第二章-材料的斷裂強度

第二章

2.1固體的理論結(jié)合強度

2.2材料的斷裂強度

2.3裂紋的起源與快速擴展

2.4材料的斷裂韌性

2.5顯微結(jié)構(gòu)對脆性斷裂的影響

2.6無機材料強度的統(tǒng)計性質(zhì)

2.7材料的硬度

第二章材料的脆性斷裂與強度

2.1固體的理論結(jié)合強度

無機材料的抗壓強度約為抗拉強度的10倍。所以一般集中在抗拉強度上進(jìn)行研究，也

就是研究其最薄弱環(huán)節(jié)。

要推導(dǎo)材料的理論強度，應(yīng)從原子間的結(jié)合力入手，只有克服了原子間的結(jié)合力，材料

才能斷裂。如果知道原子間結(jié)合力的細(xì)節(jié)，即知道應(yīng)力-應(yīng)變曲線的精確形式，就可算出理

論結(jié)合強度。這在原則上是可行的，就是說固體的強度都能夠根據(jù)化學(xué)組成、晶體結(jié)構(gòu)與強

度之間的關(guān)系來計算。但不同的材料有不同的組成、不同的結(jié)構(gòu)及不同的鍵合方式，因此這

種理論計算是十分復(fù)雜的，而且對各種材料都不一樣。

為了能簡單、粗略的估計各種情況都適應(yīng)的理論強度，Orowan提出了以正弦曲線來近

似原子間約束力隨原子間距離X的變化曲線（見圖2.1）,得出

式中，為理論結(jié)合強度；X為正弦曲線的波長。

b

-eR

世

回

生

聯(lián)

圖2.1原子間約束力與距離的關(guān)系

將材料拉斷時，產(chǎn)生兩個新表面，因此單位面積的原子平面分開所做的功應(yīng)等于產(chǎn)生兩個單

位面積的新表面所需的表面能，材料才能斷裂。設(shè)分開單位面積原子平面所做的功為w,則

2%15

[-cos

設(shè)材料形成新表面的表面能為/（這里是斷裂表面能，不是自由表面能），則w=2y,即

接近平衡位置。的區(qū)域，曲線可以用直線代替，服從虎克定律:

a-Es--E

a為原子間距。X很小時

2玄2m

將（2.3）,（2.4）和（2.5）式代入（2.1）式，得

式中a為晶格常數(shù)，隨材料而異。可見理論結(jié)合強度只與彈性模量、表面能和晶格距離等材

料常數(shù)有關(guān)，屬于材料的本證性能。（2.6）式雖然是粗略的估計，但對所有固體均能應(yīng)用而

不涉及原子間的具體結(jié)合力。通常/約為aE/100,這樣，（2.6）式可寫成

更精確的計算說明（2.6）式的估計稍偏高。

一般材料性能的典型數(shù)值為：E=300GPa,/=L//m：a=3xlO%,代入（2.6）式算出

要得到高強度的固體，就要求E和7大,a小。實際材料中只有一些極細(xì)的纖維和晶須其強度

接近理論強度值.例如熔融石英纖維的強度可達(dá)24.1GPa,約為E/3（E,72Gpa）,碳化硅晶須強度

6.47GPa,約為E/70（E,470Gpa）,氧化鋁晶須強度為15.2GPa,約為E/25（E,380Gpa）。尺寸較大的

材料實際強度比理論強度低的多,，約為E/100-E/1000,而且實際材料的強度總在一定范圍內(nèi)波

動,即使是用同樣的材料在相同的條件下制成的試件，強度值也有波動。一般試件尺寸大，強

度偏低。為了解釋這種現(xiàn)象，人們提出了各種假說，甚至懷疑理論強度的推導(dǎo)過程等，但都

沒有抓住斷裂的本質(zhì)。直到1920年，Griffith為了解釋玻璃的理論強度與實際強度的差異，

提出了微裂紋理論，才解決了上述問題。后來經(jīng)過不斷的發(fā)展和補充，逐漸成為脆性斷裂的

主要理論基礎(chǔ)。

§2.2材料的斷裂強度

2.2.1材料的斷裂

材料的斷裂過程包括裂紋的形成與擴展兩個階段，按照材料宏觀塑性變形的程度，可以

分為韌性斷裂與脆性斷裂；按照斷裂時裂紋擴展的路徑，分為穿晶斷裂與沿晶斷裂；

(1)脆性斷裂

材料在實際應(yīng)力遠(yuǎn)低于理論強度時發(fā)生斷裂，不產(chǎn)生塑性形變僅產(chǎn)生很小的塑性形變，

斷裂前無先兆，這種斷裂方式就稱為脆性斷裂。它表現(xiàn)在斷裂發(fā)生在彈性應(yīng)變狀態(tài)下，沒有

經(jīng)過塑性變形階段而直接形成的斷裂。不僅是脆性材料才會產(chǎn)生這種斷裂，材料內(nèi)部存在微

裂紋，或者某些材料在低溫下受到?jīng)_擊等都有可能產(chǎn)生脆性斷裂。

根據(jù)斷口特征可以分為以下三種情況：

解理斷裂，裂紋沿解理面擴展；解理斷裂斷口的輪廓垂直于最大拉應(yīng)力方向。新鮮

的斷口都是晶粒狀的，有許多強烈反光的小平面(稱為解理刻面)。圖2-2為某材料

典型的解理斷口電子圖像。解理斷口電子圖像的主要特征是“河流花樣”，河流花樣中

的每條支流都對應(yīng)著一個不同高度的相互平行的解理面之間的臺階。解理裂紋擴展過

程中，眾多的臺階相互匯合，便形成了河流花樣。在河流的“上游”，許多較小的臺階

匯合成較大的臺階，至『‘下游"，較大的臺階又匯合成更大的臺階。河流的流向恰好與

裂紋擴展方向一致。所以人們可以根據(jù)河流花樣的流向，判斷解理裂紋在微觀區(qū)域內(nèi)

的擴展方向。

圖2-2解理斷口電子圖像

沿晶斷裂如圖2-3所示，裂紋走向沿著晶界，并不在某一平面內(nèi)運動，晶粒特別粗大

時形成石塊或冰糖狀斷口，晶粒較細(xì)時形成結(jié)晶狀斷口(圖2-3a)。沿晶斷裂的結(jié)晶狀

斷口比解理斷裂的結(jié)晶狀斷口反光能力稍差，顏色黯淡。

(a)沿晶斷裂(b)穿晶斷裂

圖2-3某材料典型的斷口掃描電鏡圖

穿晶（晶內(nèi)）斷裂如圖2-3b所示，裂紋沿著多晶粒的解理穿過，而不管晶界的位置如

何。

（2）韌性斷裂

材料斷裂時經(jīng)過宏觀塑性變形階段、可觀察到明顯的縮頸現(xiàn)象，稱為韌性斷裂。斷口呈

盆狀或杯狀，金屬材料的斷裂多屬此種（圖2-4）。

（a）材料的宏觀圖（b）掃描電鏡圖

圖2-4某材料典型的韌性斷裂圖

2.2.2裂紋尖端應(yīng)力集中問題

Griffith認(rèn)為實際材料中總是存在許多細(xì)小的裂紋或缺陷，在外力作用下，這些裂紋

和缺陷附近產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定程度時，裂紋開始擴展而導(dǎo)致斷裂。所以斷

裂并不是兩部分晶體同時沿整個界面拉開，而是裂紋擴展的結(jié)果，微裂紋理論抓住了脆性斷

裂問題的本質(zhì)。

Inglis研究了具有孔洞的板的應(yīng)力集中問題，得到一個重要結(jié)論：空洞兩個端部的應(yīng)

力幾乎取決于孔洞的長度和端部的曲率半徑而與孔洞的形狀無關(guān)。在一個大而薄的平板上，

設(shè)有一穿透的孔洞，不管孔洞是橢圓還是菱形，只要孔洞的長度（2c）和端部曲率半徑P不

變，則孔洞端部的應(yīng)力不會有很大的改變。根據(jù)彈性理論求得孔洞端部的應(yīng)力（TA為

2-9

式中，o■為外加應(yīng)力。如果c>>0,即為扁平的銳裂紋，則c/夕將很大，這時可略去式

中括號內(nèi)的1,得

2-10

Orowan注意到p是很小的，可近似認(rèn)為與原子間距。的數(shù)量級相同，如圖2.5所示,

圖2.5微裂紋端部的曲率對應(yīng)于原子間距

這樣可將（2.10）式寫成

%=2可，=2b

當(dāng)b.等于（2.6）式中的理論結(jié)合強度時，裂紋就被拉開而迅速擴展，裂紋擴展，使c

增大，b,又進(jìn)一步增加。如此惡性循環(huán)，材料很快斷裂。Inglis只考慮了裂紋端部一點的

應(yīng)力，實際上裂紋端部的應(yīng)力狀態(tài)是很復(fù)雜的。

2.2.3材料的斷裂強度

Griffith從能量的角度研究裂紋擴展的條件：物體內(nèi)儲存的彈性應(yīng)變能的降低大于等

于開裂形成兩個新表面所需的表面能。反之，前者小于后者，裂紋則不會擴展。

在求理論強度時曾將此概念用于理想的完整晶體。Griffith將此概念用于有裂紋的物

體，認(rèn)為物體內(nèi)儲存的彈性應(yīng)變能的降低（或釋放）就是裂紋擴展的動力。我們用圖2.6

來說明這一概念并導(dǎo)出這一臨界條件。

圖2.6裂紋擴展臨界條件的導(dǎo)出

將一單位厚度的薄板拉長到/+△/,然后將兩端固定。此時板中儲存的彈性應(yīng)變能為

叱4=l/2（F?A/）.然后人為地在板上割出一條長度為2c的裂紋，產(chǎn)生兩個新表面，原來

儲存的彈性應(yīng)變能就要降低，有裂紋后板內(nèi)儲存的應(yīng)變能為叱匕=1/2（尸-，應(yīng)變

能降低為叱.=此1-叱匕U1/2A/7*"，欲使裂紋進(jìn)一步擴展，應(yīng)變能將進(jìn)一步降低。降

低的數(shù)量應(yīng)等于形成新表面所需的表面能。

由彈性理論可以算出，當(dāng)人為割開長2c的裂紋時，平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能的降低為

式中，c為裂紋半長；b為外加應(yīng)力；E是彈性模量。如為厚板，則屬平面應(yīng)變狀態(tài)，此時

22

%=（1一〃2）^12-13

E

式中，〃為泊松比。

產(chǎn)生長度為2c,厚度為1的兩個新斷面所需的表面能為

叱=4cy2-14

式中，/為單位面積上的斷裂表面能，單位為J/n?。

裂紋進(jìn)一步擴展2dc,單位面積所釋放的能量為“”，形成新的單位表面積所需的表

2dc

dwdwdwdwdw

面能為一，因此，當(dāng)一V―時，為穩(wěn)定狀態(tài)，裂紋不會擴展；反之，—＞一

2dc2dc2dc2dc2dc

時，裂紋失穩(wěn)，迅速擴展；當(dāng)4”=也時，為臨界狀態(tài)。又因

2dc2dc

dw_d7rc2(J2、m2c

e2.15

2dc2dcE

dwd,人、、

——-s=----(4cy)=2/2.16

2dc2dc

因此臨界條件是

兀今

-----=2y2-17

E

由此推出的臨界應(yīng)力為

2-18

如果是平面應(yīng)變狀態(tài)，則

2-19

）何

這就是Griffith從能量觀點分析得出的結(jié)果，稱之為斷裂強度。和（2.6）式理論強度的公

式很類似，（2.6）式中a為原子間距，而式（2.18）中c為裂紋半長?？梢?，如果我們能控

制裂紋長度和原子間距在同一數(shù)量級，就可使材料達(dá)到理論強度。當(dāng)然，這在實際上很難做

到，但已給我們指出了制備高強材料的方向。即E和7要大，而裂紋尺寸要小。應(yīng)注意（2.18）

式是從平板模型推導(dǎo)出來的，物體幾何條件的變化，對結(jié)果也會有影響。

Griffith用剛拉制的玻璃棒做實驗。玻璃棒的彎曲強度為6GPa,在空氣中放置幾小時

后強度下降成0.4GPa。強度下降的原因是由于大氣腐蝕形成表面裂紋。還有人用溫水溶去

氯化鈉表面的缺陷，強度即由5Mpa提高到1.6GPa?？梢姳砻嫒毕輰嗔褟姸扔绊懞艽?。還

有人把石英玻璃纖維分割成幾段不同的長度，測其強度時發(fā)現(xiàn)，長度為12cm時，強度為

275Mpa；長度為0.6cm時，強度可達(dá)760Mpa。這是由于試件長，含有微裂紋的機會就多。

其他形狀試件也有類似規(guī)律，大試件強度偏低，這就是所謂的尺寸效應(yīng).彎曲試件的強度比

拉伸試件的強度高，也是因為彎曲試件的橫截面上只有一小部分受到最大拉應(yīng)力的緣故。

從以上實驗可知，Griffith微裂紋理論能說明脆性斷裂的本質(zhì)------微裂紋擴展，且

與實驗相符，并能解釋強度的尺寸效應(yīng)。

在實際應(yīng)用中，式2.18中的/采用斷裂表面能，斷裂表面能了比自由表面能大。這是

因為儲存的彈性應(yīng)變能除消耗于形成新表面外，還有一部分要消耗在塑性形變、聲能、熱能

等方面。表2.1列出了一些單晶材料的斷裂表面能。對于多晶陶瓷，由于裂紋路徑不規(guī)則，

阻力較大，測得的斷裂表面能比單晶大。

表2.1一些單晶的斷裂表面能

晶體溫度（K）表面斷裂能（J/m?）

云母（真空條件下）2984.5

LiF（在液氮中）770.4

MgO（在液氮中）771.5

CaFz（在液氮中）770.5

Ba&（在液氮中）770.3

CaC03（在液氮中）770.3

Si（在液氮中）771.8

NaCl（在液氮中）770.3

藍(lán)寶石（1011）面2986

藍(lán)寶石（1010）面2987.3

藍(lán)寶石（1123）面7732

藍(lán)寶石（1011）面7724

藍(lán)寶石（2243）面7716

藍(lán)寶石（1123）面29824

2.2.4奧羅萬對斷裂強度的修正

微裂紋理論應(yīng)用于玻璃等脆性材料上取得了巨大的成功，但用到金屬與非晶體聚合物時

遇到了新的問題。實驗得出的b,值比按（2.18）式算出的大得多.Orowan指出延性材料在

裂紋尖端應(yīng)力集中，雖然局部應(yīng)力很高，但當(dāng)應(yīng)力超過屈服強度時，就會產(chǎn)生塑性形變，裂

紋擴展必須首先通過塑性區(qū)，塑性形變要消耗大量能量，金屬和陶瓷斷裂過程的主要區(qū)別就

在這里，因此金屬的o■，提高。他認(rèn)為可以在Griffith斷裂方程中引入塑性功力來描述延

性材料的斷裂，即

2E(y”)

2-20

7DC

由于塑性功乙＞＞表面能上述修正公式可以表示為:

2"

=2-21

V71C

例如高強度金屬七10”,普通強度鋼力=(lO'-lO，)因此，對具有延性的金屬類材

料?，力控制著斷裂過程。典型陶瓷材料E=3X10"Pa,y=lj/m2,如有長度c=l"ni的裂紋,

3

則按(2.18)式，區(qū)產(chǎn)4X10午a。對高強度鋼，假定E值相同，//,=107=10J/m%則q=4

Xl()8pa時，臨界裂紋長度可達(dá)1.25廊，比陶瓷材料的允許裂紋尺寸大了三個數(shù)量級。由此

可見，陶瓷材料存在微觀尺寸裂紋時便會導(dǎo)致在低于理論強度的應(yīng)力下斷裂。因此，塑性是

阻止裂紋擴展的一個重要因素。

當(dāng)裂紋尖端的局部應(yīng)力(式2.11),達(dá)到理論結(jié)合強度式2.6時，裂紋就擴展：

2-22

整理上式可得:

2-23

可見，當(dāng)夕=一時，上式成為式2.18,即Griffith斷裂方程僅適用于裂紋尖端曲

71

Q,.

率半徑p＜一的情況，說明裂紋尖端只能產(chǎn)生很小的塑性形變。而當(dāng)曲率半徑p＞一時,

7t71

由于裂紋尖端塑性形變較大，心控制著裂紋的擴展，必須采用奧羅萬的修正公式。

當(dāng)式2.23平均應(yīng)力達(dá)到奧羅萬修正值時，含裂紋材料就斷裂：

整理上式得:

空=在2-25

8a/

可見，裂紋尖端的曲率半徑P隨著塑性功力的增大而增大，裂紋尖端的應(yīng)力集中程度

O-A(式2.11)下降，應(yīng)變能轉(zhuǎn)變成塑性形變，而不是表面能，避免了材料的脆性斷裂。

§2.3裂紋的起源與擴展的能量判據(jù)

2.3.1、裂紋的起源

實際材料均帶有或大或小、或多或少的微裂紋，其形成原因分析如下：

(1)由于晶體微觀結(jié)構(gòu)中存在缺陷，當(dāng)受到外力作用時，在這些缺陷處就會引起應(yīng)

力集中，導(dǎo)致裂紋成核。在介紹位錯理論時，曾列舉位錯運動中的塞積、位錯組合、

交截等都能導(dǎo)致裂紋成核，見圖2.7。

圖2.7位錯形成裂紋示意圖

(2)材料表面的機械損傷與化學(xué)腐蝕形成表面裂紋。這種表面裂紋最危險，裂紋的擴展

常常由表面裂紋開始。有人研究過新制備的材料表面，用手觸摸就能使強度降低約一個數(shù)量

級；從幾十厘米高度落下的一粒沙子就能在玻璃面上形成微裂紋。直徑為6.4mm的玻璃棒，

在不同的表面情況下測得的強度值見表2.3。大氣腐蝕造成表面裂紋的情況前已述及。如果

材料處于其他腐蝕性環(huán)境中，情況更加嚴(yán)重.此外，在加工、搬運及使用過程中也極易造成

表面裂紋。

表2.2不同表面情況對玻璃強度的影響

表面情況強度(MPa)

工廠剛制得45.5

受沙子嚴(yán)重沖刷后14.0

用酸腐蝕除去表面缺陷后1750

(3)由于熱應(yīng)力形成裂紋。大多數(shù)無機材料是多晶多相體，晶粒在材料內(nèi)部取向不同，

不同相的熱膨脹系數(shù)也不相同，這樣就會因各方向膨脹或收縮不同而在晶界或相界出現(xiàn)應(yīng)力

集中，導(dǎo)致裂紋生成，如圖2.8所示。

圖2.8由于熱應(yīng)力形成的裂紋

在制造使用過程中，由高溫迅速冷卻時;因內(nèi)部和表面的溫度差別引起熱應(yīng)力，導(dǎo)致表

面生成裂紋。此外，溫度變化時發(fā)生晶型轉(zhuǎn)變的材料也會因體積變化而引起裂紋。

總之，裂紋的成因很多，要制造沒有裂紋的材料是極困難的，因此假定實際材料都是裂

紋體，是符合實際情況的。

2.3.2、裂紋擴展的能量判據(jù)

按照Griffith微裂紋理論，材料的斷裂強度不是取決于裂紋的數(shù)量，而是取決于裂紋

的大小，既由最危險的裂紋尺寸（臨界裂紋尺寸）決定材料的斷裂強度。一旦裂紋超過臨界

尺寸就迅速擴展使材料斷裂.因為裂紋擴展力G=^C（T7E,c增加，G增加。而dW,/dc=27是

常數(shù)，因此，裂紋一旦達(dá)到臨界尺寸開始擴展，G就越來越大于27,直到破壞。所以對于

脆性材料，裂紋的起始擴展就是破壞過程的臨界階段。因為脆性材料基本上沒有吸收大量能

量的塑性形變。

由于G愈來愈大于27,釋放出來的多余能量一方面使裂紋擴展加速（擴展的速度一般

可達(dá)到材料中聲速的40%-60%）；另一方面，還能使裂紋增殖，產(chǎn)生分支形成更多的新表面。

圖2.9是四塊玻璃板在不同負(fù)荷下用高速照相機拍攝的裂紋增殖情況。多余的能量也可能不

表現(xiàn)為裂紋增殖，而是斷裂面形成復(fù)雜的形狀，如條紋、波紋、梳刷狀等。這種表面極不平

整，表面積比平的表面大得多，因此能消耗較多的能量。對于斷裂表面的深入研究，有助于

了解裂紋的成因及其擴散的特點，也能提供斷裂過程中最大應(yīng)力的方向變化及缺陷在斷裂中

的作用等信息?！皵嗔研蚊矊W(xué)”就是專門研究斷裂表面特征的科學(xué)。

圖2.9玻璃板在不同負(fù)荷下裂紋增殖示意圖

2.3.3、防止裂紋擴展的措施

首先應(yīng)使作用應(yīng)力不超過臨界應(yīng)力，這樣裂紋就不失穩(wěn)擴展。例如在陶瓷材料基體中加

入塑性的粒子或纖維制成金屬陶瓷和復(fù)合材料。此外，人為地在材料中造成大量極細(xì)微的裂

紋（小于臨界尺寸）也能吸收能量，阻止裂紋擴展。例如韌性陶瓷就是在氧化鋁中加入氧化

錯，利用氧化錯的相變產(chǎn)生體積變化，在基體上形成大量微裂紋或可觀的擠壓內(nèi)應(yīng)力，阻止

裂紋的擴展。

§2.4材料的斷裂韌性

微裂紋理論提出后，一直被認(rèn)為只適用于玻璃、陶瓷這類脆性材料，對其在金屬材料中

的應(yīng)用沒有受到重視。從20世紀(jì)40年代起，金屬材料的構(gòu)件發(fā)生了一系列重大的脆性斷裂

事故。例如二戰(zhàn)時期美國5000艘全焊接“自由輪”，發(fā)生了1000多次脆性破壞事故，其中

238艘完全破壞，有的甚至斷成兩截。20世紀(jì)50年代，美國發(fā)射北極星導(dǎo)彈，其固體燃料

發(fā)動機殼體采用了超高強度鋼，但點火后不久就發(fā)生了爆炸。1952年ESSO公司原油罐因

脆性斷裂而倒塌。這些重大破壞事故引起材料力學(xué)工作者的震驚，這是傳統(tǒng)材料力學(xué)設(shè)計無

法解釋的。從大量事故分析中發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)件中不可避免地存在著宏觀裂紋，低應(yīng)力下脆性破

壞正是這些裂紋擴展的結(jié)果。傳統(tǒng)的方法難于對斷裂進(jìn)行分析，不能定量地處理問題并直接

用于設(shè)計。在這樣的背景下，發(fā)展了一門新的力學(xué)分支一斷裂力學(xué)。它是研究含裂紋物體的

強度和裂紋擴展規(guī)律的科學(xué)，并提出一個材料固有性能的指標(biāo)一一斷裂韌性，用斷裂韌性作

為判據(jù)，能真正用于為工程構(gòu)件選擇材料，它能告訴我們，在給定裂紋尺寸時，能允許多大

的工作應(yīng)力才不會發(fā)生脆性斷裂；反之，當(dāng)工作應(yīng)力確定后，可根據(jù)斷裂韌性判據(jù)確定不發(fā)

生脆性斷裂的最大裂紋尺寸。

2.4.1裂紋的擴展方式

裂紋有三種擴展方式或類型：掰開型（I型）、錯開型（H型）及撕開型（in型），見圖2.10。

其中掰開型擴展是低應(yīng)力斷裂的主要原因，也是實驗和理論研究的主要對象，這里也主要介

紹這種擴展類型。

掰開型（1型）錯開型（11型）撕開型（山”）

圖2.10裂紋擴展的三種類型

我們用不同裂紋尺寸c的試件做拉伸實驗，測出斷裂應(yīng)力區(qū).，發(fā)現(xiàn)斷裂應(yīng)力與裂紋長

度有如圖2.11的關(guān)系，可表示為:

3-勿

圖2.11裂紋長度與斷裂應(yīng)力的關(guān)系

/=KcF2-26

式中K為與材料、試件尺寸、形狀、受力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)。該式說明，當(dāng)作用應(yīng)力

。=%,或長=2,，5時，斷裂立即發(fā)生。這是由實驗總結(jié)出的規(guī)律。說明斷裂應(yīng)力受現(xiàn)

有裂紋長度制約。

2.4.2裂紋尖端應(yīng)力場分析

1957年Irwin應(yīng)用彈性力學(xué)的應(yīng)力場理論對裂紋尖端附近的應(yīng)力場進(jìn)行了較深入的分

析，對于I型裂紋（圖2.12）得到如下結(jié)果：

圖2.12裂紋尖端的應(yīng)力分布

C電)

22

/。3。、

(l+sin—sin——)2-27

22

式中，K,為與外加應(yīng)力。、裂紋長度、裂紋種類和受力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)，稱為應(yīng)力場強度

因子，其下標(biāo)I表示I型擴展裂紋，單位為Pa?m'"。（2.27）式也可以寫成

2-28

式中，，為半徑向量，。為角座標(biāo)。

當(dāng)r<Vc,6-0時，即為裂紋尖端處的一點，則

K___

2-29

裂紋端部的應(yīng)力場可以用Ki來表示，使裂紋擴展的主要動力是b?,。

2.4.3應(yīng)力場強度因子及幾何形狀因子

由于2.25式中的。、,，就是裂紋尖端的應(yīng)力集中OA（式2.11），所以可將（2.29）式改

寫成:

=o\vj2勿=<7*2"=2crJ4J2m=Yb&2-30

\P

Ki是反映裂紋尖端應(yīng)力場強度的強度因子。Y為幾何形狀因子，它和裂紋型式、試

件幾何形狀有關(guān)。求Ki的關(guān)鍵在于求Y。不同條件下的Y即為斷裂力學(xué)的內(nèi)容。Y也可以

通過實驗得到。各情況下的Y已匯編成冊，供查索。圖2.13列舉出幾種情況下的Y值，例

如，圖2.10(c)中三點彎曲式樣，當(dāng)s/w=4時，幾何形狀因子為

Y=[1.93-3.07(C/W)+1.45(C/W)2-25.07(C/W)3+25.8(C/W)4]

?(c)

值

(a)大而薄的平板，中心穿透裂紋；(b)邊緣穿透裂紋；(c)三點彎曲試件

2.4.4臨界應(yīng)力場強度因子及斷裂韌性

按照經(jīng)典強度理論，在設(shè)計構(gòu)件時，斷裂準(zhǔn)則是。忘㈤,即工作應(yīng)力應(yīng)小于或等于允許

應(yīng)力。允許應(yīng)力⑻=?f7n或Cys/n,Of為斷裂強度，?為屈服強度，n為安全系數(shù)。Of與ays

都是材料常數(shù)。上面已經(jīng)談到，這種設(shè)計方法和選材的準(zhǔn)則沒有抓住斷裂的本質(zhì)，不能防止

低應(yīng)力下的脆性斷裂。按斷裂力學(xué)的觀點，必須提出新的設(shè)計思想和選材標(biāo)準(zhǔn)，為此采用一

個新的表征材料特征的臨界值。此臨界值叫做平面應(yīng)變斷裂韌性，它也是一個材料常數(shù)，從

破壞方式為斷裂出發(fā)，這一判斷可表示為

l/2

Ki=YacWKlc=Y(rc4c(2-31

就是說應(yīng)力場強度因子小于或等于材料的平面應(yīng)變斷裂韌性Kic，所設(shè)計的構(gòu)件才是安全的。

這一判據(jù)內(nèi)考慮了裂紋尺寸。

下面舉一具體例子來說明兩種設(shè)計選材方法的差異。有一構(gòu)件，實際工作應(yīng)力o為

1.30Gpa,有下列兩種鋼待選：

l/2

甲鋼：oys=1.95GPa,Kic=45MPa*m

乙鋼：Oys=1.56Gpa,Kic=45MPa*m"2

根據(jù)傳統(tǒng)設(shè)計GX安全系數(shù)W屈服強度。

甲鋼的安全系數(shù)：n=ays/o=1.95Gpa/1.95Gpa=1.5

乙鋼的安全系數(shù)：n=1.56/1.30=1.2

可見選擇甲鋼比選乙鋼安全。

但是根據(jù)斷裂力學(xué)觀點，構(gòu)件的脆性斷裂是裂紋擴展的結(jié)果，所以應(yīng)該計算Ki是否超過

Kico據(jù)計算，Y=1.5,設(shè)最大裂紋尺寸2c為1mm,則:

K1=Yoc|/2=1.5*1.3*0.0011/2=61.66(MPa*ml/2)WKic

對于甲鋼，Ki會導(dǎo)致低應(yīng)力下脆性斷裂；對于乙鋼，K,WKQ，所以選擇乙鋼是安

全可靠的。也可以計算斷裂強度：

甲鋼的斷裂強度：

K45x10630xl08_小.,

a.=-岸lc=---}=——；=—=9Q.5x10?1.0(GPa)

Y/c1.570X)01V10

乙鋼的斷裂強度：oc=1.67GPa

因為甲鋼的斷裂強度Cc小于實際工作應(yīng)力1.30GPa,因此是不安全的，會導(dǎo)致低應(yīng)力脆性

斷裂；乙鋼的斷裂強度小大于實際工作用應(yīng)力1.30GPa,因而是安全可靠的?？梢?兩種設(shè)

計方法得出截然相反的結(jié)果.按斷裂力學(xué)觀點設(shè)計，既安全又可靠,又能充分發(fā)揮材料的強度,

合理使用材料.而按傳統(tǒng)觀點，片面追求高強度，其結(jié)果不但不安全，而且還埋沒了乙鋼這種非

常合用的材料。

從上面分析可以看到Kk這一材料常數(shù)的重要性，有必要進(jìn)一步研究其物理意義。

2.4.5裂紋擴展的動力與阻力

Irwin將裂紋擴展單位面積所降低的彈性應(yīng)變能定義為應(yīng)變能釋放率或裂紋擴展動力，

對于有內(nèi)裂的薄板，裂紋擴展動力：

j222

a.7TCB、7uy"c

---(------)=-----2-32

2dcEE

2

如果達(dá)到臨界狀態(tài)，貝I：6=竺一，因為丫=正,

Kh=町.八代入上式，得:

E

G=^

c平面應(yīng)力狀態(tài)2-33

E

Gc=。一〃K上平面應(yīng)變狀態(tài)2-34

E

對于脆性材料，彈性應(yīng)變能的降低等于表面能2丫，由上式可得:

平面應(yīng)力狀態(tài)2-35

平面應(yīng)變狀態(tài)2-36

可見Kic與材料本證參數(shù)E、丫、n等物理量有直接關(guān)系，因而KK：也是材料的本證參數(shù)，它

反映了具有裂紋的材料對外界作用的--種抵抗力，即阻止裂紋擴展的能力，因此是材料的固

有性質(zhì)。

2.4.6線彈性計算公式對試件尺寸的要求

上節(jié)所推導(dǎo)出來的斷裂判據(jù)，是由線彈性力學(xué)推導(dǎo)出來的。實際上在裂紋前沿附近，由

于高度的應(yīng)力集中，臨近臨界狀態(tài)之前就已經(jīng)出現(xiàn)小區(qū)域的塑性形變，從而使此區(qū)域內(nèi)的應(yīng)

力狀態(tài)發(fā)生變化。如果此區(qū)域的大小與原有裂紋長度等尺寸相差不大，則很難將這種應(yīng)力歸

結(jié)為線彈性的。因此，為了準(zhǔn)確地引用由線彈性力學(xué)計算出的斷裂判據(jù)，必須將可能出現(xiàn)的

塑性小區(qū)域的大小限制在一定范圍內(nèi)。具體限制有兩個方面：

（1）裂紋前沿的塑性變形區(qū)尺寸對裂紋長度的要求

l/2

在Irwin應(yīng)力場公式中，當(dāng)0=0時（即在裂紋前沿附近）,y方向的應(yīng)力oy=Ki/（27cr）,

r為距裂紋尖端的距離。根據(jù)分析，該處的主應(yīng)力也是6”J與r的關(guān)系見圖2.14所示。

圖2.14裂紋尖端的塑性變形區(qū)

當(dāng)r=ro時，的=<^。由于屈服應(yīng)力下，材料可容納甚多的塑性變形，所以在r<r（）

的區(qū)域,Cy也都等于0“此區(qū)域即稱為塑性變形區(qū)。據(jù)此可得塑性區(qū)尺寸，

「。=；（旦）2(2.37)

2乃巴*

對于給定的材料，應(yīng)力強度因子Ki愈大，塑性區(qū)尺寸m愈大。

在平面應(yīng)變狀態(tài)下，考慮了原試樣的側(cè)向約束，實際的屈服強度更高一些，即

亞石因此平面應(yīng)變狀態(tài)下，塑性區(qū)尺寸將減小為:

r=__!__(旦)2(2.38)

°3%%"

其極限尺寸（公式）（"）,=—4（”）2

(2.39)

4萬T仁

J.F.Knott用邊界配位法計算了緊湊拉伸式樣和三點彎曲式樣上，不同r/c處的0分量

的精確解:

2

%(r,e)=c/(e)r+。2￡⑹八+。3力⑹產(chǎn)+c4f4(0)r+

并與近似解6=KI/（2兀介〃進(jìn)行對照，得出相對誤差dz￡x100%隨r/c的變化規(guī)律，見圖

（J

2.15o

X

(

0

c

)

s

/

1

?

c

)

b

L

X

(

0

￡

e

一

I5n

圖2.15不同試樣應(yīng)力場的近似解與精確解的相對誤差

從曲線可知，如果CY」一，則用三點彎曲試件時，相對誤差小于6%,說明近似

c15）

解法的誤差不大，而且應(yīng)力值偏大，使用時在安全一側(cè)。

r1

因此，如果限制塑性區(qū)尺寸m使得一〈——，近似求解線彈性應(yīng)力場強度因子Ki可行

c15萬

性成立，則:

裂紋長CN15萬=15萬X—底)2=2.5(暉)2(2.40)

32兀byscrys

如果滿足這個條件，則稱為小范圍塑性形變。線彈性斷裂判據(jù)僅適用于這種條件下。換

句話說，用試樣測Km時，裂紋的長度不能太短，要滿足上式。例如，對氧化鋁瓷

5,

c>2.5(—)2=0.51(相加)

120

對鋼材c>2.5(——)2=14(加加)

1600

所以金屬試樣和高分子材料試樣的預(yù)制裂紋不能太小。也就是說，試樣的幾何尺寸不能

太小。

(2)對試樣其他尺寸的要求

如果試樣的前后表面不受外力，即％=0,對于太薄的試樣，只受量及0，則為平

面應(yīng)力狀態(tài)。在這種情況下，傾斜截面上的剪應(yīng)力Txy較大，所以發(fā)生塑性變形的可能性大,

因而發(fā)生脆性斷裂的傾向就小。這也是上節(jié)研究裂紋尖端塑性區(qū)尺寸時，平面應(yīng)力狀態(tài)的塑

性區(qū)尺寸較大的原因。

一般試樣有足夠的厚度，在離試件表面一定距離的內(nèi)部屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，而前后兩個

表面則屬平面應(yīng)力狀態(tài)。表面上的較大的應(yīng)力狀態(tài)必然要影響到厚度中間的平面應(yīng)變狀態(tài)。

因此，愈薄的試樣，這種影響就愈大，故斷裂判據(jù)的適用條件還要求試樣的厚度

K

B>2.5(—^)22.41

b”

同樣，還對試樣的凈寬，即開裂剩余部分的尺寸有所限制，即

(w-c)>2.5(—)22.42

%

式中，W為試樣的寬度。

由于無機材料本身的屈服強度甚高，但斷裂韌性Kg卻較低，上述限制均不難滿足，所

以試樣的尺寸可以做得相當(dāng)小，高、寬僅幾毫米。

2.4.7斷裂韌性的測試方法

幾種脆性材料斷裂韌性的測試方法，所得結(jié)果大致能相互驗證。單邊直通切口梁法，易

受切口鈍化的影響，對于細(xì)晶陶瓷，測定的斷裂韌性值往往偏大。雙扭法在加載過程中，達(dá)

到裂紋失穩(wěn)斷裂之前，具有一段裂紋緩慢擴展階段，因而在失穩(wěn)斷裂一剎那，裂紋的形狀與

自然斷裂的裂紋一樣，不存在裂紋模擬問題，獲得的數(shù)值較準(zhǔn)確。缺點是試件尺寸較大，而

且屬于大裂紋，與陶瓷常見的裂紋有差別。Vieker壓痕法是在拋光的陶瓷材料表面上壓出壓

痕，根據(jù)不同載荷下的壓痕、裂紋長度，可以計算出斷裂韌性。

,§2.5顯微結(jié)構(gòu)對脆性斷裂的影響

討論顯微結(jié)生產(chǎn)和研究中對強度起著非常重要的作用，下面作簡要介紹。

2.5.1晶粒尺寸

對于多晶材料，構(gòu)對斷裂的影響，主要考慮晶粒尺寸、晶粒形狀、玻璃相及其氣孔對強

度的影響，這些因素在大量實驗證明晶粒愈小，強度愈高，因此微晶材料就成為無機材料發(fā)

展的一個重要方向。近年來已出現(xiàn)許多晶粒小于l/zm,氣孔率近于0的高強度高致密無機

材料，如表2.3所示。

表2.3幾種無機材料的斷裂強度

材料晶粒尺寸（um）氣孔率（%）強度(MPa)

-

高鋁磚(99.2%A12O3)2413.5

燒結(jié)AI2O3(99.8%48~0266

Al203)

熱壓Al203(99.9%3<0.15500

AI2O3)

熱壓Al203(99.9%<1~0900

AI2O3)

單晶ALOa02000

燒結(jié)MgO201.170

熱壓MgO<10340

單晶MgO-01300

實驗證明，陶瓷材料斷裂強度與晶粒大小的關(guān)系與金屬類似，服從Hall-Patch關(guān)系：

（jf=5）+k、d2-43

式中，和此為材料常數(shù)，d為晶粒直徑。

如果起始裂紋受晶粒限制，其尺寸與晶粒度相當(dāng)，則脆性斷裂與晶粒度的關(guān)系為

12

err=k2d2.44

對于這一關(guān)系解釋如下：多晶三氧化二鋁晶粒的斷裂表面能75=46J/m2,而晶界的

7H=18J/n）2,由于晶界比晶粒內(nèi)部弱，所以多晶材料破壞多是沿晶界斷裂。細(xì)晶材料晶界比

例大，沿晶界破壞時，裂紋的擴展要走迂回曲折的道路。晶粒愈細(xì)，此路程愈長。此外，多

晶材料中初始裂紋尺寸與晶粒度相當(dāng)，晶粒愈細(xì)，初始裂紋尺寸就愈小，這樣就提高了臨界

應(yīng)力。

,2.5.2晶粒形狀與晶界的影響

,陶瓷材料大都要加入燒結(jié)助劑，形成一定量的低熔點晶界相促進(jìn)致密化。晶界相的成分、

性質(zhì)及數(shù)量對強度有顯著影響。晶粒形狀應(yīng)該能避免應(yīng)力集中，對于單相多晶陶瓷來說，晶

粒形狀最好是等軸，尺寸均勻。晶界相應(yīng)能避免裂紋擴展過界并能松弛應(yīng)力場。晶界玻璃相

對強度不利，應(yīng)盡量減少晶界玻璃相，并通過熱處理使其晶化。

■2.5.3氣孔的影響

大多數(shù)無機材料的彈性模量和強度都隨氣孔率的增加而降低。這是因為氣孔不僅減小了

負(fù)荷面積，而且在氣孔鄰近區(qū)域應(yīng)力集中，減弱材料的負(fù)荷能力。

斷裂強度與氣孔率P的關(guān)系可由下式表示

at=（roexp（-nP）2-45

n為常數(shù)，一般為4-7。。。為沒有氣孔時的強度。從（2.21）式可知，當(dāng)氣孔率約為10%時,

強度將下降為沒有氣孔時強度的一半。這樣大小的氣孔率在一般無機材料中是常見的。透明

氧化鋁陶瓷的斷裂強度與氣孔率的關(guān)系示于圖2.16和（2.45）式的規(guī)律比較符合。

也可以將晶粒尺寸和氣孔率的影響結(jié)合起來考慮，表示為

crt-（ero+kd。e2-46

除氣孔率外，氣孔的形狀及分布也很重要。通常氣孔多存在于晶界上，這是特別有害的，它

往往成為開裂源。氣孔除有害一面外，在特定情況下，也有有利的一面。就是存在高的應(yīng)力

梯度時（例如由熱震引起的應(yīng)力），氣孔能起到容納變形，阻止裂紋擴展的作用。

其它，如雜質(zhì)的存在，也會由于應(yīng)力集中而降低強度。存在彈性模量較低的第二相也會

使強度降低。

2.6無機材料強度的統(tǒng)計性質(zhì)

2.6.1無機材料強度波動分析

根據(jù)Griffieh微裂紋理論，斷裂起源于材料中存在的最危險的裂紋。材料的斷裂韌性、

斷裂應(yīng)力（或臨界應(yīng)力）與特定受拉應(yīng)力區(qū)中最長的一條裂紋的裂紋長度有如下關(guān)系

（K）=K"電五2.47

材料的斷裂韌性是材料的本征參數(shù)，幾何形狀因子Y在給定實驗方法后也是常數(shù)。由上

式可知，材料的臨界應(yīng)力仇只隨材料中最大裂紋長度c變化。

由于裂紋的長度在材料內(nèi)的分布是隨機的，有大有小，所以臨界應(yīng)力也是有大有小，具

有分散的統(tǒng)計性，因此在材料抽樣試驗時，有的試樣小大，有的小。

材料的強度還與試件的體積有關(guān)。試件中具有一定長度c的裂紋的幾率與試件體積成正

比。設(shè)材料中，平均每lOcn?有一條長度為、(最長裂紋)的裂紋，如果試件體積為lOcn?,

則出現(xiàn)長度為C,的裂紋的幾率為100%,其平均強度為仇。如果試件體積為IcnAlO個試件

中只有一個上有一條J的裂紋，其余九個只含有更小的裂紋。結(jié)果，這十個試件的平均強

度值必然大于大試樣的Oco這就是測得的陶瓷強度具有尺寸效應(yīng)的原因。

此外，通常測得的材料強度還和裂紋的某種分布函數(shù)有關(guān)。裂紋大小、疏密使得有的地

方Gc大，有的地方W小，也就是說材料的強度分布也和斷裂應(yīng)力的分布有密切關(guān)系。另外,

應(yīng)力分布也與受力的方式有關(guān)，例如，同一種材料，抗彎強度比抗拉強度高。這是因為前者

的應(yīng)力分布不均勻，提高了斷裂強度。平面應(yīng)變受力狀態(tài)的斷裂強度比平面應(yīng)力狀態(tài)下的斷

裂強度為高。

2.6.2強度的統(tǒng)計分析

將一體積為V的試件分為若干個體積為AV的單元，每個單元中都隨機地存在裂紋。

做破壞實驗，測得b,o,<TC,,……,Gen然后按斷裂強度的大小排隊分組，以每組的單元數(shù)

為縱坐標(biāo)畫圖得示意圖2.17。

單

元

個

數(shù)

圖2-17斷裂強度分布圖

任取一單元，其強度為5,.，則在<7(0—(7區(qū)間的曲線下包圍的面積占總面積的分?jǐn)?shù)即

為的斷裂幾率。因為強度等于和小于的諸單元如果經(jīng)受區(qū),的應(yīng)力將全部斷裂，因而

這一部分的分?jǐn)?shù)即為試件在51乍用下發(fā)生斷裂的幾率:

P^V=AVn(o-)2.48

式中應(yīng)力分布函數(shù)n（。）為a。一4,?的總面積。

強度為區(qū)”?的單元在4,應(yīng)力下不斷裂的幾率為:

2.49

l-^v=l-rAVn(<T)]=QAV

整個試件中如有7?個單元，即V=rAV,整個試件在應(yīng)力下不斷裂的幾率為：

Q=屹j=[i—Av〃c）r=□—2.5o

Vr

此處不能用斷裂幾率來統(tǒng)計，因為只要有一個AVi斷裂，整個試件就斷裂。因此，必

須用不斷裂兒率來統(tǒng)計。

當(dāng)8時:

⑺，⑺

Qv=lim[l+]=e-%2.51

r

上式中的V,應(yīng)理解為歸一化體積，即有效體積與單位體積的比值，無量綱。

推而廣之，如有一批試件共計N個，進(jìn)行斷裂試驗得斷裂強度外，a2,……，%。

按斷裂強度的數(shù)值由小到大排列。設(shè)S為2一b“試件所占的百分?jǐn)?shù)，也可以說，S為應(yīng)力

小于區(qū),的試件的斷裂幾率，則

cn-0.53c〃

S=---------(或S=---------)2.52

NN+1

例如，N=7,n=4,則S="3=550%。對每一個試驗值外