平面向量的基本定理及坐標運算(7類)(人教A版2019必修第二冊)(解析版)

專題6.4平面向量的基本定理及坐標運算

【考點1：平面向量的基本定理】.................................................................1

【考點2：向量線性運算的坐標表示】............................................................4

【考點3：向量模的坐標表示】...................................................................7

【考點4：向量數(shù)量積運算的坐標表示】..........................................................10

【考點5：向量平行的坐標表示】...............................................................13

【考點6：向量垂直的坐標表示】...............................................................16

【考點7：向量夾角的坐標表示】...............................................................18

【考點1：平面向量的基本定理】

【知識點：平面向量的基本定理】

如果,，e?是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量〃，有且只有一對實數(shù)

右，使a=44+七.

其中，不共線的向量4，e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

［方法技巧］

一麗而量莖禾兔理旗辰友解題思路

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)

乘運算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運算來解決.

1.(2023秋?云南德宏?高三統(tǒng)考期末)在△ABC中，若4。為BC邊上的中線，點E在4。上，且AE=2EO,

則說=()

A.-AB--ACB.-AC--AB

3333

C.-AB--ACD.-AC--AB

6666

【答案】A

【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.

【詳解】如圖所示，在△4BC中，

因為4。為BC邊上的中線，

所以。為BC的中點，

所以由平行四邊形法則有：

而=：（近+近），

又點E在AC上，且4E=2ED

所以麗=-|福

所以前=麗+荏

2——.

=--AD+AB

=_洛71胸+硝+肉

］一］一一

=--AB--AC+AB

33

「府」前，

33

故選：A.

2.（2023秋?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）在AABC中，。為AB邊的中點，記出=沅，3=元，則而=（）

A.m—2nB.m+2nC.2m+nD.—m+2n

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為。為AB邊的中點，所以而=而，即而一而=石？一而，

所以而=2CD-CA=2n-m=-m+2n.

故選：D

3.（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在平行四邊形ABC。中，AE=|AD,CF=^CD,則瓦5=（）

A.-~AF--CEB.-AF--CE

5555

69

c--

55

【答案】c

【分析1設(shè)同=出AD=b,將反X,AF,洗都用落B表示，設(shè)麗=小衣+〃而，解出m，n.

【詳解】AB

設(shè)AB=a,AD=b,

因為荏=%而，所以正=而+屁=一之-2譏

33

因為而=：而，所以*=而+而=3+：落

設(shè)麗=mAF+nCE,則一五=m（b4-|a）H-n（—a-|h）,

（2m-n=-l

?3，解得瓶=占n=-,即瓦？=9而+?謂.

m——n=05555

3

故選：c.

4.（2022春?福建福州?高一?？计谀┮阎?，委是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不

能作為基底的一組是（）.

A.2e1-e2和2e2-4e1B.e1+e2和e1—2e2

C.備—2備和瓦D.茬]+備和2詼+瓦

【答案】A

【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，判斷.

【詳解】對于A選項，因為2行一4可=一2（2瓦一石），則2%-宅和2/一4瓦*共線，A選項不滿足條件；

對于B選項，設(shè)可+與=4（可一2瓦）=4瓦一22與，則｛_[[]]，無解，故可+器和瓦一2冤不共線，B

選項能作為基底；

同理可知百-2筱和瓦?不共線，百+石和2￡+瓦也不共線，CD選項均能作為基底.

故選：A.

5.（2023?全國?開灤第二中學?？寄M預測）在平行四邊形0AC8中，E是AC的中點，尸是3c邊上的點，

SLBC=3BF,若OC=mOE+九0/，其中m，n6/?,則?n+八的值為.

【答案】5

【分析1先以向，而｝為基底向量求而，而，聯(lián)立求解可得耐=3麗-*麗，麗=1而-1酮，再結(jié)合沅=

雨+而，代入運算即可得答案.

【詳解】由題意可得：OE=OA+AE=OA+^OB,OF=0B+BF=0B+^0A,

OE=OA+-OB(0A=-0E--OF

聯(lián)立1一一：一，解得一:一I一，

OF=OB+-OA[OB=-0F--0E

、3\S5

HOC=OA+OB=(|OE-|OF)+(|o?-|0E)=|OF+|OF,則m==|,

故m+n=|.

故答案為：g.

6.(2023秋?江蘇無錫?高一無錫市第一中學校考期末)如圖,在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點下

為線段50上的一個三等分點，且。F>F8,若/=xAE+yDC(x>0,y>0),則x+y=.

【分析】根據(jù)題意可知而=|而，屁覺，根據(jù)平面向量基本定理，將通用荏，配線性表示，根據(jù)兩個向量

相等即可得x,y的值，進而得出結(jié)果.

【詳解】解:由題知點F為線段30上的一個三等分點,所以麗=|而，

所以4F=4D+D尸=40+=40+：(ZX4+AB)

1—>2―>1—?—>、2―>1―1—>2—>

=三40+=-MzE4-ED)+-DC=-AE--DC-V-DC

333v73363

=-AE+-DC=xAE+yDC,

32z

因為荏，反不共線,所以％=I，y=g故％4-y=j.

326

故答案為:;

6

【考點2：向量線性運算的坐標表示】

【知識點：向量線性運算的坐標表示】

(1)向量加法'減法'數(shù)乘的坐標運算及向量的模

設(shè)4=(X1,Ji),b=(X2,yi),貝！I：

a+b=(xi+x2,ji+j2)>a—b=(xi—x2?ji—j2),2a=(2ri，即i),Ia|=A/=+W.

⑵向量坐標的求法

若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.一般地，設(shè)A(X1,yi),B(X1,J2),則溫'=。2

—Xl,J2—J1).

［方法技巧］

(1)向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求

向量的坐標.

(2)解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.

1.(2023?河北?高三學業(yè)考試)已知點4(1,2),B(-l,-2),則向量而的坐標為()

A.(2,4)B.(0,0)C.(-1,-1)D.(-2,-4)

【答案】D

【分析】由平面向量的坐標表示即可得出答案.

【詳解】已知點4(1,2),8(-1,-2),則向量荏=(一2,—4).

故選：D.

2.(2022秋?福建莆田?高二?？计谀?已知江=(2,l),d+3=6,貝吟=()

A.(—1,-2)B.(—1,2)C.(—2,1)D.(—2,—1)

【答案】D

【分析】根據(jù)5=一1求解即可.

【詳解】解：因為五=(2,1),d+b=G,所以B=—d=(―2,—1).

故選：D

3.(2023?河北?高三學業(yè)考試)已知向量日=(-1,2),3=(0,1)，則五-2石的坐標為()

A.(-1,1)B.(-2,3)C.(-1,4)D.(-1,0)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得結(jié)果.

【詳解】a-2b=(-1,2)-2(0,1)=(-1,0),

故選：D

TTTT

4.(2022?全國?高三專題練習)已知向量益=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),若c=Aa+fib,入

"國R,則為+"=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)平面向量加法的坐標表示，可列方程，可得答案.

【詳解】由己=府+防則(4,2)=由(1,1)+“(一1,1),即曾解得

故4+〃=2,

故選：D.

5.(2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第一二O中學?？计谀?已知點4(1,0),B(0,2),C(-l,-2),則以A,B,C

為頂點的平行四邊形的第四個頂點。的坐標為()

A.(0,-4)B.(2,4)C.(-2,0)D.(2,1)

【答案】ABC

【分析】將平行四邊行轉(zhuǎn)化為向量相等，通過向量的坐標表示可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)點。的坐標為(x,y)，

由于平行四邊形的四個頂點為4B,C,D,

所以可能有以下三種情形：

當而=配時，即(一1,2)=(-1一/一2一丫)，解得｛：=_04,即。的坐標為(°，-4)；

當麗=訪時，即(一l,2)=(x+l,y+2),解得｛］:］，即。的坐標為(—2,0)：

當前=而，KP(-2,-2)=(-x,2-y),解得;，即。的坐標為(2,4)；

故選：ABC.

6.(2023?高一課時練習)在A/1BC中，頂點4的坐標為(3,1),邊BC的中點。的坐標為(-3,1),貝必/lBC的

重心坐標為.

【答案】(-1,1)

【分析】設(shè)AABC的重心為G(x,y),則而=|而，即可得到方程組，解得即可.

【詳解】解：設(shè)A4BC的重心為G(x,y),則而=|而，

因為4(3,1),￡)(-3,1),

所以0-3/-1)=|(一6,0),即解得［上；，即G(T1)，

即^ABC的重心坐標為(一1,1).

故答案為：(—1,1)

7.(2023?高一課時練習)已知點4(-2,4),B(3,-l),C(-3,-4),設(shè)荏=優(yōu)前=幾不=乙且而=3落

CN=-2b,

(1)求3d+1一3&

(2)求滿足,=mb+的實數(shù)ni,n的值.

【答案】⑴(6,-42)

(2)m=-l,n=-1

【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標運算解決即可：(2)根據(jù)相等向量對應(yīng)坐標相等列方程組解決即可.

【詳解】(1)由題得，a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),

所以3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42)

(2)由(1)得，a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),

所以3=mb+nc=(-6m+n,—3m+8n)=(5,—5),

所以｛=解得｛m=一,，

l-3m+8n=-5In=-1

所以滿足G=mb+幾/的實數(shù)兀的值為m=-l,n=-1.

【考點3：向量模的坐標表示】

【知識點：向量模的坐標表示】

模\a|=yja-a\a|=N舟+"

［方法技巧］

求向量模的常用方法

(1)若向量。是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量。的?？芍苯永霉酵瑋=夜不了.

⑵若向量。"是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量。的?？蓱?yīng)用公式⑷2=小=q.*或±6)2

=a^±2a-b+b\先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解.

1.(2023春?河南洛陽?高三新安縣第一高級中學?？奸_學考試)已知向量日=(m,2),b=(1,1).若恒+山=

|a|+|b|,則實數(shù)m=()

A.2B,-2C.1D.-i

【答案】A

【分析】利用向量的坐標運算和模的計算即可求解.

【詳解】解析：根據(jù)題意，向量d==(1,1),則(+「=(m+1,3),

則|d+瓦=Vm24-2m+10,\a\=Vm24-4,|b|=V2.

若+瓦=|叫+向，則有+27n+10=Vm24-4+V2,

兩邊平方得到m+2=夜?V4+m2,再平方得到m?—4m+4=0,

解得?n=2.

故選：A.

2.(2022春?河南安陽?高一安陽縣第一高級中學?？茧A段練習)若0為坐標原點，OA==(：,p),

F(4,0),\AF\=m+l,\BF\=p+l,,則m+p的最小值是()

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示以及模長公式，可得出m+p的表達式，通過整體代換利用基本不等式和

二次函數(shù)單調(diào)性即可求得最小值.

【詳解】由題意知，AF=(4-n,-m),FF=(4-^,-p),

(4-n)2+m2=m2+2m+1

又|而|m+1』而|=p+1可得，/4?

1111](4—)+p2=p2+2p+l

整理得2(m+p)=彥+"—8(ri+3)+30,

令t=n+3，則n2+若=嚴—8,

nn2

且t€(—oo,-4]U[4,+8),

02(7n+p)=t2—8t+22=(t—4)2+6>6,

0m+p>3,即m+p的最小值是3.

故選：C

3.(2022春?江蘇南京?高一統(tǒng)考期末)在平面直角坐標系xoy中，點41,2)、8(2,3)、C(3,-1),以線

段AB,AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為一

【答案】V17

【分析】根據(jù)4L2)、8(2,3)、C(3,-1),得到而=(1,1),就=(2,-3),然后利用向量的加法和減法運

算法則求解.

【詳解】解：因為4(1,2)、8(2,3)、C(3,-1),

所以而=(.1,1),AC=(2,-3),

所以而+尼=(3,-2),屈-冠=(-1,4),

則辟+AC\=J32+(-2)2=V13,\AB-AC\=J(-l)2+42=V17,

所以以線段A8,AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為47,

故答案為：V17

4.(2022?全國?高三專題練習)如圖，在直角梯形4BCD中，AD||BC,AB1BC,AD=1,BC=2,P是線段AB

上的動點，則|定+4前|的最小值為.

【分析】以8點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)4B=a,BP=x(04x4a),寫出各點坐標，結(jié)合向

量加法以及模的坐標運算，運用二次函數(shù)的知識即可求出最小值.

【詳解】如圖，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)48=見82=穴04》《")，

因為4。=1,BC=2,所以P(0,x),C(2,0),C(La)，

所以正=(2,-x),PD=(l,a-x),4PD=(4,4a-4x),

所以同+4而=(6,4a-5x),所以|同+4PD\=,36+(4a-5x)2》6)

所以當4a—5x=0,即x時，|玩+4前|的最小值為6.

5.(2022?高一課時練習)已知O為坐標原點，。4=(-1,8),OB=(-4,1),OC=(1,3).求證：AABC是

等腰直角三角形.

【答案】證明見解析.

【分析】分別求出|荏尼近根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷選項.

【詳解】因為畫=(-1,8),0B=(-4,1)，0C=(1,3),

所以荏=麗-m=(-3,-7),AC=0C-0A=(2,-5),BC=0C-OB=(.5,2),

所以|南|=g+72=V58,|^C|=V22+52=V29,|BC|=V52+22=V29，

222

所以I而I=I而I+|BC|,fi|4C|=\BC\,所以△48C是等腰直角三角形.

6.(2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中)設(shè)向量五=(一1,2)石=(1,一1)1=(4,一5).

(1)求怔+2h|；

(2)若C=4五+"刃，X，nGR,求4+N的值；

【答案】⑴1;⑵2

【分析】(1)先求得益+2丸然后求得怔+2印

(2)根據(jù)3=，6+〃3列方程組，化簡求得尢”，進而求得

(l)a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|a+2b\=VT+0=1；

(2)(4,-5)=4(-1,2)+XI.-1)=(-A+%24—〃)，

所以［217==2解得：所以a+"2.

【考點4：向量數(shù)量積運算的坐標表示】

【知識點：向量數(shù)量積運算的坐標表示】

（1）向量數(shù)量積的坐標表示：若4=（X1,Jl）,b=（x2,J2）?則=XlX2+yi%

（2）五在行上的投影向量為1.等mcos值處總

1川網(wǎng)'/\b\

1.（2023春?四川?高三校聯(lián)考階段練習）已知A（l,0）,8（2,1）,C（4,3）,則（）

A.ABBC=6B.BC=2AB

C.ABCB=4D.BC=2BA

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積及線性運算的坐標表示計算即可.

【詳解】因為A。，。），3（2,1）,C（4,3）,

所以A3=（1,1）,BC=（2,2）,

所以BC=2A8，BC=—2BA，AB-BC=4,AB-CB=-4,

則ACD錯誤，B正確.

故選:B.

2.（2023?全國?模擬預測）已知向量。=（2,1）,6=（0,1）,若向量c滿足a-c=8，從c=2，則卜|=（）

A.13B.12C.V13D.2百

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積坐標運算求解即可.

【詳解】設(shè)向量c=（x,y）,

因為a.c=8，bc=2>

f2x+v=8fx=3

所以..解得

[y=2[y=2

所以c=（3,2）,故>=132+22=g,

故選：C.

3.（2023春?江蘇揚州?高三統(tǒng)考開學考試）平面向量a/滿足a+b=（3,-2）,“-匕=（l,x）,且&力=0,貝口

的值為（）

A.；B.-|C.±2石D.±2&

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示公式，結(jié)合平面向量線性運算的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】因為a+6=（3,-2）,a-b=（l,x）,

所LL以II"=1（2c,三-2+x｝、".=1（1A,丁—2-｝）

因為“力=0，

所以2>1+-2+*><二—"—=0=>x=±2-73,

22

故選：C

4.（2023秋?浙江紹興?高三統(tǒng)考期末）已知向量a=（百6）,c=S+6,若c在a方向上的投影

向量模長為1,則實數(shù)f的值為（）

,11

A.±1B.土一C.—1D.—

22

【答案】B

【分析】先求出C的坐標，再求出即得解.

【詳解】解：由題得c=?G,1）+（1,-G）=（6+i,f-石），

所以C/=K（而+1）+/_6=434|=7^77=2，

所以c在d方向上的投影向量模長為呼=團=1,解得f=士工

同2

故選：B

5.(2023秋?貴州貴陽?高三統(tǒng)考期末)已知向量”(1,3),〃+6=(—1,2),則°./,=.

【答案】-5

【分析】求出向量6的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得的值.

【詳解】因為4=(1,3),?+&=(-1,2),則匕=(-2,-1),因此，ab=-2-3=-5.

故答案為：—5.

6.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習)已知。=(1,0),〃=(1,1),則d在b上的投影向量為.

【答案】(不彳)

【分析】由投影向量的定義求結(jié)果即可.

【詳解】由題意，。在。上的投影向量為..箸=*.*=(；］)?

故答案為：W)

7.(2023秋?天津南開?高三南開中學?？茧A段練習)如圖，在邊長為1的正方形ABC。中，尸是對角線AC

2

上一點，且4P=1AC,則，若點M為線段8。(含端點)上的動點，則MP.〃笈的最

22

【分析】建立平面直角坐標系，求得正方形各頂點坐標，利用向量的坐標運算求得可得DP,BP的

坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，求得￡>P.8P；設(shè)。M=%。8=(；1,-71),04人41,表示出可得

坐標，繼而求得“p.A仍的表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得MPM2的最小值.

【詳解】如圖，以A為原點，4B所在直線為x軸，A力所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則40,0),3(1,0),

0AC=(1,1),

團P是對角線AC上一點，且AP=(2AC=(：2q2),可得Pg2，：2)

2332

3號？BP=(W

0DPBP=|x(-1)+(-|)x|=-^;

因為點例為線段8。(含端點)上的動點，則設(shè)Z)M=/IZ)8=：(2,-A),0<A<l,

故㈤，

所以MP=(1—4,4—q)，MB—(1—Z,71—1),

故MP-MB=(g—九幾一—%?1?—1)=2彳-—34+1=2(2

8，

3311

由于。W"L所以彳二時，久"/一W取到最小值-二

即的最小值為，

O

121

故答案為：——;--

【考點5：向量平行的坐標表示】

【知識點：向量平行的坐標表示】

設(shè)4=(X1,Ji),b=(X2,J2)?其中則a〃〃0X1,2—X01=O.

［方法技巧］

前面商量至標運直前及再一

(1)向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求

向量的坐標.

(2)解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.

1.(四川省成都市2020-2021學年高一下學期期中數(shù)學文科試題)已知向量旨=(2,3),K=(4,n),a\\b,

則實數(shù)〃的值為().

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示即可求解.

【詳解】d\\b,2n—12=0,解得n=6.

故選：D

2.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知m>0,平面向量,=(而+2,m),K=(A,1).若到/床則實數(shù)2的

取值范圍是.

【答案】［2夜,+8)

【分析】利用向量平行的坐標表示以及基本不等式即可求解

【詳解】由d=(巾2+2,m),b-(A,1),a//b,得nU=m2+2,

因為m>0,所以;1=巴*=m+222VL當且僅當m=四時取等號，

mm

所以實數(shù)4的取值范圍是［2企,+8).

故答案為：［2夜,+8).

3.(2023?江西上饒?統(tǒng)考一模)已知向量方=(3,m—3),BC=(2,4),若4B,C三點共線，則m=.

【答案】9

【分析】由三點共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標運算得答案.

【詳解】三點共線，

麗與前共線,

二3X4=2(m—3),解得m=9.

故答案為：9.

4.(2023?四川南充?四川省南部中學?？寄M預測)已知向量己=(1,3)1=(3,4),若(小日一石)〃伍+2司,

則?n=________

【答案】

【分析】求出向量小江-32+2了的坐標，然后利用向量平行的坐標公式計算即可.

【詳解】由已知md—b=(m—3,3m—4),a+2h=(7,11),

又(巾2—S)//(d+2h),

???ll(m—3)=7(3m—4),

解得m=-,

故答案為：—

5.(2022秋.江西吉安.高二江西省吉水縣第二中學?？奸_學考試)已知五=(1,0)1=(2,1).

(1)當k為何值時，12-3與6+2?共線？

⑵若四=2&+3石,豆？=&+加3且48,C三點共線，求m的值.

【答案】⑴々=一［

喝

【分析】⑴根據(jù)向量共線坐標表示即可求；

(2)三點共線可轉(zhuǎn)化為向量共線，再根據(jù)向量共線坐標表示即可求.

【詳解】(1)ka-b=fc(l,0)-(2,1)=(fc-2,-1),

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因為kd-族與&+23共線，

所以2(k-2)-(-1)x5=0,解得k=-i

故當/c=-1時，k,一B與d+共線.

(2)因為A,B,C三點共線，，與B不共線，

所以存在實數(shù)2,使得同=ABC(AGR),

即2d+3B=am+mB),

整理得(8,3)=(2+2mA,mA),

所以p+2mA=8,解得7n=?故血的值為?

lmA=322

【考點6：向量垂直的坐標表示】

【知識點：向量垂直的坐標表示】

XlX+jlj2=0

akba?b=02

［方法技巧］

平面向量垂直問題的類型及求解方法

(1)判斷兩向量垂直

第一，計算出這兩個向量的坐標；

第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.

(2)已知兩向量垂直求參數(shù)

根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù).

［提醒］注意了1力一X2jl=0與*1*2+山了2=0不同，前者是兩向量。=(*l,)1),b=(X2,72)共線的充要

條件，后者是它們垂直的充要條件.

1.(2023?甘肅蘭州??？寄M預測)已知向量&=(-4,m),B=(1,-2),且(3-2］)1另，則m=()

A.-7B.7C.12D.-5

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量垂直的數(shù)量積為0求解即可.

【詳解】由題意,a—2b=(—6,m+4),又(d—2%)1石，Sfc(a—2b)-b=0,

即(-6,m+4)?(L—2)=0,—6—2(m4-4)=0,解得m=-7.

故選：A

2.(2023秋?云南?高一云南師大附中?？计谀?設(shè)向量G=(l,cos0),3=(sin20,-cos0),則1加是"tan。=

包的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由向量垂直的坐標表示結(jié)合充分必要條件的定義判斷.

(詳解］a1b<=>sin20—cos20=0=2sin0cos0—cos20=0=2sin9=cos?；騝os。=0=tan。=:或

cos。=0,

故選：B.

3.(2023春?江蘇南京?高三南京師大附中?？奸_學考試)已知向量①片的夾角的余弦值為|,(a-3b)1(a+

36),\b\=1,則伍-3)j=()

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】C

【分析】可由題意設(shè)出d=(x,y),b=(1,0),由(1一3&1(a+3h),根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得①一3另)?伍+

3fe)=x2+y2-9=0,再由向量，石的夾角的余弦值為“可解得x=2,再代入求解即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)日=(x,y),b=(1,0),

則d+3另=(%+3,y),a-3b=(x-3,y),

由(d—3h)1(d+3b),可得(d—3b)?(a+36)=%24-y2—9=0,即％2-j-y2=9,

又由】=x=9解得x=2,

所以(W—.G=W?B一向2=2—1=1.

故選：c.

4.(2022秋?北京?高二北京市第五中學?？计谀?已知向量方=(1,2),AC=若而_1,石，則

府+9碼=-----------?

【答案】|

【分析】利用平面向量垂直的坐標表示求得m,再利用平面向量線性運算和模的坐標表示求得結(jié)果.

【詳解】向量血=(1,2),AC=(3,m),若荏J.而，有l(wèi)x3+2m=0,m=-|,AC=(3,-|).

布+押=(1,2)+[(3,-|)=Q|),

網(wǎng)+網(wǎng)=上+(|)2=*

故答案為：!

5.(2022春?北京順義?高一北京市順義區(qū)第一中學?？茧A段練習)已知向量日=(-1,3).b=(1,2).

⑴求五-b\

⑵求12a-可及日在另上的投影向量的坐標；

(3)(a-mb}1a,求〃?的值.

【答案】⑴5

(2)|2a一同=5,二在3上的投影向量的坐標為(1,2)

⑶771=2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可；

(2)根據(jù)向量坐標的線性運算求解*-3的坐標，即可得12a-同；按照投影向量的定義列式求解即可；

(3)由向量垂直得數(shù)量積為零，進行計算即可得〃?的值.

【詳解】(1)已知向量a=(-1,3),b=(1,2),所以a=-lx1+3x2=5；

(2)\2a-b\=|2(-1,3)-(1,2)|=|(-3,4)l=V(-3)2+42=5,

乂1在3上的投影向量的坐標為|d|cos值分?卷=潦?B=看?(1,2)=(1,2)

(3)因為—mb')1a.,所以(G—mb)-a=a2-ma-b=(—I)2+32—5m=0,解得m=2.

6.(2023?高三課時練習)已知平面向量2=(但一1),b=g,f),若存在不同時為零的實數(shù)上和f,使"

a.+(t2—3)b,y=-ka+tb,.Ex1y.

⑴試求函數(shù)關(guān)系式k=/Q)；

(2)求使/(t)>0的t的取值范圍.

【答案】(l)f(t)=?Q2—3)

(2)-V3<t<0或t>V3.

【分析】(1)根據(jù)M?y=0列方程即可得出左關(guān)于/的函數(shù)/(t)；

(2)解不等式得出f的范圍.

【詳解】(1)由d=(V5,—1),B=G，￥)，得2i=0,|a|=2,|fe|=1.

因為￡1y,所以￡.歹=忖+(t2—3)&]-[—ka+tb)=-ka.2+[t—k(t2—3)]a-b+t(t2—3)b2

=—4k+t3—3t=0,于是k=；t(t2—3),即f(t)=；t(t2-3).

(2)由/'(t)>0,得：t(t2-3)>0,Wt(t+V3)(t-V3)>0,解得一H<t<0或t>b.

【考點7：向量夾角的坐標表示】

【知識點：向量夾角的坐標表示】

a-bA-ViX+jlj2

夾角2

1刑"yjxi+yi-\jxi+yi

［答案I(1)D(2)苧

I方法技巧]求解兩個非零向量之間的夾角的步驟

第一步由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積

第二步分別求出這兩個向量的模

根據(jù)公式cos0—修4一片客■含J求解出這兩個向量夾角的余弦值

第三步忖忖yjxi+y^xi+yi

第四步根據(jù)兩個向量夾角的范圍是［0,用及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角

1.(2023秋?浙江?高三浙江省永康市第一中學校聯(lián)考期末)已知向量二=(-1,0),b=(x,l-x),則x>0是

向量心族夾角為鈍角的()

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.必要不充分條件D.充分不必要條件

【答案】C

【分析】若向量入石夾角為鈍角，則滿足L上紇。K、，求出X的范圍，然后驗證充分性與必要性.

(a豐Xb{bH0)

［詳解］vb=(x,1—x),???IH6

又因為向量作族夾角為鈍角

所以滿足發(fā)一)

所以x>0且x*1

因為x>0推不出x>0且XR1,所以充分性不成立

又因為x>0且x于1能推出x>0,所以必要性成立

所以x>0是向量出坂夾角為鈍角的必要不充分條件

故選：C

2.(2022秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習)已知平面向量N=(1,3),b=(-3,4).c=(7,2),則下列結(jié)論正

確的是()

A.a-b=-15B.|a+6+c|=5A/5

c.a+辦與a的夾角為鈍角D.a+3與乙垂直

【答案】D

【分析】對于A直接利用數(shù)量積的坐標運算計算判斷；對于B利用向量模的公式來計算判斷；對于C通過

計算g+B)?a的正負來判斷；對于D通過計算g+B)?而勺值來判斷.

【詳解】對于A：a-b=-3+12=9,A錯誤；

對于B：\a+b+c\=|(5,9)|=V25+81=V106,B錯誤；

對于C：(a+b)-d=(-2,7)(1,3)=-2+21=19,則cos(G+>0,故G+B與益的夾角不

為鈍角，C錯誤；

對于D：(a4-h)-c=(-2,7)?(7,2)=—14+14=0,則Q+h)±c>D正確；

故選：D.

3.(2023?全國?高三專題練習)已知,=(招1),6=(2,2%+3),若乙族的夾角為鈍角，則》的取值范圍為()

A.(一：,+8)B.(—8,—2)U(―2,一：)

U(-8,-3D.(-2,-：)U(-*,+8)

【答案】B

【分析】根據(jù)cos<a,b>=^<0和,石不共線可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

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