人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)（全冊(cè)版）

人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(必修+選修)

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aeM,或者。史兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛Jdx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

⑴AqA

AcB

A中的任一元素都屬(2)0oA

子集(或

于B⑶若AqB且區(qū)口。，則

B^A)

(4)若AqB且BqA,則A=3或

ACB(1)0uA(A為非空子集)

A旦B,且B中至*

真子集(或

少有一元素不屬于A⑵若Au3且BuC,則AuC

BZ5A)***

手

A中的任一元素都巧

集合(l)AOB

于B,B中的任一元

相等A=B(2)BOA

素都屬于A

(7)已知集合4有〃(〃21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"—1個(gè)真子集，它有2"—1個(gè)非空子

集，它有2"-2非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(1)AA=A

{x|A,且(2)A0=0

交集AB

xeB}(3)ABA

ABqBCD

(1)AA=A

{x|A或(2)A0=A

并集AB

XGB}(3)AB^A

AB=B

1A&A)=02A&A)=U

{x\xeU,^bc^A}骸A8)=(〃A)&B)u

補(bǔ)集Q)

秒A8)=((%B)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a{a>0){x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)X|XV-Q或X>Q}

把ox+b看成一個(gè)整體，化成|x|<a,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=/?2-4ac

\/

二次函數(shù)

V

y=ax2+Zz￥+c(。>0)

0

的圖象十0

2

一元二次方程-b±ylb-4ac

x

1\?=---------------b

ax+/zr+c=0(a〉())“2a一五無實(shí)根

的根(其中玉

<x2)

cue+/zx+c>()(.>())t,b、

{1|X<用或%>工2}{x|}R

的解集2a

ax2+/zx+c<0(a>0)

{x\X1<X<x2]00

的解集

n.22函數(shù)及其表示

［1.2.1］函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合

B中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及4到8的對(duì)應(yīng)法

則f)叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作了:AfB.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)。力是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且。<匕，滿足。<無<6的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［a,勿；滿足

a<x<。的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,8)；滿足或的實(shí)數(shù)x的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做(a,b］；滿足了2。,%>。,％<"》<力的實(shí)數(shù)》的

集合分別記做［a,+8),(a,+co),(-8,)］,(TO,Z?).

注意：對(duì)于集合｛x|a<x<)｝與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于6,而后者必須

a<b.

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(X)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(X)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

兀

⑤y=tan無中，xk/r+—(keZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)、則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)椋踑力］,其復(fù)合函數(shù)

/Tg(x)］的定義域應(yīng)由不等式a<g(x)W人解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)

最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是

提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)

的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(X)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

?(y)x2+b(y)x+c(y)-0,則在a(y)rO時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有

A=從(y)—4a(y)?c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B中都

有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合

A到B的映射，記作

②給定一個(gè)集合A到集合8的映射，且如果元素a和元素。對(duì)應(yīng)，那么我們把元

素〃叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某/(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)利用已知函數(shù)的

的值X1>X2,當(dāng)Xi<和時(shí)，都f(xj單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

有f(Xi)<f(x2),那么就說~f(xj

(在某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函

象上升為增)

藜.0

函數(shù)的x(x,X(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性

如果對(duì)于屬于定義域1內(nèi)某y=f(x)(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量(2)利用已知函數(shù)的

的值Xi、X”當(dāng)Xi<》時(shí)，、單調(diào)性

f(x,)A.

(3)利用函數(shù)圖象

都有f(x,)>f(x2),那么就說

(在某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函

象下降為減)

[)

數(shù).X,X,X(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)

為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/Tg(x)］,令"=g(x),若y=/(〃)為增，M=g(x)為增，則

y=/［g(x)］為增；若y=/(〃)為減，a=g(x)為減，則y=/［g(x)］為增；若y=/(〃)

為增，“=g(x)為減，則y=/［g(x)］為減；若y=/(〃)為減，“=g(x)為增，則

y=/[g(x)]為減.

(2)打"J"函數(shù)/(X)=%+—(?>0)的圖象與性質(zhì)

x

/(X)分另!］在(-00,一?卜［G,+8)上為增函數(shù)，分另IJ在

0)>(O,JZ］上為減函數(shù).

oV?

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的一2而

xel,都有f(x)<M

(2)存在使得/(Xo)=M.那么，我們稱〃是函數(shù)/(%)/

的最大值，記作=

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足：(1)對(duì)于任意的

x&I,都有/(%)>m；(2)存在x()e/,使得于(％)=m.那么，我們稱機(jī)是函數(shù)/(x)的

最小值，記作&(幻=加?

［1.3.2］奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)V(1)利用定義(要先

任意一個(gè)X,都有f(—x)=—(a.f(a))判斷定義域是否關(guān)于

ZT-原點(diǎn)對(duì)稱)

函數(shù)的，⑶，那么函數(shù)f(x)叫做奇明

一a(2)利用圖象(圖象

奇偶性￡oax

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(-a.f(-a))

如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)（1）利用定義（要先

任意一個(gè)x,都有f（y判斷定義域是否關(guān)于

那么函數(shù)f（x）叫做(-a.f(-a))1(a,f(a))原點(diǎn)對(duì)稱）

（2）利用圖象（圖象

假喀婁C.

工二關(guān)于y軸對(duì)稱）

-aoa、

②若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/（0）=（）.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在>'軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)

（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識(shí)》函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域：②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

y=/(x)〃>o,左移/?個(gè)單位=/(%+〃)

〃<0,右移㈤個(gè)單位

y=/(x)—需微露潞—y=/(x)+女

，JZv(),卜移1kli半包.J」

②伸縮變換

)0<灰1,伸

y=f(x。>1,縮

y=f(x)°<^>y=Af(x)

③對(duì)稱變換

>=/(X)3Uy=—/(%)y=f(x)-'軸>y=f(-x)

y=/(x)直綣>y=/T(x)

y=/(%)—M也-y=

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)?y=/(|x|)

保留.V軸右邊圖象，并作其關(guān)于.V軸對(duì)稱圖象

v-f（x\保留Zih卜.方圖象、v_|agI

y_?/o）將x軸下方囪篆翻折上去,0TJWI

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途

徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aw足xwR〃>1,且〃eN卡,那么x叫做。的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)

時(shí)，a的“次方根用符號(hào)標(biāo)表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的〃次方根用符號(hào)后表示，負(fù)的

〃次方根用符號(hào)一折表示；o的〃次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有〃次方根.

②式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為任意實(shí)數(shù)；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a>0.

③根式的性質(zhì)：（折）"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，V/=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

yfd'=\a\="(?>O)

—ci3<O)

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)箱的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的意義是:?！?〃wN+，且〃>1）.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

基等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)辱的意義是：a-=（_1"=?。╛1）"'3>0,/〃,〃€乂，且”>1）.o

aVa

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鼎沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

①ar?as=d+s{a>0,r,seR)②(ar)s=a'、(a>0,r.seR)

③(〃/?)'=aE(a>0,b>0,rwR)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

值域(0,+00)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

相>1(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的ax=1(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a變化對(duì)圖象的

在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

影響

K2.22對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若a'-N(a>0,且a。1),則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log,,N,其中a叫做底

數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log,,No優(yōu)=N(a>0,aw1,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log,,1=0,log“a=l,log"a"=從

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN,即logioN：自然對(duì)數(shù)：InN,即logeN(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果。>0,N>(),那么

M

①加法：logaM+log(,N=log(,(MN)②減法：log“M-log?N=log”—

③數(shù)乘：nlog”M-log“@a'OSu'v=N

⑤log"=3og“R)⑥換底公式：log“N=”(b>0,且L￥1)

"blog%a

[2.2.2]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log”x(a>0且aw1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

圖象a>\0<a<1

1X=1JiX=1

yiy=log”*yiy=1砥*

Ju

\；(1,0)

：

0/(1,0)x0\X

定義域/!(0,+8)

值域1'R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,4-00)上是減函數(shù)

log?x>0(x>l)log((x<0(x>l)

函數(shù)值的logx=0(x=l)log“x=0(x=l)

變化情況a

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的

在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低：在第四象限內(nèi)，。越大圖象越靠高.

影響

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=/(x)中解出x,得式子

x=e(y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過式子x=g(y)，》在A中都有唯一確定的值和

它對(duì)應(yīng)，那么式子x=°(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=Q(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記

作尤=習(xí)慣上改寫成y=f~'(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=7"(y)改寫成y=/''(%)，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(X)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)y=廣'(%)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)黑函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做某函數(shù)，其中尤為自變量，a是常數(shù).

(2)基函數(shù)的圖象

（3）箱函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第?、二、三象限，第四象限無圖象.哥函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第

一、二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；是非奇非

偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過定點(diǎn)：所有的簿函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)（1,1）.

③單調(diào)性：如果a>0,則塞函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在［0,+8）上為增函數(shù).如果a<0,則環(huán)函數(shù)

的圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近無軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)。為偶數(shù)時(shí)，黑函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)a="（其中

P

互質(zhì)，〃和qeZ）,若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x"是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則

y=是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則丁=犬，'是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：轅函數(shù)丁=%”,%€（0,+8）,當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方一，

若x>l,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)。<1時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若

%>1,其圖象在直線y=x下方.

K補(bǔ)充知識(shí)》二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/（%）=辦2+法+以“。0）②頂點(diǎn)式：/（X）=a（x—。）2+攵（a。0）③兩根式:

/（X）=a（x-）（x-x2）（?0）（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與無軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)、選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

b

①二次函數(shù)/（幻="2+法+式。。0）的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=----，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2

（一—~~,

2a4。

②當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在（一8,-2］上遞減，在［-2,+8）上遞增，當(dāng)了=-2

2a2a2a

4-cic—〃b

時(shí)，ZninW=-------；當(dāng)Q＜°時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在（一8,——］上遞增，在

4a2a

b。、^ac—b~

r［一+00）上遞減，當(dāng)％=一丁時(shí)，/回（x）=----.

2a2a4a

：

③二次函數(shù)/。）=?1?+歷|（：+或4：/：0）當(dāng)A=萬-467。＞0時(shí)，圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

MG，0）,MG,0）,|MMHXfl=f--

l?l

（4）一元二次方程a?+次:+c=0（a，0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚

不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)

用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析?元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程以2+灰+。=0（。#0）的兩實(shí)根為大，”2，且王4工2?令

f（x）^ax2+bx+c,從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：a②對(duì)稱軸位置:

b

x=——③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

@Xi<k,<X2af(lc)<0

④LVxiWx2V他U*

⑤有且僅有一個(gè)根X.(或xj滿足k〈X,(或照)<k2<=>/a.)M)<0,并同時(shí)考慮

/(^)=0或/仇)=0這兩種情況是否也符合

⑥kiVxVkWpVx2Vp士<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aw0)在閉區(qū)間［p.q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令玉)=；(〃+9).

(I)當(dāng)〃>0時(shí)(開口向上)

hbhh

①若----<〃，則〃2=/(p)②若p<-----<9，則加=/(-----)③若-----，則

2a2a2a2a

m=于⑷

-

-

-

T

勛…什b

，③右------>q,

；/2a

(

X

！

①若----<*0，則加=/(q)②——>玉)，

2a2a

z

l

\-

kXXXxXXXXXXXXX\XXXXX\xxxxXX\XXXXXXX\XXXXXX\X\X\XXX、\K\、\、\v\、\、\

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe0),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y-/(x)(xeD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)

的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/（x）=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/O）有零

點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)>=/（X）的零點(diǎn)：

①（代數(shù)法）求方程y（x）=o的實(shí)數(shù)根；

②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)^=/（X）的圖象聯(lián)系起來，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y-ax2+bx+c（a豐0）.

i）△>o,方程ax?+Z?x+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與無軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2）△=o,方程ax?+/JX+C=（）有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)

交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3）△<o,方程ax?+/?x+c=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零

點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

i.i柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積5=2科/+2嘲錐的表面積5="/+勿二

4圓臺(tái)的表面積S="/+制？+乃R/+%R25球的表面積S=4成2

(-)空間幾何體的體積

1柱體的體積丫=5底X〃2錐體的體積丫=!5底'/2

3臺(tái)體的體積V=；(S上+JS上S0+S下)》14球體的體積V=g%R*

第二章直線與平面的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1C

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

A

2平面的畫法及表示

<1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成?個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長

(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面。、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的

四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號(hào)表示為

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,

使Ada、Bea、Cea。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它勺

符號(hào)表示為：PWaCB=>aCip=L,且PWL

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

/日交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線S

'，行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同?條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b}=>a//c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)0-一般取在兩直

線中的一條上；7T

②兩條異面直線所成的角。e(0,)；2

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3一2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示，

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

aac―

bBU=>a7/a

a〃b一

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

aU、

bC

aClb=