立體幾何中的由夾角求其它量問題-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題核心考點(diǎn)訓(xùn)練(新高考地區(qū))(解析版)-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第三篇立體幾何

專題04立體幾何中的由夾角求其他量問題

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一已知線線角求其他量

典例1.如圖，在三棱柱A8C-A/8/C/中，A4/C/C是邊長為4的正方形，平面45C，

平面A4C/C,AB=3,BC=5.

(1)求證：ABLAiC；

(2)在棱44/上是否存在一點(diǎn)尸，使得異面直線A。與8F所成角為60。，若存在,

求出4斤長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，3.

【解析】

【分析】

(1)由已知的數(shù)據(jù)可得BC2=ABi+AC2,從而得43LAC,再由面ABC_L平面AAICIC,

可得A3,平面AAICIC,進(jìn)而可證得ABLAiC；

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,A4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

然后利用空間向量求解即可

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锳4/C/C是邊長為4的正方形，所以AC=4,又4B=3,BC=5,

所以83=482+40,所以ABLAC,

因?yàn)槠矫鍭BC,平面A4/C/C,平面A8CC1平面AA/C/C=AC,A8u平面ABC,

所以平面A4/C/C,因?yàn)锳/Cu面A4C/C,

所以A8LA/C.

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,44/分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),C/(4,0,4),B(0,3,0),設(shè)廠(0,0,a),

?,LIULlUUU

則AG=(4,0,4),BF=(°，-3,?),0<a<4,

因?yàn)楫惷嬷本€AO與8”所成角為60。，

uuuruis

uuuumAC].BF|4?|1

所以|cos<AC.,BF>I=PtnLmn-=——~,

AC,BF4拒xj9+/2

解得a=3,所以F(0,0,3),

則AP=3,

所以在棱A4/上存在一點(diǎn)F,使得異面直線A。與BR所成角為60。，此時(shí)AF=3.

變式1-1.如圖：在三棱錐P-ABC中，幺，底面ABC,NBAC=90。，點(diǎn)力，E,N

分別為棱PA，PC,8c的中點(diǎn)，M是線段AO的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE;

(2)己知點(diǎn)H在棱PA上，且直線AW與直線BE所成角的余弦值為立，求線段A”

21

的長.

【答案】(【)證明見解析；(2)|或1

【解析】

【分析】

(1)取A8中點(diǎn)尸，連接MF、NF,則由三角形中位線定理可得NF//DE,

由線面平行的判定定理可得M/〃平面8DE,NF〃平面BDE,再由面面平行的判定

定理可得平面MFN〃平面BDE,從而可證得MNH平面BDE:

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A//=/7(04/744),則”(0,0,〃)，利用空間向量求

解即可

【詳解】

(1)證明：取A8中點(diǎn)尸，連接

：例為4。中點(diǎn)，工MF1/BD,

BOu平面BDE,MF(Z平面BDE,

/.MF〃平面BDE.

?；N為8c中點(diǎn)，

NF//AC,

又D、E分別為針、PC的中點(diǎn)，

DE//AC,則NF//DE.

P￡u平面BDE,NFU平面BDE,

：.NF〃平面BDE.

又MFNF=F,MF、NFu平面MFN.

：.平面MFNH平面BDE,

MNu平面MFN

/.MN〃平面BDE；

(3)解：因?yàn)?J_底面ABC,ABI平面ABC,ACu平面ABC,

所以「A_LA3,PA_LAC,

因?yàn)镹ft4c=90。，

所以以A為原點(diǎn)，分別以A8,AC,A尸所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示，則40,0,0),5(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),

E(0,2,2),N(l,2,0),尸(1,0,0),

依題意，^AH=h(O<h<4),則"(0,0,/?),

UUllUU1

進(jìn)而可得NH=(-1,-2,h),BE=(―2,2,2),

uuiruur

,uuiruurNHBE|2/i-2|_V7

由已知，得cos(NH,BEwtr~trar

NH-BE“2+5x2621

Q1

整理得10后-21〃+8=0,解得九=1或力=；,

所以線段AH的長為g或，

變式1-2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCO是等邊三角形且垂直于底面ABCD,

底面A8CD是矩形，AB=2AD=2,￡是尸。的中點(diǎn).

(1)證明：CEJ■平面PA。；

(2)點(diǎn)尸在棱PB上，且直線AF與直線8c所成角的余弦值為巫，求二面角

3

A—。尸一C的余弦值.

【答案】(1)見證明；(2)-B

4

【解析】

【分析】

(1)證明CE1AD,結(jié)合CE1PD,即可證得CEJ?平面尸40.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由直線AF與直線BC所成角的余

弦值為恒求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出平面49尸，平面。FC的法向量，利用法向量夾

3

角公式得解.

【詳解】

(1)平面PCDJ_平面ABC。，平面「8c平面AB8=C￡),ADu平面A8GD,

ADVCD

平面PC。，又CEu平面尸C￡),:.AD±CE.

側(cè)面PC。是等邊三角形且E是PQ的中點(diǎn)

:.CEYPD

又ADcPD=D

.?.C￡J?平面PAD

(2)如圖，以。為原點(diǎn)，以俄為x軸正方向，以價(jià)為y軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系。一孫z,則￡>(0,0,0),4(1,0,0),3(1,2,0),C(0,2,0),P(0,l,6)

z

UUV/r—\uuutUUDt

6P=（-1,-1,G）,AB=（0,2,0）,5C=（-l,0,0）

點(diǎn)尸在棱PB上，設(shè)3E=/L3P（0</lWl）,

UWUIWULU/L\

AF=AB+BF=（一幾,2-2,<3/l]

?.■直線AF與直線BC所成角的余弦值為恒.

13

umrum..,—

/i吧冊(cè):\AF*BCAVI3

二.cos（Ar,BC）=[wyiT^crf=1=——

'/MM卜）2+（2_疔+（前13

X-.0<2<l,解得：2=^

即尸為P8的中點(diǎn)

uins,（13百）tiu?,、uiny

-A￡>=（T,0,0）DF=

k2227

設(shè)平面45尸的法向量為〃=（xi，y,zj,則

vUUH，13x/3

n?AF=——x.+—y.H-----z.=0

212121

Vuuw

n?AD=-%1=0

令y=1,則〃=（0,1，一⑹

設(shè)平面CDF的法向量為a=（%，%，22），則

v1,3一

Yl?Dr=-H---必H---6---Z,二_0n

2-222.

Vuuiv

n?DC=2y2=0

令Z?=l,則"2=卜6,0,1)

Vyj—

/VQV\5/3

cos<〃⑹=酮=一彳

二面角AR—C的余弦值為小

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，還考查了平面法向量的求法、利

用空間向量求二面角的平面角大小、利用向量求線線夾角，考查計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

變式1-3.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是正方形，四邊形AOP。是梯形,

TT

PD!!QA,Z.PDA=—,平面ADPQJ-平面ABC￡),且AD=P￡>=2QA=2.

⑴求證：紗〃平面出兀；

(2)求平面CP3與平面QPB所成夾角的正切值；

⑶已知點(diǎn)H在棱尸。上，且異面直線47與m所成角的余弦值為陪，求線段?！钡?/p>

長.

【答案】⑴證明見解析；

⑵乎

⑶|

【解析】

【分析】

先證明直線平面A3CD以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,OP的方向?yàn)閤軸，y

軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）利用向量法證明QB//平面PDC；

（2）利用向量法求平面CPB與平面QP8所成夾角，再求正切值；

（3）利用向量法求線段的長.

（1）

平面ADPQI平面ABCD,平面ADPQH平面ABCD^AD.

而PDu平面ADPQ,PDLAD,二直線平面A8CO.

UCUlUUU1LILUI

由題意，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以。ADC,OP的方向?yàn)椋ポS，y軸，z軸的正向建立

如圖空間直角坐標(biāo)系.

則可得:0（0,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,A（2,0.0）,0（2,0,1）,P（0,0,2）.

UUUl

顯然::AO=（-2,0,0）是平面PDC的一個(gè)法向量.

ULllUUUUUU

又Q8=（O,2,—1）,所以QBAZ>=0.

又?直線Q3仁平面PDC,：.Q8//平面PDC.

⑵

UliULM1

尸5=（2,2,-2）,PC=（0,2,-2）.

rl￥UUV

u、..n.PB=2x.+2y,-2z,=0

設(shè)“=（XJ,zJ為平面P8C的一個(gè)法向量，則Wuiu

%PC=2必一24=0

不妨設(shè)4=1,可得勺=（0,1,1）.

LU

設(shè)巧=（工2，%，22）為平面PBQ的一個(gè)法向量，同理可求〃2=（1,1,2）.

UUI

0+1+26

所以cos

&xJl+l+412-

所以平面CP8與平面QPB所成夾角為［

6

而tan工=理，所以平面CP8與平面QPB所成夾角的正切值更.

633

(3)

UUllUL1

設(shè)H(0,0,h)(0</i<2),則AH=(-2,0,〃)，P3=(2,2,-2).

ULIUlUT

uiruuiiv

zPBgAH-4-2A_7百

又cos(PB.AH)=LIUIILIU

2

PBXAH2道xgh15

ao

A6/I2-25/?+24=0,解得力=彳(力=§舍去),

故所求線段。”的長為

考點(diǎn)二已知線面角求其他量

典例2.已知梯形BFEC如圖甲所示，其中8尸〃EC,EC=3,BF=2,四邊形相8

是邊長為1的正方形，沿A。將四邊形ED4F折起，使得平面ED4F_L平面ABCD,

得到如圖乙所示的幾何體.

⑴求證：。匹_1_平面4?8；

(2)若點(diǎn)”在線段BO上，且￡77與平面3斯所成角的正弦值為池，求線段的長

9

度.

【答案】(1)證明過程見解析;

(2)DH=—.

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

(1)

平面EDAF1平面A8CD,DEu平面EDAF

平面EZMF1平面A8C￡)=4),DEIAD,

DE_L平面ABC。；

⑵

設(shè)平面BEE的法向量〃=(x,y,z),￡(0,0,2),尸(1,0,1),8(1,1,0),

UUUULU

fuuyv

EFn=0x-z=0,、

uuor=[-y+Z=0,則D，

BF片v=0

UUU

設(shè)”(a,a,0),EH2),

yuuirr2a-2

COS(EH,71旦

GJ2a2+4"9'

17

解得a=5或〃=(舍),

變式2-1.如圖甲，正方形4rAA邊長為12,MHBBJCC，AB=3,BC=4,A4：分

別交2瓦，CG于點(diǎn)p,Q,將正方形41AA沿CG折疊使得AA與A'A'重合，構(gòu)

成如圖乙所示的三棱柱48C-A4G，點(diǎn)M在該三棱柱底邊AC上.

(I)若AM若，證明：BM//平面APQ；

(2)若直線8M與平面APQ所成角的正弦值為半，求4W的長.

【答案】(I)證明見解析；(2)AM=3或3=普.

【解析】

【分析】

(1)在圖乙中，過M作MN//C。，交4Q于N,連接PN,證明四邊形為平行

四邊形，然后得到期〃PN即可；

(2)分別以BA,BC,BB,為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后算出平面APQ

的法向量坐標(biāo)，設(shè)AM=4AC,得M(3-3九42,0),然后由條件建立方程求解即可.

【詳解】

(1)證明：在圖乙中，過泅作MN//C。，交AQFN,連接PN,

則MN//PB,：,共而且平面MNP8交平面APQrPN,

*.*AB=3,BC=4,

AC=5,又AX'A'A為正方形，

715

QC=1,tangAC=-,由AM。，有MN=3=BP,

，四邊形MNPB為平行四邊形，BM//PN,

又PNu平面APQ,平面APQ,

8用〃平面APQ.

(2)由⑴，AC2=AB2+BC2,ABLBC.

由題圖知，PB=AB=3,QC=7,分別以54,BC,為x,九z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),0(0,4,7),

UUULIL11ClUli

BC=(0,4,0),AP=(-3,O,3),AQ=(-3,4,7),

設(shè)平面APQ的法向量為方二(x,y,z),

「ruucr

n?AP--3x+3z=0,

則〈ruuor

n-AQ=-3x+4y+7z=0,

令％=1,得”=(1,-1,1),

設(shè)AM=LAC，得M(3-3Z4Z0),

?.?直線8M與平面AP。所成角的正弦值為嚕，

uuirr

..%〃_|3-72|_V15

**BM.|n|J（3—3；）「+16不忑15，

解得a三或4=2即AM=3或AM=（

變式2-2.如圖，三棱柱ABC-ABC所有的棱長為2,A8=4C=0，知是棱8c

的中點(diǎn).

（I）求證：AM-L平面ABC;

（II）在線段8/C是否存在一點(diǎn)P,使直線8P與平面4/BC所成角的正弦值為亞？

20

若存在，求出C尸的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（I）證明見解析；（II）存在，CP=，CB、=迎

42

【解析】

【分析】

（1）由題意，證明A"J-8c與AM1AM,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明\M±

平面ABC;

（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，令PC=gC,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，

法向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解線面角即可.

【詳解】

解：（1）證明：AB="=近,BC=2,〃是8C中點(diǎn)，

AM_L8C，AM=1,

乂AA,=2,AM=A/3,

AM2+AiM2=A4,2,

AM_LAM,

AAM平面A5C,

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,

由(1)知平面A/8C的法向量為MA=(G,O,O),4(6,0,0),A(0，。/)，5(0,I，。)，

UUUUUUUUL1UUllUUL1(「、

C(0,—1,0),B、C=BC-BB、=BC-AA^=(‘3,-2,-1),

UUUUUU,_\

令PC=AB]C=(,(0<2<l)

UUUUUluu

則BP=8C+C尸=(0,—2,0)+(—24,X)=V3A,2/1—2,2)

設(shè)直線4P與平面A/8C所成角為，，則

UUUuir3回

sin0=cos<MA,BP>=~~~/=■

V3-V8r-8A+420

33

解得6:或2=1(舍)，

所以當(dāng)CP=；C用時(shí)，滿足題意，此時(shí)CP=J(苧)+(_|)2+,,、挈.

變式2-3.如圖所示，四棱錐P-A8c。中，PA_L菱形A8C。所在的平面，ZABC=60°,

點(diǎn)E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，M是線段PO上的點(diǎn).

(1)求證：平面A￡M_L平面PAO；

(2)當(dāng)鉆=”時(shí)'是否存在點(diǎn)使直線EM與平面所成角的正弦值為?。?/p>

若存在，請(qǐng)求出器的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，也=立正.

PD2

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定

定理進(jìn)行證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間平面向量夾角公式，結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求

解即可.

【詳解】

（1）證明：連接AC因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ZABC=60°,

所以,43C是正三角形，

是BC的中點(diǎn)，/.AE1BC,

5LAD//BC,：.AELAD,

J■平面ABC。，AEu平面A8CD,APAVAE,

又抬cAO=4,AEJ"平面PAO,

又AEu平面所以平面AEWL平面弘O.

（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AB=AP=2,則AE=6，

()()()

A0,0,0,CG,1,O,￡>0,2,0,E(G,O,O),尸隹;』)

UUliuuu

設(shè)PM=/IPD=4(0,2,-2)(0<4<1)

則M(0,22,2-22)

設(shè)平面A8尸的一個(gè)法向量為”=（x,y,z）,

v腔61

n-Ar=—x+—y+z=0

則22'

vuus-

n-AB=yr/3x-y=0

取x=1,則y=行，z=-G

得〃=","）

UUU

設(shè)直線EM與平面ABF所成角為9,EM=(-A^,2A,2-2A)

（士宜二叵

n-EM7A/822-8A+77

化簡得：4/12-82+1=0,則；1=

故存在點(diǎn)M滿足題意，此時(shí)北J1百

X

考點(diǎn)三已知二面角求其他量

典例3.如圖，在三棱錐P-A3C中，AB=BC=2j2,/^=PB=PC=AC=4,。為AC的

中占

P

（1）證明：PO_L平面ABC.

⑵若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角環(huán)膽-C為30°,求尸C與平面而M所成角的正弦

值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵手.

4

【解析】

【分析】

(1)先證明P。垂直于OB,OC,再通過線線垂直推證線面垂直即可；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角底以-C為30。求得點(diǎn)M的

坐標(biāo)，再用向量法求線面角的正弦值即可.

(1)

連接。8如下所示：

因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以。P_LAC,且OP=2g.

因?yàn)锳5=BC=2夜，故可得AB'BCZ=16=AC：

所以△ABC為等腰直角三角形，KOBLAC,OB=^AC=2.

由0產(chǎn)+0口2==QG)2+2?=16=尸￥知POLOB.

由。PLOB,OPVAC,OBnAC=O,OB,AC^ABC,

知POJ_平面ABC

(2)

根據(jù)(1)中所證可知，OROGOP兩兩垂直，連接OM,故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB的方向?yàn)閤軸正方向，OC的方向?yàn)閥軸正方向，OP的方向?yàn)閦軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：

由已知得0（0,0,0）,8（2,0,0）,A（0,—2,0）,C（0,2,0）,40,0,2@,=（0,2,2^/3）,

取平面的法向量OB=（2,0,0）.設(shè)M（a,2-/0）（0＜。42）,則AM=（。,4一。,0）.

設(shè)平面出M的法向量為〃=（x,y,z）

,UUU

由AP-n=0，AMri=o#■可取六3—2,

273（a-4）2月（a~4）|

所以cos<OB，”>=由已知得|COS<OB,〃>|=

2yj3（a-4）2+3a2+a22yl3（a-4）2+3a2+a2

2

4

解得a=T（舍去），.所以

16-

又院=（。，2,-2月,所以cos＜品,”＞=―2^-=—.

4x—4

3

所以PC與平面以加所成角的正弦值為史.

4

變式3-1.如圖1,平面圖形出88由直角梯形ABCO和RtARW拼接而成，其中

AB^BC=1,BC//ADKABYAD,PA=PD=yH，PALPD,PC與AO相交于。，現(xiàn)

沿著AO折成四棱錐P-45CD（如圖2）.

⑴當(dāng)四棱錐P-45CZ）的體積最大時(shí)，求點(diǎn)8到平面PCD的距離；

（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角。-AC-。的余弦值

為手？若存在，求出器的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）乎：

（2）存-在，合PQ=,1

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離公式進(jìn)行求解即可；

（2）利用空間夾角公式進(jìn)行求解即可.

（1）

在圖1中，在中，PAVPD,PA=PD=五,AD=2.

易知四邊形ABCO為正方形，，AO=1,即。為A￡＞的中點(diǎn)，

在圖2中，當(dāng)四棱錐P-43CD的體積最大時(shí)，

側(cè)面尸底面ABC。，止匕時(shí)POJ"平面ABC。，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，0。所在直線為y軸，0P所在直線為z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則P（0,0,1）,A（0-1,0）,C（l,0,0）,D（O,l,O）,

APB=(1,-1,-1),CP=(-1,0,1),PD=(0,1-1).

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為：=(x,y,z),

rvuuv

uCP--x+z=0,

則＜vuuw

u-PD=y-z=0.

取z=l,得“=(1,1,1).

則B點(diǎn)到平面PCD的距離d=

3

⑵

假設(shè)存在，且設(shè)PQ=/IPO（（）4/141）.

VPD=(O,l,-l),/.OQ-OP=PQ=(Q^-X),,OQ=(0,41-2),

(2(0,2,1-2).

設(shè)平面C4Q的一個(gè)法向量為，〃=(%,%4),又AC=(l,l,0),AQ=((U+l,l-/l),

vuiny

m?AC=2+y=0,

則《vuuu

mAQ=++(1-4"=0.

取4=1+4,得機(jī)=(1_44_1,4+1).

又易知平面C4O的一個(gè)法向量為〃=（（）,（M）,

?.?二面角。-AC"的余弦值為爭

1^+11

^(l-2)2+(/l-l)2+(/l+l)2xl—3'

整理化簡，得3萬-104+3=0,解得或2=3（舍去）.

二線段PO上存在滿足題意的點(diǎn)Q,且日|=最

變式3-2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PC,平面ABC,AC±BC,AC=BC^PB,

AD,總于點(diǎn)。，點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且CE=/ICP（O</1<1）.

p

(1)證明：尸3_L平面ACQ；

(2)是否存在人使二面角C-仞-E的余弦值為生且？若存在，求出4的值；若不

37

存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在；目

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

(1)

證明：：PC，平面ABC,/.PCIAC,又,.?AC_L8C,PCCBC=C,

4C_L平面PBC,AC1PB,又ACfAD=A,PB_L平面ACO.

(2)

如圖建系，不妨設(shè)AC=3C=2,:.PB=4,尸C=2石，50=1,

D0,-,—,4(20,0),C(0,0,0),E(0,0,2A/32),

I22J

C4=(2,0,0),AD=-2,I，圖，A￡=(-2,0,2732),

設(shè)平面C4。和平面的一個(gè)法向量分別為4=(%,y,zj,n2=(x2,y2,z2),

l￥UW2x,=0

rnCA=0

cn勺二(0,1,-⑹,

IVuuw=><-36八

4?AD-0一2%+-^i+—=0

uuy-2X+2&九z?=0

-AE=02皿

UUDF=>3+2冬產(chǎn)戶響必網(wǎng)

-AD=0

uuu

設(shè)二面角C-AO-E的平面角為仇鳥，/所成角為s，

??2加"2我%：：；1I+3=察"+21=。.

(32-l)(2+l)=0^/l=1e(0,l),故存在，2=1.

變式3-3.如圖，四棱柱ABC。一A/B/C/O/中，底面ABCD和側(cè)面BCC/B/都是矩形,

E是CD的中點(diǎn)，DiELCD,AB=2BC=2.

(1)求證：平面CGD/。，底面ABC。；

(2)若平面BCC/a與平面8EQ所成的銳二面角的大小為9，求線段的長度.

【答案】(1)證明見解析：(2)ED,=\.

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明平面可得4O_L￡>/E,又CDLDiE,

即可證明O/E_L平面ABCO,再由面面垂直的判定定理證明即可；

(2)DtE=a,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然

后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于。的方程求解即

可.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)榈酌鍭8CD和側(cè)面BCC/B,都是矩形，

所以A。，CO,ADLDDi,

又CDCDDi=D,CD,DDiu平面CDD1C1,

所以AOJ_平面CDD/Ci,又D,Eu平面CDD/C/,

所以AD_LO/E,又CO_L￡>/E,且CD,ADu平面A8CO,

故O/EL平面ABCD,又O/￡u平面CCDiD,

則平面CC/。/。，平面48CD；

(2)解：取AB得中點(diǎn)R連結(jié)ER則四邊形EF8C為正方形，

所以EF上CD,故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)￡>/E=a,則E(0,0,0),F(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),Ci(0,

2,a),

所以8c=(-1,0,0),CC|=(0,1,a),FC=(-1,1,0),

設(shè)平面BCCB的法向量為"=(x,y,z),

Vuin，

7?BC=0-x=0

則有UUl^,即

vy+az=0

n-CC[=0

令z=l,貝=

因?yàn)镕C_LB￡,又尸C_LO/E,BECD/E=E,BE,。/Eu平面5EO/,

所以尸C_L平面BED,

故尸C=(-1,1,0)為平面BD/E的一個(gè)法向量,

ruun

uni、n-FCa

所以cos(n,FC)=FiitiuB

'/MFCy/2-y/a2+\

因?yàn)槠矫鍮CCdiI與平面BEDi所成的銳二面角的大小為?,

a=cos(=；,解得a=l,

VLJd+i

所以DiE=\.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一已知線線角求其他量

1.已知正方形A8C。和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB=1,AF=1,點(diǎn)M是

線段EF中點(diǎn).

(1)求證：AM//平面也定；

(2)求平面43戶和平面「的銳二面角的余弦值；

(3)線段AC上是否存在點(diǎn)P,使得P/與AO所成的角為60。？若存在，請(qǐng)求出AP的

長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)且；(3)存在，AP=\.

3

【解析】

【分析】

(1)記AC與8。的交點(diǎn)為。，連接?！?得四邊形AOEM是平行四邊形，則AM//OE,

再由直線與平面平行的判定可得AM〃平面BDE；

(2)在平面中過A作AS_LO尸于S,連接8S,說明NBS4是平面ADF和平面血印

的角平面角或補(bǔ)角，然后平面ADF和平面BDF夾角的余弦值；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出線段AC上尸點(diǎn)的坐標(biāo)，由PF與所成的角是60。,

轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解.

【詳解】

(1)證明：記AC與8。的交點(diǎn)為。，連接OE,

.O,"分別是AC、E尸的中點(diǎn)，ACE尸是矩形，

四邊形AOEM是平行四邊形，則AM//OE

OE<=平面BDE,AM仁平面BDE,

AM〃平面8OE；

(2)解：在平面AFD中，過A作AS，。F于S,連接3S,

AB1AF,AB1AD,AD'AF=A,

.?.A8J"平面AOF,

AS是BS在平面AD尸上的射影，

NBSA是平面ADF和平面BDF的夾角的平面角，

在私ASB中，AS=-DF=—,AB=l,SB=—

222

①

cosNASB=-7=-=——

R3

~T

平面仞F和平面BDF的銳二面角的余弦值為立；

3

(3)解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則以1,0,0),4(1,|,()),F(1,|,1),

設(shè)PQ,t,0)(闔1),

uiaiUUU

貝iJPF=(l-f［一f,l),04=(0,1,0),

uuumm

由PE與4。所成的角恰為60。，得|cos<

I1-/I1口

即而解得^-孝或"1+半(舍)?

.JCP|=^=V2-1,則IA尸1=1.

故線段AC上存在點(diǎn)尸，使得P/7與A。所成的角恰為60。，此時(shí)AP=1.

2.如圖，在三棱錐尸-ABC中，心，底面48。,/&4。=90。.點(diǎn)。，E,N分別為棱

E4,PC,8c的中點(diǎn)，M是線段40的中點(diǎn)，PA=AC=8,AB=4.

（I）求證：MN〃平面BDE；

（II）求二面角C-的正弦值；

（山）已知點(diǎn)〃在棱9上，且直線M7與直線BE所成角的余弦值為電，求線段A"

21

的長.

【答案】（I）證明見解析；（H）叵；（III）9或1.

65

【解析】

【分析】

本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空

間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法

向量，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0,求二面角只需求出兩個(gè)半平面

對(duì)應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線

所成角的余弦值，利用已知條件，求出Aa的值.

【詳解】

(I)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),8(4,0,0),C(0,8,0),0(0,0,4),￡(0,4,4),M(0,0,2),N(2,4,0),P(0,0,8),

證明：DE=(0,4,0),DB=(4,0,-4).設(shè)〃=(%,y,z)為平面BDE的法向量,

rUUW

n-DE=Q4y=0

rUUB',即不妨設(shè)z=l可得五=(1,0,1),

)n-DB=04x-4z=0

又MN=(2,4,-2),

可得MM〃=0.因?yàn)槠矫鍮OE,

所以MN〃平面BDE,

(H)解：易知名=(L0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.

rUTuui^

小EM=0

設(shè)?=(x,y,z)為平面EM3的法向量，則〈向uuiv

-4y-2z=0

因?yàn)镋M=(0,-4,-2),MB=(4,0-2),所以

4x-2z=0

不妨設(shè)z=2,可得％=(1,-1,2),

因此有cos(勺一旦

一6'

于是sin(q,〃2)=

6

所以‘二面角C-EM-B的正弦值為平；

(Ill)依題意,]§：AH=h(fi<h<S),

則”(0,0㈤，

進(jìn)而可得N”=(-2,-4,〃)，BE=(-4,4,4)

Iuuivuuv.\NH-BE\|4/7-8|不

由已知，得cos〈N",BE〉=」=?J廠=為，

11\NH\\BE\"2+20X?4621

整理得5川-2曲+16=0,

解得力=￡,或力=L

所以，線段A"的長為1或1

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角.空間向量是解決空間兒何問

題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方

便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求

線面角，二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易.

3.如圖，在四棱錐P-43co中，平面A8CDJ_平面的，四邊形ABC。為矩形，且

AO=AP=1A3,NABP=：,E、F分別。C、PB的中點(diǎn).

26

(1)證明：PDLPB；

(2)設(shè)9=2,點(diǎn)M在線段PE上，且異面直線。M與E尸所成角的余弦值為萼，

求二面角例-CB-尸的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)嚕.

【解析】

【分析】

(1)證明出仞，平面皿，可得出利用正弦定理可證明出E4LPB,利

用線面垂直的判定定理可得出依，平面PAZ),由此可證得結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以PB、PA、AD方向?yàn)閤、八x軸的正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用空間向量法可求得二面角

M-CB-P的余弦值.

【詳解】

ApAR74'AR

(1)在△PAB中，根據(jù)正弦定理有.仙廣.笠麗，即/訴,

sinZABPsinZAPBsjn￡sinZAPB

、6

得sinZAP3=l,gpAAPB=1,所以P3_L針.

因?yàn)槠矫鍭BCDL平面R4B,平面ABC。一平面上鉆=M，A￡)u平面ABC。，AD±AB,

所以AD_L平面％B,

又因?yàn)镻8u平面以8,所以

又因?yàn)?)u平面R4Z),APu平面PAO,APc49=A,所以尸3L平面PAO,

又因?yàn)槭?gt;u平面尸40,所以PDLP8；

(2)如圖，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以「B、PA、AO方向?yàn)閤、八x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則尸（0,0,0）、8便,0,0）、4（0,1,0）,（7便,0,1）、￡＞（0,1,1）、E與g,l、F^,0,0

設(shè)M（x,y,z）,PM=2PE（O<2<1）,

1,1],得〃因

即（x,y,z）=4

252

Vio

~5~，

所以"當(dāng)H，MC=，BC=（0,0,1）,

設(shè)平面M8C的法向量用=（X1，x，zJ,則，”什。

Z[=0

取%=1,可得々=（1,26,0）,

PB=（y/3,0,0）,BC=（0,0,1）

設(shè)平面PBC的法向量為〃2=（占,必,z?）,則，瓜二°

z2=（）

LU

?。゛=i,可得％=（o1,o）,

設(shè):面角例-CB-P的平面角為。，則。為銳角,

=下一，即二面角M-C3-P的余弦值為轡.

則cos0=

4.等邊ABC的邊長為3,點(diǎn)D,E分別是A8,8c上的點(diǎn)，且滿足A蕓n=C3F=：1.

DBEA2

（如圖（1））,將沿OE折起到aAOE的位置，使面40后，平面水為。，連接

\B,AC（如圖（2））.

（1）求證：平面BCEO；

（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)尸，使直線DP與直線EA所成角的余弦值為立？若

10

AP

存在，求出力的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

QD

【答案】（I）證明見解析；（2）存在，=

/11DZ

【解析】

（1）由已知條件推導(dǎo)出4O=1,AE=2,OE=7L從而得到A￡>_L￡>E,折疊后有

\DLDE,由此能夠證明A。，平面BCED；

（2）由（1）知ED_L￡>8,平面BCED,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、￡>E、"

分別為x軸、>軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系。-沖z,可求得。？=（240,1-2）,

AE=（0,G,-l）,由題意根據(jù)兩向量的夾角公式即可求解.

【詳解】

（1）證明：題圖（1）中，由已知可得：

AE=2,AD=\,A=60°.

從而DE=Vl2+22-2xlx2xcos60°=6

故得AZ）2+。爐=AE\所以ADLDE，BD±DE.

所以題圖（2）中，A^DIDE,BDLDE,

?.?面AQE_L面BCE。

面AOE面BCED=DE

AOu面AOE

A。，面BCED

（2）解：存在.由（1）知EZUD8,平面8CEZ）.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DE、OA分別為X軸、y軸、Z軸的正半軸建立空間直角

0（0,0,0）,A（0,0，l），8（2,0,0）,￡（O,AO）

4?=（2,0,-1）

^P=24B=（22,0,-/l）

/.P（22,0,l-2）

DP=（22,0,l-A）,AE=（O,G-1）

uuuuuirDPAtE_75

cos<DP，AE>=injCiiUinrMM

DP修一2歷許二10

.*?2=—

2

.V=1

,,A,B2-

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體兒何的問題，解題思路如下：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直的條件，證得線面垂直；

（2）結(jié)合（1）的條件，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P,設(shè)AP=2A3,

利用空間向量解決線線角的余弦值，建立關(guān)于2的關(guān)系式，求得結(jié)果.

練習(xí)二已知線面角求其他量

5.如圖，在正方體ABCD-A/CQ中，E為棱BB,上一點(diǎn)、.

⑴若E為棱即的中點(diǎn)