì)任意a,3

+份(/—"+。2)=/+。3.全稱命題為真，意味著對(duì)限定集合中的每一

個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，使所給語句為真.當(dāng)然，當(dāng)。=3,8=5時(shí)一,

上式自然是正確的.

2.特稱命題的真假判定：

要判定一個(gè)特稱命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)

元素，使特稱命題成立即可；否則，這一特稱命題為假.

3.常見量詞的否定形式:

關(guān)鍵詞是一定是都是大于小于且

小于或大于或

否定詞不是不一定是不都是或

等于等于

對(duì)所有X對(duì)所有%

關(guān)鍵詞必有一個(gè)至少有〃個(gè)至多有一個(gè)

成立不成立

存在一個(gè)X存在一個(gè)X

一個(gè)至多有至少有

否定詞使該命題不使該命題

也沒有〃一1個(gè)兩個(gè)

成立成立

課堂篇KETANGPIAN--------------------------合作探究

類型一全稱命題、特稱命題的判斷

【例1】判斷下列命題哪些是全稱命題，哪些是特稱命題.

(1)對(duì)任意X