天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題

天津市和平區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：A.2.設(shè)，則是成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉镽上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，所以由可得（），由可得（），故是成立的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，必要不充分條件，屬于中檔題.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】得到函數(shù)的定義域，然后計(jì)算，然后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：函數(shù)定義域?yàn)?所以，故該函數(shù)為奇函數(shù)，解除A,C又，所以解除D故選：B4.某健身俱樂(lè)部統(tǒng)計(jì)學(xué)員經(jīng)訓(xùn)練后的平板支撐的時(shí)間增加值都在20s到45s之間，其頻率分布直方圖如圖所示．現(xiàn)已知時(shí)間增加值在，，的健身人數(shù)呈遞減的等差數(shù)列，則學(xué)員時(shí)間增加值是或的頻率之和為（）A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.4【答案】D【解析】【分析】由上的頻率值計(jì)算出上總的頻率值，依據(jù)在的健身人數(shù)呈遞減的等差數(shù)列，知頻率也呈等差數(shù)列，，從而計(jì)算出在或上的頻率和.【詳解】由在的健身人數(shù)呈遞減的等差數(shù)列，則，則，故選：D5.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)指、對(duì)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】，，又，，.故選：A．6.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直四棱錐稱為陽(yáng)馬．已知四棱錐為陽(yáng)馬，側(cè)棱底面，且，，．若該四棱錐的頂在都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則體對(duì)角線為球直徑，即可求解表面積．【詳解】將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則體對(duì)角線為球直徑，設(shè)外接球的半徑為，則所以該球的表面積為故選：A

7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)為偶函數(shù)C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】C【解析】【分析】依據(jù)周期和對(duì)稱軸可得函數(shù)全部對(duì)稱軸，依據(jù)對(duì)稱軸位置可推斷.【詳解】因?yàn)?，故A不正確；由題知，的周期為，所以對(duì)稱軸為Z，所以的對(duì)稱軸為Z，明顯y軸不是其對(duì)稱軸，故B不正確；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，其對(duì)稱軸為Z，明顯y軸不是其對(duì)稱軸，故D不正確；由題知，若，則的最小值為函數(shù)的半周期，故C正確.故選：C8.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的坐標(biāo)后利用垂直關(guān)系可得的關(guān)系，從而可求離心率.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸的上方，因?yàn)檫^(guò)且垂直于軸，故，所以直線，整理得到，故.因?yàn)?，故，整理得到，所以即，?故選：B.9.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的特點(diǎn)，比較精確地畫出函數(shù)圖像，將原方程轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并構(gòu)想如何才能有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】對(duì)于，是對(duì)稱軸為y軸的開(kāi)口向上的二次函數(shù)；對(duì)于，求導(dǎo)得，在時(shí)，，是增函數(shù)，，，∴在內(nèi)必存在零點(diǎn)，考慮函數(shù)圖像的特點(diǎn)，作如下所示示意圖：要使關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則兩函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，由圖可知，，即；當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于與在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)解，，令，，，作圖像如下：；故選：A.二?填空題10.已知復(fù)數(shù)滿意(為虛數(shù)單位)，則________.【答案】【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】，，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11.已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是160，則實(shí)數(shù)a的值是______.【答案】2【解析】【分析】在二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得含的項(xiàng)，再依據(jù)含項(xiàng)的系數(shù)等于160求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是，解得實(shí)數(shù)，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)二項(xiàng)式綻開(kāi)式某一項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓與直線相交所得圓的弦長(zhǎng)是，若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)題意，得出圓的圓心為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得，即可求出切線長(zhǎng).【詳解】解：由題知，圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以，解得：.故圓的方程為.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，所以切線長(zhǎng)為：.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓心和半徑、點(diǎn)到直線距離和切線長(zhǎng)等學(xué)問(wèn)，考查解題實(shí)力.13.已知，則的最大值是____________.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)原式為，再換元設(shè)得原式，再換元設(shè)得原式可化為，再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.【詳解】，設(shè)，所以原式=，令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞增)故答案為：【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查基本不等式，考查函數(shù)y=+的圖像和性質(zhì)，考查換元法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析轉(zhuǎn)化的實(shí)力及數(shù)形結(jié)合的思想方法；(2)解答本題的關(guān)鍵是兩次換元，第一次是設(shè)，其次次是設(shè)，換元肯定要留意新元的范圍.14.饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見(jiàn)的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長(zhǎng)江下游地區(qū)的良渚文化玉器上.有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，有一點(diǎn)P從A點(diǎn)動(dòng)身每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路途到達(dá)點(diǎn)B的概率為_(kāi)__________.【答案】##0.125【解析】【分析】本題先通過(guò)列舉法寫出8種總跳法，再依據(jù)古典概型進(jìn)行概率計(jì)算.【詳解】點(diǎn)P從A點(diǎn)動(dòng)身，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，則有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8種不同的跳法（線路），符合題意的只有（下，下，右）這1種，所以3次跳動(dòng)后，恰好是沿著餐餮紋的路途到達(dá)點(diǎn)B的概率為.故答案為：.15.在平行四邊形中，，相交于點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】先利用已知條件求得，，再設(shè)，依據(jù)線性關(guān)系利用向量表示向量，利用數(shù)量積綻開(kāi)化簡(jiǎn)得到，，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法即得結(jié)果.【詳解】依題意，由，知，即，所以，得，則，即.設(shè)，則，得，，，由知，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最小值，即取最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于用基底表示向量進(jìn)行運(yùn)算，將數(shù)量積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題，突破難點(diǎn).三?解答題（共5小題）16.在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿意.（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到求解；（2）依據(jù)，分別求得，再結(jié)合，利用兩角和的正弦公式求解；（3）結(jié)合，，利用余弦定理求得，代入面積公式求解；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，，所以?（3）由余弦定理得，，又因?yàn)?，，所以，所以三角形ABC的面積是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．17.如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面ABC，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為1，D是AC的中點(diǎn).

（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】分析】（1）取交點(diǎn)P，構(gòu)造三角形中位線可證；（2）將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，結(jié)合已知依據(jù)等邊三角形三線合一，以及勾股定理可證；（3）借助面面垂直的性質(zhì)作出線面角干脆求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)交于點(diǎn)P，連結(jié)PD，∵D是AC的中點(diǎn)∴，∵平面，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】∵底面ABC，平面ABC∴，又底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是AC的中點(diǎn).∴.∵，平面，平面∴平面，∴易知，，滿意勾股定理，∴又平面，平面，∴平面，又平面∴平面平面；【小問(wèn)3詳解】作，M為垂足，由（2）知平面平面；∵平面平面，∴平面，連接MP，則∠APM就是直線與平面所成的角，∵，，∴在中，，∵∴.∴直線與平面所成角的正弦值.18.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線l過(guò)點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.（1）求橢圓C的方程：（2）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（3）延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的斜率.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】(1)有條件列出關(guān)于的方程，解方程求，由此可得橢圓C的方程；(2)利用設(shè)而不求法可求的坐標(biāo)，由此完成證明；(3)由(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)在橢圓上列方程求直線l的斜率.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，，∵，∴，，∴橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去y得，，則，∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴，，∴，∴為定值.【小問(wèn)3詳解】若四邊形OAPB為平行四邊形，則，設(shè)∴，，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，解得，即，∴當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽視直線斜率為0或不存在等特別情形．19.已知數(shù)列，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知對(duì)于隨意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，（i）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（ii）求．【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．【解析】【分析】（1）探討n=1和n≥2兩種狀況，依據(jù)遞推公式探討出隨意兩項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；再求出的首項(xiàng)，利用等比中項(xiàng)求出公差，進(jìn)而得到答案；（2）（?。?，依據(jù)（1），用分組求和得到答案；（ⅱ）對(duì)和式，從首項(xiàng)起依次每?jī)身?xiàng)一組并項(xiàng)求和，再用錯(cuò)位相減法求得答案.【詳解】（1）n=1時(shí)，，n≥2時(shí)，，所以，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.則，設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得：d=2，則.（2）（?。┯桑?）可知，，若n為偶數(shù)，則，若n為奇數(shù)，則,于是，.（ⅱ）由題意，對(duì)，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，所以，，則，則，所以，于是，.20.設(shè)函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：．【答案】（1）上單調(diào)遞增；（2）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)得，結(jié)合定義域推斷其符號(hào)，即可知單調(diào)性.（2）（?。┣髮?dǎo)得，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而推斷符號(hào)確定單調(diào)性，可求極值點(diǎn)所在的區(qū)間為，再證上，由此得，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證結(jié)論；（ⅱ