高中數(shù)學《條件概率》教案、導學案與同步練習

《7.1.1條件概率》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布

列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學習條件概率.

學生已經(jīng)學習了有關概率的一些基礎知識，對一些簡單的概率模型(如古典概型、幾何概

型)已經(jīng)有所了解。條件概率是學生接觸到的又一個全新的概率模型。

一方面，它是對古典概型計算方法的鞏固，另一方面，為后續(xù)研究獨立事件打下良好基

礎。這一概念比較抽象，學生較難理解。遇到具體問題時，學生常因分不清是P(B|A)還

是P(AB)而導致出錯?；诖耍诒竟?jié)的教學中，應特別注意對于條件概率概念的生

成，借助圖示形象直觀地展現(xiàn)條件概率概念的生成過程。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

A.通過實例，了解條件概率的概念；1.數(shù)學抽象：條件概率的概念

B.掌握求條件概率的兩種方法；2.邏輯推理：條件概率公式的推導

C.能利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題；3.數(shù)學運算：運用條件概率公式計算概率

D.通過條件概率的形成過程,體會由特殊到一般的思4.數(shù)學建模：將相關問題轉(zhuǎn)化為條件概率

維方法.

【重點與難點】

重點：運用條件概率的公式解決簡單的問題

難點：條件概率的概念

【教學過程】

教學過程教學設計

一、問題導學

在必修“概率”一章的學習中，我們遇到過求同一實驗中兩個事件A開門見山，提出問

與B同時發(fā)生(積事件AB)的概率的問題，當事件A與B相互獨立時，題.

有

P(AB)=P(A)P(B)

如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢？下面我們從具

體問題入手.

一、新知探究

問題1.某個班級有45名學生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人

數(shù)如表所示，通過生活中的問題

在班級里隨機選一人做代表，情境，引發(fā)學生思

(1)選到男生的概率是多大？考積極參與互動，

(2)如果已知選到的是團員，那么選到的是男生的概率是多大？說出自己見解。從

團員非團員合計而建立條件概率的

概念，發(fā)展學生邏

男生16925

輯推理、數(shù)學運

女生14620算、數(shù)學抽象和數(shù)

學建模的核心素

合計301545

養(yǎng)。

隨機選擇一人作代表，則樣本空間。包含45個等可能的樣本點.用A表

示事件“選到團員”，B表示事件“選到男生”，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可

以得出n(Q)=45,n(A)=30,n(B)=25.

(1)根據(jù)古典概型知識可知選到男生的概率

p(B)=幽=至=三

(2)“在選擇團員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的

條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A).此時相當以A為樣本空

間來考慮B發(fā)生概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB,包含

了樣本點數(shù)n(AB)=16.根據(jù)古典概型知識可知：P(B|A)=嚶=

n(A)

16__8_

30-15,

問題2.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭，

隨機選一個家庭，那么

(1)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又

是多大？

觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩，則樣本空間Q=

{bb,bg,gb,gg},且所有樣本點是等可能的.用A表示事件“選擇家庭中有

女孩”，8表示事件“選擇家庭中兩個孩子都是女孩"，A=

{bg,gb,gg},B={gg}.

(1)根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個小孩都是女孩的概率

P(B)=喘=

n(Q)4

(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩”的概率就

是在“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A),

此時A成為樣本空間，事件B就是積事件AB,根據(jù)古典概型知識可知

P(B1A)=需.

分析：求P(B|A)的一般思想

讓學生親身經(jīng)歷了

從特殊到一般，獲

得條件概率概念的

過程。發(fā)展學生邏

輯推理，直觀想

因為已經(jīng)知道事件A必然發(fā)生，所以只需在A發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問

象、數(shù)學抽象和數(shù)

題，即現(xiàn)在的樣本空間為A.因為在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，

學運算的核心素

等價于事件A和事件B同時發(fā)生，

養(yǎng)。

即AB發(fā)生.所以事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率

P(B|A)=叢吧.

n(A)

為了把這個式子推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為W,則有

n(AB)

P(B|A)=疆=鬻

nm

一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條

件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(B|A),

而且P(B|A)專翁.

問題1.如何判斷條件概率？

題目中出現(xiàn)“在已知……前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等

關鍵詞,表明這個前提已成立或條件已發(fā)生,此時通常涉及條件概率.

問題2.P(B|A)與P(A|B)的區(qū)別是什么？

P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率.

通過概念辨析，讓

P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率.

學生深化對條件概

條件概率與事件獨立性的關系

率的理解。發(fā)展學

探究1：在問題1和問題2中，都有P(B|A)WP(B).一般地，P

生邏輯推理，直觀

(B|A)與P(B)不一定相等。如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件

想象、數(shù)學抽象和

A與B應滿足什么條件？

數(shù)學運算的核心素

直觀上看，當事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)

養(yǎng)。

生的概率，

這等價于P(B|A)=P(B)成立.

事實上，若事件A與B相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B),

且P(A)>0,則

P(B|A)=靄=歿舞P(B)；

反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,則

PQ4B)

P(B)=^T^=P(AB)=P(4)P(B)

探究2：對于任意兩個事件A與B,如果已知P(A)與P(B|A),如何

計算P(AB)呢？

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A).

我們稱上式為概率的乘法公式(multiplicationformula).

條件概率的性質(zhì)

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).

設P(A)>0,則

⑴P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|

A)；

(3)設B和月互為對立事件，則P(分|A)=1-P(B|A).

三、典例解析

例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道

題，抽出的題不再放回.求：

(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個通過典例解析，讓

事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先學生體會利用二項

求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概式系數(shù)的性質(zhì)，感

率，再用乘法公式求積事件的概率.受數(shù)學模型在數(shù)學

解法1：設A="第1次抽到代數(shù)題"，B=”第2次抽到幾何題”。應用中的價值。發(fā)

(1)“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試展學生邏輯推理，

題中每次不放回地隨機抽取2道，試驗的樣本空間Q包含20個等可能直觀想象、數(shù)學抽

的樣本點，即n(0)=魅=5x4=20。象和數(shù)學運算的核

因為n(AB)=AlXAl=3x2=6心素養(yǎng)。

P(AB)=嚶=2=三.

n(Q)2010

(2)“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就

是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。顯然P(A)=|.利用條件

概率公式，得P(BA)=喑=|=今

解法2：在縮小的樣本空間A上求P(B|A).已知第1次抽到代數(shù)題，

這時還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生

的條件下，事件B發(fā)生的概率為P(B|A)=i.

又P(A)=|,利用乘法公式可得

P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=—

5210.

從例1可知，求條件概率有兩種方法：

方法一：基于樣本空間。，先計算P(A)和P(AB),再利用條件概率

公式求P(B|A)；

方法二：根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本

空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率。

例2：已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學依次不放回

地各隨機抽取1張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎？

解：用A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則B=/B,C=

4B.PQ4)*;

211

P(B)=P(方B)=P(J)P(Bm)=-x-=-

__211

P(C)=P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-

因為P(A)=P(B)=P(C),所以中獎的概率與抽獎的次序無關。

例3:銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢

時，忘記了碼的最后1位數(shù)字.求：

(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；

(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率。

解：(1)設Ai="第i次按對密碼"(i=l,2),則事件“不超過2次

就按對密碼”可表示為人=人1司人.

事件A與事件不'A互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得

112

P(A)=P(A)+P(兀A)=P(A)+P(北)P(A|A：)

1121121

1,911

——HX-=一

101095

因此，任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為2

(2)設8="最后1位密碼為偶數(shù)”，則

P(A|B)=P(A|B)+P(A7A|B)=!+%~

11255x45

因此，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率為|.

跟蹤訓練1.一個盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管，任取兩次,每次

取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的

概率.

解:方法一(定義法)

設A：=｛第i只是好的｝(i=l,2).由題意知要求出P(AzA).因為

P(A=2,P(AA)=3

10510X93

所以P(A.Ai)=胎竽=：.

方法二(直接法)

因為事件Ai已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件A2發(fā)生便可,在A.發(fā)生的

條件下,盒中僅剩9只晶體管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以

P(A2|A,)=^=^.

n(A)9

三、達標檢測

1.已知P(AB)=1,P(A)=|,則P(BIA)等于()通過練習鞏固本節(jié)

所學知識，通過學

A.-B.-C.-D.-

6101010

生解決問題，發(fā)展

解析:P(B：A)=^=]=a

r\A)-O學生的數(shù)學運算、

5

答案:A邏輯推理、直觀想

2.下列說法正確的是()象、數(shù)學建模的核

A.P(A|B)=P(B|A)心素養(yǎng)。

B.P(B|A)>1

C.P(ADB)=P(A)?P(B|A)

D.P((AAB)|A)=P(B)

解析：由P(B|A)丹黑知,P(AAB)=P(A)?P(B|A).

答案:c

3.設A,B為兩個事件,若事件A和B同時發(fā)生的概率為白在事件A發(fā)生

10

的條件下,事件B發(fā)生的概率為今則事件A發(fā)生的概率為__________.

解析：由題意知,P(AnB)磊,P(B|A)=|.由P(B1A)=今等,得

P(A)=e=2

P(BA)5

答案:|

4.某氣象臺統(tǒng)計,該地區(qū)下雨的概率為白刮四級以上風的概率為既刮

四級以上的風又下雨的概率為9設A為下雨,B為刮四級以上的風,求

P(B|A).

解：由題意知P(A)=,P(AnB)=,故P(B|A)=?^=^=W

1510PS)M8

5.在100件產(chǎn)品中，有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩

次,每次任取1件產(chǎn)品.試求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

分析：由題意可知，100件產(chǎn)品中共有5件不合格品,不合格率為高.在

第一次取到不合格品的條件下，第二次又取到不合格品的概率為條件概

率.

解:設第一次取到不合格品為事件A,第二次取到不合格品為事件B,則

⑴P(A)端=0.05.

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,還剩下99件產(chǎn)品,其中有4件不

合格品,95件合格品，于是第二次又取到不合格品的概率為總由于這是

99

一個條件概率，所以P(B|A)=.

99

方法二:根據(jù)條件概率的定義,先求出事件A,B同時發(fā)生的概率

P(AB)=-^-=—,

495'

所以P(B|A)=^=^=2

100

6.在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題,若考生至少答對其

中的4道題即可通過;若至少答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能

答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成

績的概率.

解:設事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中

5道題而另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題而另2道題

答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這

次考試中獲得優(yōu)秀”，則A,B,C兩兩互斥，且D=AUBUC,E=AUB,由古典

概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=單+娶!!+立黛=空譽,P(E|D)=P(AUB|D)=P(AD)+P(B|D)

C20QoC20Qo

2102520

二"2,+則L-__￡lo_?0%,一12即所求概率為U

P(D)+P(D)一中十中—58'叩力水慨手力58.

C20C20

四、小結(jié)

r條件概率的定義通過總結(jié)，讓學生

條件

進一步鞏固本節(jié)所

概率

條件概率公式學內(nèi)容，提高概括

能力。

【教學反思】

本節(jié)課需要學生探究的內(nèi)容比較多，由于學生的數(shù)學基礎比較薄弱，所以在教學過程中教

師不僅要耐心的指導，還要努力創(chuàng)設一個輕松和諧的課堂氛圍，讓每個學生都能大膽的說

出自己的想法，保證每個學生都能學有所得。為了讓每個學生在課上都能有話說，還需要

學生做到課前預習，并且教師要給學生提出明確的預習目標。進一步發(fā)展學生直觀想象、

數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

《7.1.1條件概率》導學案

【學習目標】

1.通過實例，了解條件概率的概念；

2.掌握求條件概率的兩種方法；

3.能利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題；

4.通過條件概率的形成過程，體會由特殊到一般的思維方法.

【重點與難點】

重點：運用條件概率的公式解決簡單的問題

難點：條件概率的概念

【知識梳理】

1.條件概率

一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的

概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)岑粵.

2.概率的乘法公式

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(BA).

我們稱上式為概率的乘法公式(multiplicationformula).

3.條件概率的性質(zhì)

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).

設P(A)>0,則

(1)P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)設B和B互為對立事件，則P(B|A)=1-P(BA).

【學習過程】

一、問題探究

在必修“概率”一章的學習中，我們遇到過求同一實驗中兩個事件A與B同時發(fā)生(積事

件AB)的概率的問題，當事件A與B相互獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢？下面我們從具體問題入手.

問題1.某個班級有45名學生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人數(shù)如表所示,

在班級里隨機選一人做代表，

(1)選到男生的概率是多大？

(2)如果己知選到的是團員，那么選到的是男生的概率是多大？

團員非團員合計

男生16925

女生14620

合計301545

問題2.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭，隨機選一個家庭,

那么

(1)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果己經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？

分析：求P(B|A)的一般思想

因為己經(jīng)知道事件A必然發(fā)生，所以只需在A發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題，即現(xiàn)在的

樣本空間為A.

因為在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，等價于事件A和事件B同時發(fā)生，

即AB發(fā)生.所以事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P(BA)=嚅.

n(A)

為了把這個式子推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為肌則有

n(AB)

P(BIA)=墨=需.

n(R)

一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的

概率,稱為條件概率,記作P(BA),而且P(B|A)=^.

問題1.如何判斷條件概率？

問題2.P(BA)與P(A|B)的區(qū)別是什么？

條件概率與事件獨立性的關系

探究1：在問題1和問題2中，都有P(B|A)WP(B).一般地，P(B|A)與P(B)不一

定相等。如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件A與B應滿足什么條件？

探究2：對于任意兩個事件A與B,如果已知P(A)與P(B|A),如何計算P(AB)呢？

二、典例解析

例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再

放回.求：

(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

例2：已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學依次不放回地各隨機抽取1張.

他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎？

例3:銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了碼的最

后1位數(shù)字.求：

(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；

(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率。

跟蹤訓練1.一個盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管，任取兩次,每次取一只，每一次取后

不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

【達標檢測】

1.已知P(AB)總P(A)=1則P⑻A)等于()

2B-wC4D.茄

2.下列說法正確的是()

A.P(AiB)=P(B|A)B.P(B|A)>1

C.P(AnB)=P(A)?P(B|A)D.P((ACB)|A)=P(B)

3.設A,B為兩個事件,若事件A和B同時發(fā)生的概率為卷,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)

生的概率為*則事件A發(fā)生的概率為.

4.某氣象臺統(tǒng)計,該地區(qū)下雨的概率為七,刮四級以上風的概率為於,既刮四級以上的風又下

雨的概率為*設A為下雨,B為刮四級以上的風,求P(B|A).

5.在100件產(chǎn)品中,有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取1件產(chǎn)

品.試求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

6.在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題,若考生至少答對其中的4道題即可通

過;若至少答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次

考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率.

【課堂小結(jié)】

「條件概率的定叉

條件

概率

?條件概率公式

【參考答案】

學習過程

一、問題探究

問題1.隨機選擇一人作代表，則樣本空間。包含45個等可能的樣本點.用A表示事件“選

到團員”，B表示事件“選到男生”，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出n(Q)=45,n(A)=30,

n(B)=25.

(1)根據(jù)古典概型知識可知選到男生的概率

p(B)=n(B)_^5_5

,n(O)459

(2)“在選擇團員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)

生”的概率，記為P(B|A).此時相當以A為樣本空間來考慮B發(fā)生概率，而在新的樣本

空間中事件B就是積事件AB,包含了樣本點數(shù)n(AB)=16.根據(jù)古典概型知識可知：P

問題2.觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩，則樣本空間。={bb,bg,bg,gg},

且所有樣本點是等可能的.用A表示事件“選擇家庭中有女孩”，B表示事件“選擇家庭

中兩個孩子都是女孩"，A=(bg,gb,gg),B={gg}.

(1)根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個小孩都是女孩的概率

P(B)=喘=；.

n(Q)4

(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩”的概率就是在“事件A發(fā)生

的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A),此時A成為樣本空間，事件B就是積

事件AB,根據(jù)古典概型知識可知

P(BIA)=畸小

問題1.題目中出現(xiàn)“在已知……前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等關鍵詞，表

明這個前提已成立或條件已發(fā)生，此時通常涉及條件概率.

問題2.P(BA)表示在事件A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率.

P(AB)表示在事件B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率.

條件概率與事件獨立性的關系

探究1：直觀上看，當事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概

率，

這等價于P(BiA)=P(B)成立.

事實上，若事件A與B相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,則

P(B|A)=^=嗡?(B)；

反之，若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,則

P(AB)

P(B)==P(AB)=P(A)P(B)

P(A)

探究2：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A).

我們稱上式為概率的乘法公式(multiplicationformula).

二、典例解析

例1.分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個事件，那么問

題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公

式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率.

解法1：設A="第1次抽到代數(shù)題"，B="第2次抽到幾何題”。

(1)“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試題中每次不放回地

隨機抽取2道，試驗的樣本空間Q包含20個等可能的樣本點，即n(。)=A2=5x4=

20o

因為n(AB)=A3XA2=3x2=6

P(AB)=叢竺2=2=2_.

n(。)2010

(2)“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件

下，事件B發(fā)生的概率。顯然P(A)=|.利用條件概率公式，得

P(B1A)=^=f=l

解法2：在縮小的樣本空間A上求P(B|A).已知第1次抽到代數(shù)題，這時

還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下,

事件B發(fā)生的概率為

P(B|A)=i.

2

又P(A)=*,利用乘法公式可得

P(AB)=P(A)P(BA)=-x-=—

5210.

從例1可知，求條件概率有兩種方法：

方法一：基于樣本空間。，先計算P(A)和P(AB),再利用條件概率公式求

P(BA)；

方法二：根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A,求P

(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率。

例2：解：用A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則13=五8工=五豆"缶)=5；

___211

P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=-

________211

P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=-

因為P(A)=P(B)=P(C),所以中獎的概率與抽獎的次序無關。

例3:解：(1)設Ai="第i次按對密碼"(i=l,2),則事件“不超過2次就按對密

碼”可表示為A二AUA?A.

112

事件A與事件X；A互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得

I12

P(A)=P(A)+P(日)=P(A)+P(A7)P(A|A；)=-？-+-X-=-

1121121101095

因此，任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率為三.

(2)設8="最后1位密碼為偶數(shù)”，則

P(AB)=P(AB)+P(A；A|B)=i+—=-；

i1255x45

因此，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率為1.

跟蹤訓練1.解:方法一(定義法)

設人,=｛第i只是好的｝(i=l,2).由題意知要求出P(Az血).因為P(AI)磊=|,P(AIA2)=^=

1

所以P&IAJ爺竽.

方法二(直接法)

因為事件A.已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件凡發(fā)生便可,在Ai發(fā)生的條件下,盒中僅剩9

只晶體管,其中5只好的，即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A?|A)=嚕=1

n(A)9

達標檢測

1.解析:P(BA)=^=?=j.

P(A)-6

答案:A

2.解析：由P(B|A)邛黑?知,P(ADB)=P(A)?P(BA).

P(A)

答案:c

3.解析:由題意知,P(AGB)磊,P(B|A)g

由P(B|A)耳瞿，得P(A)q^M=|.

答案:|

4.解：由題意知P(A)g,P(AAB)q,

,1

故P(B|A)岑黑=里=|.

15

5.分析：由題意可知，100件產(chǎn)品中共有5件不合格品，不合格率為高.在第一次取到不合格

品的條件下，第二次又取到不合格品的概率為條件概率.

解:設第一次取到不合格品為事件A,第二次取到不合格品為事件B,則有：

⑴P(A)1=0.05.

100

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,還剩下99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品,95件合格

品,于是第二次又取到不合格品的概率為點,由于這是一個條件概率，

所以P(B|A)裔.

方法二:根據(jù)條件概率的定義,先求出事件A,B同時發(fā)生的概率P(AB)=-3-=

CJoo495

所以P(B|A)卷需=套=套

100

6.解:設事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題而另一道

答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題而另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次

考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A,B,C兩兩互斥，且D=AUB

UC,E=AUB,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=go+cf^|o+c^c|o=i2^80p(E|D)=p(A(JB|D)=p(A|D)+P(B|D)

C20C20C20C20

2102520

二溫+^=串+辜=M即所求概率為K

C20C20

《7.L1條件概率》基礎訓練

一、選擇題

1.把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件M為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，N為“至少有一

次點數(shù)是5"，則P（N|M）等于（

25clD.1

A.-B.-C.一

392

2.一個盒子中裝有6個完全相同的小球，將它們進行編號，號碼分別為1、2、3、4、

5、6,從中不放回地隨機抽取2個小球，將其編號之和記為S.在已知S為偶數(shù)的情況

下，S能被3整除的概率為（）

3.下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準

確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨.某地區(qū)氣象監(jiān)測

資料表明，清明節(jié)當天下雨的概率是0.9,連續(xù)兩天下雨的概率是0.63,若該地某年清明

節(jié)當天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（）

A.0.63B.0.7C.0.9D.0.567

4.已知盒中裝有3只螺口燈池與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放若,

現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口

燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為（）

5.學校從高一、高二、高三中各選派10名同學參加報告會，其中三個年級參會同學中女生

人數(shù)分別為5、6、7,學習后學校隨機選取一名同學匯報學習心得，結(jié)果選出一名女同學,

則該名女同學來自高三年級的概率為（

6.（多選題）甲罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球；乙罐中有5個紅球，3個白球和2

個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以4，4和A3表示由甲罐取出的球是

紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以〃表示由乙罐取出的球是紅球

的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（）

A.P（M）=gB.P（M|4）=t

c.事件M與事件4不相互獨立D.A，A2>A3是兩兩互斥的事件

二、填空題

7.若一個樣本空間^={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},6={1,2,4,5,6},則

P（B\A）=.

8.某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，

在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為.

9.近年來，新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增

大.動力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù)，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的

主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000

次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已

經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為.

10.電報發(fā)射臺發(fā)出“?”和“-”的比例為5：3,由于干擾，傳送“?”時失真的概率

為2,傳送“-”時失真的概率為《，則接受臺收到“?”時發(fā)出信號恰是“?”的概率

為.

三、解答題

11.某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.

（1）求男生甲被選中的概率；

（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；

(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.

12.袋子中放有大小、形狀均相同的小球若干.其中標號為0的小球有1個，標號為1的

小球有2個，標號為2的小球有〃個.從袋子中任取兩個小球，取到的標號都是2的概率

哈

(1)求”的值；

(2)從袋子中任取兩個小球，若其中一個小球的標號是1,求另一個小球的標號也是1的

概率.

答案解析

一、選擇題

1.把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，記事件M為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，N為“至少有一

次點數(shù)是5”，則P(N|M)等于()

2511

A.-B.-C.一D.一

3923

【答案】B

【詳解】事件M為“兩次所得點數(shù)均為奇數(shù)”，則事件為(U),(1,3),(1,5),

(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),故〃(M)=9：N為“至少有一次點數(shù)

是5"，則事件MN為(1,5),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),n(MN)=5,所以

尸必⑼].故選:B.

2.一個盒子中裝有6個完全相同的小球，將它們進行編號，號碼分別為1、2、3、4、

5、6,從中不放回地隨機抽取2個小球，將其編號之和記為S.在已知S為偶數(shù)的情況

下，S能被3整除的概率為()

【答案】B

【詳解】記"S能被3整除”為事件A,“S為偶數(shù)”為事件3,事件5包括的基本事

件有{1,3},件5},{3,5},{2,4},{2,6},{4,6}共6個.事件包括的基本事件有

{1,5}、{2,4}共2個.

~,c、21

則P(A[8)=.=￡=故選:B.

63

3.下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準

確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨.某地區(qū)氣象監(jiān)測

資料表明，清明節(jié)當天下雨的概率是0.9,連續(xù)兩天下雨的概率是0.63,若該地某年清明

節(jié)當天下雨，則隨后一天也下雨的概率是()

A.0.63B.0.7C.0.9D.0.567

【答案】B

【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，

P(A)=0.9,P(AB)=0.63,所以P(B|A)=彳帚=而=0.7.故選：B.

4.已知盒中裝有3只螺口燈池與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放置,

現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口

燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()

【答案】C

【詳解】方法一：因為電工師傅每次從中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口燈

泡，

所以第1次抽到的是螺口燈泡，第2次抽到的是卡口燈泡的概率等價于：從裝有2只螺口

99

燈池與9只卡口燈泡中抽取一只，恰為卡口燈泡的概率，即為==77，

2+911

方法二：設事件A為：第1次抽到的是螺口燈泡，事件B為：第2次抽到的是卡口燈泡，則

第1次抽到的是螺口燈泡，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為

3x9

===S故選：C

P（A）311

12

5.學校從高一、高二、高三中各選派10名同學參加報告會，其中三個年級參會同學中女生

人數(shù)分別為5、6、7,學習后學校隨機選取一名同學匯報學習心得，結(jié)果選出一名女同學，

則該名女同學來自高三年級的概率為（）

779