第十章　§10.1　計(jì)數(shù)原理與排列組合-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

§10.1計(jì)數(shù)原理與排列組合課標(biāo)要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)原理、排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．知識(shí)梳理1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合作為一組3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)常用結(jié)論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶！＝n·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．(×)(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(×)(4)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)2．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．3×4×5＝Aeq\o\al(3,5)B．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝Ceq\o\al(2,6)C．若Ceq\o\al(x,10)＝Ceq\o\al(2x－2,10)，則x＝3D．Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝64答案AD解析3×4×5＝Aeq\o\al(3,5)，故A正確；Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝2Ceq\o\al(2,5)＝2×eq\f(4×5,2)＝20，Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(6×5,2)＝15，故Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)≠Ceq\o\al(2,6)，故B錯(cuò)誤；Ceq\o\al(x,10)＝Ceq\o\al(2x－2,10)，則x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2或x＝4，故C錯(cuò)誤；Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,7)＝1＋eq\f(7×6,2)＋eq\f(7×6×5,3×2)＋7＝64，故D正確．3．(選擇性必修第三冊(cè)P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為________，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為________．答案15120解析由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為4＋5＋6＝15.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.4．將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有________種．答案36解析第一步，先從4名學(xué)生中任選2人組成一組，與剩下2人分成三組，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同的方法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)不同的方法．故共有6×6＝36(種)不同的安排方案.題型一計(jì)數(shù)原理例1(1)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60B．48C．36D．24答案B解析長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè)B．120個(gè)C．96個(gè)D．72個(gè)答案B解析①當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；②當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；③當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；④當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；⑤當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個(gè))．(3)如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成)，給△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48B．54C．72D．108答案C解析設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形分別為②，③，④，⑤區(qū)．第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法．第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法．第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法．第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法；若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法．所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(種)涂色方法．思維升華完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的．(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種．(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)．(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)某生產(chǎn)過(guò)程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種B．36種C．48種D．72種答案B解析分兩類：①第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時(shí)有1×2×4×3＝24(種)．所以共有12＋24＝36(種)．(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．答案420解析當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有6×5×4＝120(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2,4,6中的一個(gè)時(shí)，千位數(shù)字不能為0，有3×5×5×4＝300(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有120＋300＝420(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(3)某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域花卉顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．(用數(shù)字作答)答案180解析先在A中種植，有5種不同的種植方法，再在B中種植，有4種不同的種植方法，再在C中種植，有3種不同的種植方法，最后在D中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有5×4×3×3＝180(種)．題型二排列組合問題例2(1)(2023·濟(jì)寧模擬)為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生對(duì)體育的熱情，某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)．某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為()A．48B．36C．24D．12答案B解析當(dāng)甲排第一棒時(shí)，乙可排第二棒或第四棒，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝24(種)方案；當(dāng)甲排第二棒時(shí)，乙只能排第四棒，共有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)方案．故甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為24＋12＝36.(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．答案64解析①當(dāng)從8門課中選修2門時(shí)，不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(種)；②當(dāng)從8門課中選修3門時(shí)，(ⅰ)若體育類選修1門，則不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24(種)；(ⅱ)若體育類選修2門，則不同的選課方案共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24(種)．綜上所述，不同的選課方案共有16＋24＋24＝64(種)．思維升華排列問題和組合問題的區(qū)分方法(1)排列問題：若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān)．(2)組合問題：若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無(wú)關(guān)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·溫州模擬)學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上，而英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié)，則不同的課程安排有________種情況．答案336解析根據(jù)題意，分2種情況討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，此時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的安排方法有2種，再在剩下的4門課中任選3門，安排在下午，有Aeq\o\al(3,4)種情況，則此時(shí)有2×Aeq\o\al(3,4)＝48(種)安排方法；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)分別安排在上午和下午，若語(yǔ)文在上午，有3種安排方法；數(shù)學(xué)在下午，有2種安排方法，再在剩下的4門課中任選3門，安排在其他時(shí)間，有Aeq\o\al(3,4)種情況，則語(yǔ)文在上午、數(shù)學(xué)在下午的安排方法有3×2×Aeq\o\al(3,4)＝144(種)，同理，數(shù)學(xué)在上午、語(yǔ)文在下午的安排方法也有144種，則不同的安排方法有48＋144＋144＝336(種)．(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)．答案660解析方法一①只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有Ceq\o\al(1,2)種方法；再選3名男生，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(種)不同的選法．②有2名女生時(shí)，再選2名男生，有Ceq\o\al(2,6)種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(種)不同的選法．所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有480＋180＝660(種)不同的選法．方法二不考慮限制條件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)種不同的選法，而沒有女生的選法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種，故至少有1名女生的不同選法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(種)．題型三排列組合的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1相鄰、相間問題例3(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種答案B解析先將丙和丁捆在一起有Aeq\o\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Ceq\o\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)．命題點(diǎn)2定序問題例4(2023·揚(yáng)州模擬)花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數(shù)為________．答案90解析由題意，取下6盞不同的花燈，先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(6,6)種方法，因?yàn)槊看沃蝗∫槐K花燈，而且只能從下往上取，所以必須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故共有取法種數(shù)為eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))＝90.命題點(diǎn)3分組、分配問題例5(2023·湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考)某高校計(jì)劃在今年暑假安排編號(hào)為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個(gè)學(xué)校．則不同的安排方法共有()A．96種 B．144種C．240種 D．384種答案C解析將這6名教師分成四組，再分配到不同的學(xué)校．若教師人數(shù)依次為3,1,1,1，則不同的安排方法有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96(種)；若教師人數(shù)依次為2,2,1,1，則不同的安排方法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＝144(種)，故不同的安排方法共有96＋144＝240(種)．思維升華求解排列組合問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有()A．若A，B不相鄰，則共有72種不同排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有72種不同排法C．若A在B右邊，則共有60種不同排法D．若A，B兩人站在一起，則共有48種不同排法答案ACD解析對(duì)于A，若A，B不相鄰，則共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)不同排法，故A正確；對(duì)于B，若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則利用間接法共有Aeq\o\al(5,5)－2Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＝78(種)不同排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若A在B右邊，則共有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60(種)不同排法，故C正確；對(duì)于D，若A，B兩人站在一起，則共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)不同排法，故D正確．(2)(2023·聊城模擬)某綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求每位學(xué)生從大一到大三的三個(gè)學(xué)年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，若同一學(xué)年內(nèi)選修的課程不分前后順序，則每位學(xué)生共有________種不同的選修方式(用數(shù)字作答)．答案54解析由題意可知三年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，則四門學(xué)科可按2,1,1和2,2,0兩種情況分成三組，若按2,1,1分成三組，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)分組方法；若按2,2,0分成三組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝3(種)分組方法，所以每位學(xué)生共有(6＋3)Aeq\o\al(3,3)＝54(種)不同的選修方式．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．30B．42C．36D．35答案C解析因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36(個(gè))虛數(shù)．2．(2024·鞍山模擬)為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有()A．50種B．60種C．80種D．100種答案C解析若甲校安排2名大學(xué)生，此時(shí)有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝60(種)安排方法；若甲校安排3名大學(xué)生，此時(shí)有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)安排方法．綜上所述，共有80種安排方法．3．(2023·廣州模擬)如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有()A.96種B．64種C．32種D．16種答案B解析根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1,4或2,3中的一組，共有2Aeq\o\al(2,2)＝4(種)排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,2)＝8(種)排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的排法種數(shù)為4×8×2＝64.4．在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)e的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為()A．36B．48C．72D．120答案A解析如果排列時(shí)要求兩個(gè)8相鄰，兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8捆綁看作一個(gè)元素與7,1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)2插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2、兩個(gè)8均為相同元素，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,4)＝36.5．一輛七座(含司機(jī))旅游客車載著6名游客前往某地游覽，6名游客返程時(shí)恰有2名游客坐的是出發(fā)時(shí)的座位的方法數(shù)為()A．135B．150C．165D．180答案A解析恰好有兩個(gè)人的位置沒有發(fā)生變化，則從6個(gè)人中選兩個(gè)人使位置沒有發(fā)生變化，有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)，剩下4個(gè)人均沒有坐在出發(fā)時(shí)的位置上，設(shè)這四個(gè)人分別為A，B，C，D，設(shè)他們出發(fā)時(shí)坐的位置分別為a，b，c，d，返程時(shí)，若A從b，c，d三個(gè)位置中任選一個(gè)位置有3種選擇，不妨假設(shè)A選擇b，則此時(shí)B，C，D三個(gè)人需要安排到a，c，d的位置，共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(B),\s\do5(a))\o(\s\up7(C),\s\do5(d))\o(\s\up7(D),\s\do5(c))))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(B),\s\do5(d))\o(\s\up7(C),\s\do5(a))\o(\s\up7(D),\s\do5(c))))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(B),\s\do5(c))\o(\s\up7(C),\s\do5(d))\o(\s\up7(D),\s\do5(a))))3種安排方法，故總的安排方法數(shù)為15×3×3＝135.6.在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是()A．1440 B．720C．1920 D．960答案C解析如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步：選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步：若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則區(qū)域D有3種花卉可以選擇，區(qū)域E可選擇的花卉有4種，故不同的種植方法種數(shù)是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1920.7．在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A，C，D成果按先后順序匯報(bào)(不一定相鄰)，那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為()A．100B．120C．300D．600答案A解析不考慮限制條件共有Aeq\o\al(6,6)種，B最先匯報(bào)共有Aeq\o\al(5,5)種，如果B不能最先匯報(bào)，而A，C，D按先后順序匯報(bào)(不一定相鄰)，則不同的匯報(bào)安排種數(shù)為eq\f(A\o\al(6,6)－A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝100.8．(2023·濰坊模擬)過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán)．已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng)．若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成，且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則不同的選拔測(cè)試安排方案有()A．24種B．36種C．48種D．60種答案B解析①若失重飛行安排在第一天，且前庭功能安排在第二天，則后面三天安排其他三項(xiàng)測(cè)試有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)安排方法，此情況跟失重飛行安排在第五天，且前庭功能安排在第四天的安排方案種數(shù)相同；②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有Ceq\o\al(1,2)種選擇，超重耐力安排在第四、第五天有Ceq\o\al(1,2)種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列為Aeq\o\al(2,2)，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)安排方法，此情況與失重飛行安排在第四天的安排方案種數(shù)相同；③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有Ceq\o\al(1,2)種選擇，超重耐力在第一、第五天有Ceq\o\al(1,2)種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列為Aeq\o\al(2,2)，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)安排方法，故選拔測(cè)試的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(種)．二、多項(xiàng)選擇題9．現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說(shuō)法中正確的是()A．4個(gè)空位全都相鄰的坐法有120種B．4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有240種C．4個(gè)空位均不相鄰的坐法有120種D．4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有840種答案AC解析將四個(gè)空位當(dāng)成一個(gè)整體，全部的坐法有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)，故A對(duì)；先排4個(gè)學(xué)生Aeq\o\al(4,4)，然后將三個(gè)相鄰的空位當(dāng)成一個(gè)整體，和另一個(gè)空位插入到由4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空當(dāng)中，有Aeq\o\al(2,5)種方法，所以一共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)坐法，故B錯(cuò)；先排4個(gè)學(xué)生Aeq\o\al(4,4)，4個(gè)空位是一樣的，然后將4個(gè)空位插入到由4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空當(dāng)中，有Ceq\o\al(4,5)種方法，所以一共有Aeq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,5)＝120(種)坐法，故C對(duì)；至多有2個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰，由C可知都不相鄰的坐法有120種，空位兩個(gè)兩個(gè)相鄰的有Aeq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)＝240(種)，空位只有兩個(gè)相鄰的有Aeq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝720(種)，所以一共有120＋240＋720＝1080(種)坐法，故D錯(cuò)．10．安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2023年成都大運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的是()A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法種數(shù)為45B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法種數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則不同的方法種數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同的安排方法種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)答案AD解析若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A正確；先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，故B錯(cuò)誤；先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，故C錯(cuò)誤；①?gòu)谋?，戊中選出1人開車，②從丙，丁，戊中選出2人開車，則有(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3))種安排方法，故D正確．三、填空題11．甲、乙、丙、丁四個(gè)人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己所寫的賀卡，共有________種不同的取法．答案9解析第一步：由甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種不同取法；第三步：由剩余兩人中任1個(gè)人取，此時(shí)只有1種取法；第四步：最后1個(gè)人取，只有1種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有3×3×1×1＝9(種)取法．12.算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位檔撥一顆上珠和一顆下珠，個(gè)位檔撥一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆上珠，則可能出現(xiàn)的數(shù)字個(gè)數(shù)為________，其中所撥數(shù)字小于600的有________個(gè)．答案247解析在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆上珠，所有的數(shù)有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24(個(gè))，其中小于600的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)－Ceq\o\al(1,2)＝7(個(gè))．13．(2023·鄭州質(zhì)檢)某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有________種．答案240解析先把5名學(xué)生分成人數(shù)為2,1,1,1的四組，共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),A\o\al(3,3))＝Ceq\o\al(2,5)＝10(種)分法，再將四組學(xué)生安排宋元數(shù)學(xué)四大家講述，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)分法，所以分配方案有10×24＝240(種)．14．現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1,2,3,4四個(gè)班級(jí)，其中1班至少有2個(gè)名額，2班、4班每班至少有3個(gè)名額，3班最多有2個(gè)名額，則共有________種不同分配方案．答案85解析由3班最多有2個(gè)名額，得3班有2個(gè)、1個(gè)或0個(gè)名額三種情況．(1)當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的8個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額．相當(dāng)于將8個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分