高中數(shù)學北師大必修1學案第二章12 生活中的變量關(guān)系 對函數(shù)的進一步認識

§1&§27生活中的變量關(guān)系對函數(shù)的進-步認識

2.1函數(shù)概念

映葡EW加秋i當課前自主學習，基穩(wěn)才能樓高

預習課本P23?27,思考并完成以下問題

1.當兩個變量滿足什么條件時，才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系？

2.函數(shù)的概念是什么？

3.函數(shù)的自變量、定義域、值域是如何定義的?

4.什么是區(qū)間？

［新加初提］

1.函數(shù)關(guān)系

并非有依賴關(guān)系的兩個變量都有函數(shù)關(guān)系.只有滿足對于其中一個變量的每一個值，另

一個變量都有唯一確定的值與之對應時,才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系.

2.函數(shù)的有關(guān)概念

給定兩個非空數(shù)集A和員如果按照某個對應關(guān)系/,對于集合4中任何一個數(shù)x,在

集合B中都存在唯一確定的數(shù)與之對應,那么就把對應關(guān)系f叫作定義在集合A上的函

數(shù),記作f：8,或y=*x),xCA.此時,x叫作自變量，集合叫作函數(shù)的定義域，集

合&正出叫作函數(shù)的值域，習慣上稱y是x的函數(shù).

［點睛］

(1)函數(shù)符號y=/(x)可用任意字母表示，如y=g(x).

⑵獷x)”表示x對應的一個函數(shù)值，是一個數(shù)，不是/與x的乘積.

(3)uf:A^Bn表示4fB的函數(shù)，/為對應關(guān)系，不同的函數(shù)中，/的具體意義不同.

3.區(qū)間

(1)區(qū)間的概念與記法：

設“，方是兩個實數(shù)，而且“〈從我們作出規(guī)定：

定義名稱符號幾何表示

閉區(qū)間I”,力]-f—

開區(qū)間-6----

{x\a<x<b}(〃，b)abx

{x\a^：x<b}左閉右開區(qū)間一，b)----K

{x\a<x^b]左開右閉區(qū)間(a,bl----L

(2)無窮大:

實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-8,+8),“8”讀作“無窮大”，“一8”讀作“負無

窮大”，“+8”讀作“正無窮大”.我們可以把滿足x2a,x>a,x幼的實數(shù)x的集合

分別表示為［a,+8),(a,+8),(-8,勿，(一8,加.

定義符號數(shù)軸表示

「a,+8)—al-----------x-

{x\x>a}(a,+8)￡X

(-8,加

{x|xWb}bx

{x|x<6}(一8,b)￡x

［點睛1

(1)區(qū)間是連續(xù)數(shù)集的另一種表示形式.

(2)“8”是一個符號，而不是一個數(shù)，表示的是變化趨勢.

［小鍬才手］

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”，錯誤的打“X”.

(1)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系.()

(2)對于一個函數(shù)產(chǎn)危),在定義域內(nèi)任取一個x值，可以有多個函數(shù)值y與其對應.()

⑶任何數(shù)集都能用區(qū)間表示.()

(4)集合｛x|x22｝可用區(qū)間表示為［2,+8］.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X

2.下列說法正確的是()

A.函數(shù)的定義域和值域可以是空集

B.函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集

C.函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應

D.函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應關(guān)系也就確定了

解析：選B由函數(shù)的定義知A,C錯誤，B正確.對D,函數(shù)的值域是由定義域和對

應關(guān)系決定的，定義域和對應關(guān)系確定后，值域也就確定了，但定義域和值域確定不了對應

關(guān)系，故D選項是錯誤的.

3.若函數(shù)/(幻=2/+3*—5,則＜2)=.

解析：八2)=2X2?+3X2—5=8+6—5=9.

答案：9

4.數(shù)集｛x|xV—2,或x20｝.用區(qū)間表示為.

答案：(-8,-2)U［0,+~)

5.集合｛x|x2一1,且xW5｝用區(qū)間表示為.

答案：［-1,5)U(5,+~)

字課堂講練設計，舉一能通類題

題型一依賴關(guān)系的判斷

［典例］下列變量之間是否具有依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？

①正方形的面積和它的邊長之間的關(guān)系；

②姚明罰球次數(shù)與進球數(shù)之間的關(guān)系；

③施肥量與作物產(chǎn)量之間的關(guān)系；

④汽車從A地到B地所用時間與汽車速度之間的關(guān)系.

［解］①②③④中兩個變量都存在依賴關(guān)系，其中①④是函數(shù)關(guān)系，②③中兩個變量間

有依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系.

分析兩個變熹是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看它們的關(guān)系是確定的，還是不確定的.

［活學活用］

張大爺種植了10畝小麥，每畝施肥Xkg,每畝地小麥產(chǎn)量為ykg,貝!!()

A.x,y之間有依賴關(guān)系B.x,y之間有函數(shù)關(guān)系

C.y是x的函數(shù)D.x是y的函數(shù)

解析：選A小麥產(chǎn)量與施肥有關(guān)系，但這種關(guān)系又不是確定的.

題型二

［典例］設M={x|0WxW2},N={y|0WyW2},給出下列四個圖形，其中能表示從集合

M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

［解析］

圖號正誤原因

①Xx=2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性.

②V同時滿足任意性與唯一性.

③Xx=2時，對應元素y=34N,不滿足任意性.

④Xx=l時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性.

［答案］B

判斷所給對應是否是函數(shù)，首先觀察兩個集合48是否是非空數(shù)集，其次驗證對應關(guān)

系下，集合力中數(shù)x的任意性，集合夕中數(shù)y的唯一性.

［活學活用］

圖中(1)(2)(3)(4)四個圖像各表示兩個變量x,y的對應關(guān)系，其中表示y是x的函數(shù)關(guān)系

的有.

解析：由函數(shù)定義可知，任意作一條直線x=a,則與函數(shù)的圖像至多有一個交點，對于

本題而言，當一l4aWl時，直線x=a與函數(shù)的圖像有且僅有一個交點，當”>1或“V-1

時，直線x=a與函數(shù)的圖像沒有交點.從而表示y是x的函數(shù)關(guān)系的有(2)(3).

答案：⑵⑶

|題型三同一函數(shù)的判斷

7

［典例］判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù):

x2—4

(l-x)=與g(x)=x+2；

(26x)=4/壽i與g(x)=、x(x+l)；

(3求X)=必一2*—1與g(f)=P-2f-l；

(4求x)=l與g(x)=x°(xWO).

［解］(16》)的定義域中不含有元素2,而g(x)定義域為R,即定義域不相同，所以不是

同一函數(shù).

(2求制的定義域為［0,+°°),而g(x)的定義域為(-8,-1］U［O,+°°),定義域不相同，

所以不是同一函數(shù).

(3)盡管兩個函數(shù)的自變量一個用x表示，另一個用f表示，但它們的定義域相同，對應

關(guān)系相同，即對定義域內(nèi)同一個自變量，根據(jù)表達式，都能得到同一函數(shù)值，因此二者為同

一函數(shù).

(46x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x#=0},因此不是同一函數(shù).

函數(shù)有三個要素：定義域、值域和對應關(guān)系，值域是由定義域和對應關(guān)系確定的，所以

只要定義域和對應關(guān)系相同，這兩個函數(shù)就是同一函數(shù).

下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是()

A./(x)=x°,g(x)T

B.f(x)=yjx+l-\lx—i,g(x)=y]x2—l

1,x<0,g(f)釁

C.Ax)=

~x,x>0,

D.兀r)=x,g(f)=#

解析：選A對B,定義域不同；對C,f>0,g(Z)=l,/<0,g(f)=T;對D,g(t)=鄧

=|/|.

題型四求函數(shù)的定義域

［典例］求下列函數(shù)的定義域:

(l)y=2x+3；(26幻=*；

(3)y=、x-l+、l-x；(4)y=^zy.

［解］⑴函數(shù)y=2x+3的定義域為{xlxCR}.

(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x+1學0,x右一1.故函數(shù)的定義域為{x|x豐一

1).

x—120,(x^l,

⑶要使函數(shù)式有意義，則，、即彳/所以x=l,從而函數(shù)的定義域為同丫

.1—x，0,IxWl,

=1}.

x+1

(4)因為當了2—1*0,即x*±l時，f二J有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x豐±1}.

求函數(shù)定義域的一般方法

當函數(shù)以解析式的形式給出時，函數(shù)的定義域是使這個解析式有意義的自變量X的取值

范圍.

求函數(shù)定義域的一般方法為：

(1m*)為整式型函數(shù)時，定義域為R;

(2)/U)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)的集合；

(3加用為二次根式(偶次根式)型函數(shù)時，定義域為使被開方數(shù)非負的實數(shù)的集合；

(4)函數(shù)y=x°中的x不為0；

(5)如果函數(shù)是一些簡單函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么它的定義域是各個簡單函數(shù)

定義域的交集；

(6)由實際問題建立的函數(shù)，還要符合實際問題的要求.需要注意的是定義域必須用集合

或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應用并集符號“U”連接.

［活學活用］

如圖所示，用長為1的鐵絲完成下部為矩形、上部為半圓形的框架，若

半圓的半徑為x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義°°

域.

AFG,，、，■g1-2x-7TXI.1—2x-7TX,nx2一

解：AB=2X9CD的長=7rx,于是AZ)=彳,因此，y=2x*彳+="，即

f2x＞0,

兀+4」

2x+”?由［1「1—2x一—n＞x。，

得0＜工＜］;，此函數(shù)的定義域為(0,V。

題型五

函數(shù)值域的求法

［典例］求下列函數(shù)的值域:

(l)j=x+bxe{1,23,4,5)；

(2)y=x2—2x+3,xG［0,3);

2x+l

⑶尸有

(4)y=2x—yjx—1.

|解](1)(觀察法)因為xG{1,2,3,4,5},分別代入求值，可得函數(shù)的

值域為{2,3,4,5,6}.

(2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-l)2+2,由xG[0,3),再結(jié)合函數(shù)的

圖像(如圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6).

、心也**2x+l2(x—3)+77

(3)(分離常數(shù)法)尸三-=2+—>

顯然不M豐0,所以丁手2.故函數(shù)的值域為(一8,2)U(2,+°°).

(4)(換元法)設1,則x=/+l,且￡20,

所以丁=2儼+1)—[=2￡—：2+學，由￡，0,再結(jié)合函數(shù)的圖像，如圖所示，可得函數(shù)的

值域為+°°.

O

求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)的值域是一個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應法則后，值域

就完全確定了，但求值域特別要注意方法.常用的方法有：

(1)觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)圖

像的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域，這就是觀察法.

(2)配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方.在充分注意到自變量取值范圍的情

況下，利用求二次函數(shù)的值域的方法求函數(shù)的值域，這就是配方法.

(3)換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，可將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函

數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍求函數(shù)的值域.

求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解題過程中逐漸探索和積

累.除了上述常用的方法外，還有分離常數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等，應注意選擇最優(yōu)的解法.總

之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是要重視對應關(guān)系的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.

[活學活用I

求下列函數(shù)的值域：

(l)j=^2x+l+l；⑵尸旨

解：(1)因為#2x+l》0,所以“上+1+1川,即所求函數(shù)的值域為[1,+8).

1—x22

(2)因為》=9=-1+訐J,

又函數(shù)的定義域為R,所以/+121,

2

所以0石不貝幼￡(一1,1].

所以所求函數(shù)的值域為(-1,1].

詔《睬聞喊軍受效課后層級訓練，步步提升能力

層級一學業(yè)水平達標

1.已知函數(shù)式?=*則H=()

C.aD.3a

解析：選DQ=|=3a.

a

2.函數(shù)y=)l—x+5的定義域為()

A.{x|xWl}B.{小》。}

C.{x|xmL或xWO}D.{力0這x近1}

1-x^O,

解析：選DJ、0O&W1.

x^O

3.函數(shù)的圖像與x=l的交點最多有()

A.0個B.1個

C.2個D.以上都不對

解析：選B利用函數(shù)的定義，對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合3中都有唯一確

定的數(shù)1x)和它對應，所以函數(shù)的圖像與x=l的交點最多有1個.

4.下列各組中的兩個函數(shù)為相等函數(shù)的是()

A.fix)=yjx+i-^/x—1,g(x)=^/(x+l)(x—1)

B.f(x)=(^2x—5)2,g(x)=2x—5

1-x1+x

c-/3=幣與8⑴=不

d-?=呼與8(產(chǎn)

解析：選DA中，八幻=4工+1々”-1的定義域為{x|x》l},g(x)=yj(x+l)(x—1)的定

義域為{x|x21,或工<一1},它們的定義域不相同，不是相等函數(shù)；B中，f(x)=g-W

的定義域為卜|x》|},g(x)=2x-5的定義域為R,定義域不同，不是相等函數(shù)；C中，y(x)

1—X1+x

=*2+]與g(x)=x2+i的對應關(guān)系不同,不是相等函數(shù)；D中，J[x)=x=x(x>0)與g(x)

=/(f>0)的定義域和對應關(guān)系都相同，它們相等.

5.設犬*)=上1，則%:

6.設集合4=[-2,10),8=[5,13),貝!JCR(ACB)=.(用區(qū)間表示)

解析：；4=[-2,10),B=[5,13),.,.AnB=[5,10),

.,.CR(AnB)=(-oo,5)U[10,+oo).

答案：(一8,5)U[10,+8)

7.設函數(shù)/k)=2x-Lg(x)=3x+2,則式2)=,g(2)=,%(2))=

解析：｛2)=2X2-1=3,g(2)=3X2+2=8,

/(g(2))=/(8)=2X8-l=15.

答案：3815

8.函數(shù)y=,16一產(chǎn)的值域為.

解析：；x22o,.?.16-x2W16.又要使函數(shù)有意義，則16一好》0,即0^16-X2^16,

0^\16—故函數(shù)瓦與的值域為[0,4].

答案：[0,4]

9.已知函數(shù)尸"[?"]'的定義域為A,函數(shù)y=d7百+1的值域為3,求API氏

|x|一x20,

解：要使函數(shù)？="!_j有意義,則

.X學;1,

即x=#l....A=(—8,1)U(1,+°°).

V^/x+1^0,.,.j=Vx+l+l^l,

/.B=[l,+°°),."「5=(1,4-0°).

10.已知函數(shù)/(x)="\/x+3+A^,

⑴求函數(shù)的定義域；

(2)求1-3),/g)的值；

(3)當a>0,求加)，小0—1)的值.

x+3》0,

解：(1)要使函數(shù)有意義，則,一

[x+2#=0,

即X2-3且x*—2,

故函數(shù)的定義域為Wx2—3,且x手一2}.

(2/-3)=、-3+3+^^=0-1=-1.

(3)因為a>0,所以{a),44一1)有意義，

所以1/(a)=Ya+3+Vp

加-1)=.(1)+3+(」)+2=而^+擊

層級二應試能力達標

1.若H")==，則方程式4x)=x的根是()

A,2B.~2

C.2D.-2

4x—1

解析：選A,：f(4x)=-^-=x,.,.4x2-4x+l=0,

.1

..x2,

2.若集合4={xly=?r—1},B={jly=x2+2},則4nB=()

A.[1,+°°)B.(1,+00)

C.[2,+8)D.(0,+?>)

解析：選C集合A表示函數(shù)7=五=1的定義域，則4={“僅21},集合3表示函數(shù)y

=必+2的值域，則B=bly22},故AnB={x|x22}.

3.若函數(shù)<x)="2—1,Q為一個正數(shù)，且財—1))=—1,那么〃的值是()

A.1B.0

C.一1D.2

解析：選AV/(x)=ax2—l)=a—1,=-

a(a~l)2=0.

又為正數(shù)，.\a=l.

4.若函數(shù)y=|x|的定義域為M={-2,0,2},值域為N,則MCN=()

A.{-2,0,2}B.{0,2}

C.{2}D.{0}

解析：選BVA/={-2,0,2},xGM,.,.當x=0時，j=0;當x=±2時，y=2,得N

={0,2},.?.MnN={0,2}.

5.若函數(shù)_Ax)的定義域為[2a-l,a+1],值域為[a+3,40,則a的取值范圍為.

(2a—l<a+l,

解析：由區(qū)間的定義知<)=^l<a<2.

[a+3V4a

答案：(1,2)

6.已知集合A={x|x24},g(x)=廠名=的定義域為B,若403=0,則實數(shù)a的取

y/l—x+a

值范圍是.

解析：由題可知，g(x)的定義域為{x[x<a+l},集合4={*像24},若使An8=0,則需

a+l<4,解得aW3.

答案：(一8,3]

7.求下列函數(shù)的值域：

(l)fix)=x2-2x,其定義域為A={0,l,2,3}；

(2)j=x2-4x+6,x6[l,5)；

(3)/=^|_；；(4)y=x+yj2x—l.

解：(1)分別令x=0,l,2,3,得#0)=0,41)=一1,

犬2)=0,八3)=3,所以函數(shù)的值域為{-1,0,3}.

(2)將y=/—4x+6配方，得y=(x-2)2+2,又xW［l,5),結(jié)合函數(shù)圖像(圖略)可知，函

數(shù)的值域是［2,11).

2工2—133

(3)y=KF=2一正五，由好+121,得0V正qW3,即有一l<yV2,所以函數(shù)的

值域是［—1,2).

(4)設則x=一1。20),于是y=(—+，=5(1+。2,又f20,故丁，1所

以函數(shù)的值域是1,十8).

8.已知函數(shù)/Cr)=]+1?

⑴求人2)+/Q),人3)+/G)的值;

(2)求證：f(x)+f(J是定值;

(3)求人2)+/&)+43)+/自+…+大2O16)+/(J輔的值?

x222\27/i\32(3J

解：(l)：/W=l+x2,???#2)+/0=1+22+]+e=1，*)+/?=l+32+]+G)2

=1.

小x2a

⑵證明：?^)+/(2=用+項

?1「+1

1+x2X2+l-X2+l~,

(3)由(2)知｛x)+/g)=l,.\A2)+/?

=1,大3)+娟=1,大4)+姬

=1,/(2016)+4小)=1....八2)+/(；)+/(3)+/Q)+-+/(2016)+/(*)=2

015.

2.2函數(shù)的表示法

喙踞㈤I儂曲課前自主學習，基穩(wěn)才能樓高

預習課本P28?31,思考并完成以下問題

1.函數(shù)的表示方法有哪幾種方法？

2.什么樣的函數(shù)是分段函數(shù)?

［新和初建］

1.函數(shù)的三種表示方法

函數(shù)的表示方法通常有三種，它們分別是列表法、圖像法和解析法.

(1)列表法：用表格的形式表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

(2)圖像法：用圖像把兩個變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法.

(3)解析法：一個函數(shù)的對應關(guān)系可以用自變量的解析表達式(簡稱解析式)表示出來，這

種方法稱為解析法.

［點睛］

(1)列表法不必通過計算就能知道兩個變量之間的對應關(guān)系，比較直觀.但是，它只能表

示有限個元素間的函數(shù)關(guān)系.

(2)圖像法可以直觀地表示函數(shù)的局部變化規(guī)律，進而可以預測它的整體趨勢.

(3)解析法表示的函數(shù)關(guān)系能較便利地通過計算等手段研究函數(shù)性質(zhì).但是，一些實際問

題很難找到它的解析式.

2.分段函數(shù)

有些函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系,這樣的

函數(shù)稱為分段函數(shù).

［點睛］分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).

［小輯―一］

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”，錯誤的打“X”.

(1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示.()

(2)分段函數(shù)各段上的對應關(guān)系不同，因此分段函數(shù)是由幾個不同函數(shù)構(gòu)成的.()

(3)分段函數(shù)分幾段，其圖像就有相應的幾段.()

(4)分段函數(shù)的定義域部分可以有公共部分.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)X

2.已知函數(shù)./U)由下表給出，則43)等于()

X1?222<x^4

於)123

B.2

C.3D.不存在

答案：C

3.函數(shù)/U)的圖像如圖所示，則Ax)的定義域是.

域是.

答案：[-1,2)(-1,1]

x+1,xWl,

4.已知函數(shù)fix)=則f

—x+3,x>l,

答案：2

5.已知/(X)是一次函數(shù),且其圖像過點4(-2,0),8(1,5)兩點，則Ax)的解析式為

解析：據(jù)題意設Ax)=ar+b(a#=0),

\-2a+b=Q,

又圖像過點A(—2,0),5(1,5).,

(a+b=5,

解得Z>=-y././(x)=1x+^.

答案：1Ax)=|x+￥

字課堂講練設計，舉一能通類題

函數(shù)圖像的畫法

［典例］作出下列函數(shù)的圖像.

x(xGZ);

(2)j=2x2—4x—3(0^x<3).

［解］(1)這個函數(shù)的圖像由一些點組成，這些點都在直線y=l-x上(：xGZ,.RGZ),

這些點都為整數(shù)點，如圖①所示為函數(shù)圖像的一部分；

(2)V0^x<3,，這個函數(shù)的圖像是拋物線丁=2爐一標一3介于0<xv3之間的一段曲線,

且y=2x2—4x—3=2(x—1)2—5,當x=0時，y=-3;當x=3時，j=3,如圖②所示.

F畝春法是表示函孩的方法之一，畫菌藪畝春時，以定義域、對應關(guān)系為依據(jù)，采用'

列表、描點法作圖.當已知解析式是一次或二次式時，可借助一次函數(shù)或二次函數(shù)的圖像幫

助作圖.

(2)作圖像時，應標出某些關(guān)鍵點.例如，圖像的頂點、端點、與坐標軸的交點等，要

分清這些關(guān)鍵點是實心點，還是空心點.

［活學活用］

函數(shù)產(chǎn)x+片的圖像是()

解析：選C

當x>0時，y=x+l;當時，y=x—1.

[x+1,x>0,

即y=\故其圖像應為C.

[工一1,x<0,

一趣受法

題型二峰回路特

求函數(shù)的解析式

［典例］求函數(shù)的解析式.

(1)已知八x)是一次函數(shù)，且加a))=9x+4,求大x)的解析式;

(2)己知心6+1)=%+25，求大x)；

(3)已知2y0)+/(x)=x(x^O),求l/U).

［解］(1)(待定系數(shù)法)設_/W=Ax+貼手0),

則歡x))=A(Ax+》)+6=A2x+必+〃=9X+4.

k2=9,

Al,解得M=3,5=1或/=-3,5=-2.

(kb+b=4.

'.f(x)=3x+l或/(x)=-3x—2.

(2)法一(配湊法)：

?.?4#+1)=》+2m=(5+1)2-1(正+1，1),

/./(x)=x2—1(x^1).

法二(換元法)：

4^+1=制》1),則x=(r-i)2(，2i),

:.財=?—1)2+2次?—1)2=產(chǎn)一1(f》1).

.依)=好一1(x21).

(3)(消元法)：Ax)+〃(^)=x,令x代換;的值，

/)+2”)=*,

得娟+的）=%于是得關(guān)于犬X）與"）2Y*

的方程組1解得於）=K-3

⑷+2於)=7

（x*0）.

求函數(shù)解析式的常用方法：

（1）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設出函數(shù)解析

式，再根據(jù)條件列方程（組），通過解方程（組）求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式.

（2）換元法（有時可用“配湊法”）：已知函數(shù)_/ig（x）］的解析式求/（X）的解析式，可用換元法（或

"配湊法"），即令g（x）=t,反解出X,然后代入J［g（x）］中求出/?）,從而求出/（X）.

（3）消元法（或解方程組法）：在已知式子中，含有關(guān)于兩個不同變量的函數(shù)，而這兩個變

量有著某種關(guān)系，這時就要依據(jù)兩個變量的關(guān)系，建立一個新的關(guān)于這兩個變量的式子，由

兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變量，得到目標變量的解析式，這種方法叫做

消元法（或解方程組法）.

］活學活甬r

已知《1+0=耳在+：,試求/（X）.

11l+x2

解：法一（換元法）：令，=1+房，則，e（—8,i）u（i,+°°）,于是x==p代入-/

+1中，可得犬f）=F-f+l,即_Ax）=x2-x+l,XG（—8,1）U（1,+8）.

i+》21x2+2x+i2x,i,IYI.c&…i

法二(配湊法):A1+x)=-+x=-P-一手+7(1+方一(1+#1，因為1+1

所以函數(shù)解析式為/(x)=/—x+1,xe(-oo,1)U(1,+°o).

一題多張

題型三題極顯現(xiàn)

分段函數(shù)

題點一：已知分段函數(shù)求函數(shù)值

x+LxW—2,

求八一5),八一g),五一1))的值.

1.已知函數(shù)Ax)=jX2+2x，-2<x<2,

〔2x—1,x22.

解：由一5￡(—8,—2],一小￡(一2,2),—^G(-oo,-2],知八_5)=_5+1=_4,

八一3)=(一5>+2(一小)=3—2市.

-m=v+i=c-2<-1<2,

((5。(3、(3\./3、

?0可尸「5尸十2X1以=13=F.

題點二：已知分段函數(shù)值求自變量(或參數(shù))

X+LxWO,

2.已知函數(shù)4x)=J若兀r)=10,則*=_________.

[―2x,x>0,

解析：當xWO時，x2+l=10,即必=9,：.x=~3.

當x>0時，-2*=10,則*=一5(舍去)，故x=-3.

答案：一3

題點三：分段函數(shù)圖像問題

3.已知函數(shù)人外的圖像如圖所示，則人》)的解析式是.口

解析：的圖像由兩條線段組成，.?.由一次函數(shù)解析式求法可得，L

x+1,-1近xVO,--1or\；1*

八')=1nVT戶

Lx,OWxWLI

x+1,-IWXVO,

答案：犬x)=

-X,04x41

題點四：分段函數(shù)的應用

4.某汽車以52km/h的速度從A地行駛到260km處的8地，在5地停留1.5h后，再

以65km/h的速度返回A地，試將汽車離開A地后行駛的路程s表示為時間t的函數(shù).

解：因為260+52=5(h),2604-65=4(h),所以，當0WtW5時，s=52t;當5VfW時，s

=260;當V/W時，s=260+65(，-6.5).

(52t,0Wf《5,

所以s=360,5VK,

1260+65(/一),V0O.5.

(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應的解析式求得.

(2)多層V，的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.

(3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值求相對應的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的

值，但應注意檢驗分段解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析

式再求解.

(4)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時，應根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時，

可先將各段的圖像分別畫出來，再將它們連在一起得到整個函數(shù)的圖像.

喀雷哥喊軍受效課后層級訓練，步步提升能力

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1.已知/(x)是反比例函數(shù)，且/(-3)=-1,則/(x)的解析式為()

33

A.B.

C./(x)=3xD.f(x)=-3x

解析：選B?.外)是反比例函數(shù)，.?.設式x)=§(E0).又-3)=—1,...2=一1,

3

即k=3.：.f(x)=~.

P+]x2]

2.已知函數(shù)Ax)==二1則—1))的值等于()

x+Lx<0,

A.5B.2

C.-1D.-2

解析：選A1)=-(-1)+1=2,

.W-1))=/12)=22+1=5.

3.函數(shù)/(x)的圖像如下圖,則該函數(shù)的定義域與值域分別是()

A.[-3,4],[-1,2]

B.[-3,1]U[2,4],[-2,1]

C.[-3,1]U(2,4],[-2,2]

D.[-3,4],[-2,2]

答案：C

4.已知若一l)=2x+3,則大6)的值為()

A.15B.7

C.31D.17

解析：選C令一l=f,得x=2f+2.將x=2f+2代入《一l)=2x+3,得大t)=4f+7,

.,如)=4x+7,

.?,716)=4X6+7=24+7=31.

5.某人去上班，由于擔心遲到，因此跑著趕路，直到跑累了再走完余下的路程.如果

用縱軸表示與工作單位的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖像中比較符合此人走

法的是()

解析：選D一開始離工作單位最遠，排除A、C;開始跑得快，故在較少時間內(nèi)離工

作單位越來越近，故一開始時減得快，后來減得慢，即開始時傾斜程度較陡，后來較緩.

6.已知函數(shù)人幻，g(x)分別由下表給出

X123

Ax)131

X123

g(x)321

則慮⑴)的值為

滿足/(g(x))>g(r(x))的x的值是

解析：1Ag(1))=人3)=1.

X123

131

1Ag(x))

g(/W)313

故yig(x))>g(Ax))的解為x=2.

答案：12

7.如圖，函數(shù)八x)的圖像是折線段A8C,其中A,B,C的坐標

分別為(0,4),(2,0),(6,4),貝(|歡0))=.

解析：結(jié)合圖像可知#0)=4,則加0))=犬4)=2.

答案：2

8.某客運公司確定車票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是每千米元；

如果超過100千米，超過部分按每千米元定價，則客運票價M元)與行程x(千米)之間的函數(shù)

關(guān)系式是.

解析：由題意得，當OWxWlOO時，j=x;當x>100時y=100X+(x-100)X=10+x.

答案：y=錯誤！

9.畫出下列函數(shù)的圖像：

(g)=x,xGN*；

(26x)=[x](表示不超過x的最大整數(shù))；

(36x)=|x+刀；

-X-1,-1,

(4)f(x)='x2—x—2,-1VXW2,

.x~2,x>2.

解：(1次x)=x,XCN*表示分段函數(shù)

p,x=l,

f(x)=\2,x=2,圖像是一列點，

如圖⑴：

1

2315*

圖(1)

-2,-2^x<~l,

-1,T?0,

(26x)=[x]=<0,OWxVl,

1,1?2,

2,2&V3,

如圖⑵:

圖⑵

x+2,x，-2,

(31/(x)=|x+2|=畫出y=x+2的圖像，?。?2,+8)上的一段；畫

-x—2,x<—2.

出y=-x—2的圖像，取(一8,—2)上的一段，如圖(3)所示:

圖⑶

(4)畫出一次函數(shù)y=-x—1的圖像，取(一8,—1］上的一段；畫出二次函數(shù)y=x2—%

-2的圖像，取上的一段；畫出一次函數(shù)y=x-2的圖像，取(2,十8)上的一段，如

圖(4)所示：

圖(4)

10.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示.

(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

(2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路

程時汽車里程表讀數(shù)$km與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應的圖像.

解：(1)陰影部分的面積為

50X1+80X1+90X1+75X1+65X1=360.

陰影部分的面積表示汽車在這5h內(nèi)行駛的路程為

360km.

’5("+2004,0?,

80(/-1)+2054,

⑵根據(jù)圖像，有s==490(f-2)+2134,20<3,

75(/-3)+2224,34<4,

、65。-4)+2299,44,45.

相應的圖像如圖所示:

|2x,

1.函數(shù)由x)=12,

l<x<2,的值域是()

x'2

A.RB.|0,4-00)

C.[0,3]D.[0,2]U{3}

解析：選D作出y=<x)的圖像.

由圖像知，八x)的值域[0,2]U{3}.

2.已知函數(shù)/(X)滿足/(x)+"(3-x)=x2,則大X)的解析式為()

A./(x)=x2—12x4-18B./(x)=1x2—4x4-6

C.1x)=6x+9D.貝x)=2x+3

解析：選B由1x)+於3-x)=f可得火3-x)+?U)=(3—x)2,由以上兩式解得#x)

3.若xGR,_/(x)是y=2—y=x這兩個函數(shù)的較小者，則f(x)的最大值為()

A.2B.1

C.-1D.無最大值

解析：選B在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2-*2,y=x的圖像如圖所示，根據(jù)題意，坐

標系中實線部分即為函數(shù)Ax)的圖像.，x=l時，f(.x)mm=l.

0，x為有理數(shù)，

4.設貝x)=jO,x=0,g(X)=c.工煙料則加⑺)的值為()

1—1,x<0,lo,x為無理數(shù)，

A.1B.0

C.