江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次階段測(cè)試含解析

Page142024-2025學(xué)年第一學(xué)期第一次階段測(cè)試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.直線可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線斜率的正負(fù)值與定點(diǎn)即可推斷結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋訟C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故B對(duì)；故選：B2.若三條直線，和相交于一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程中，可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】聯(lián)立，解得，即直線與直線交于點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用三條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.假如方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲線關(guān)于y＝x對(duì)稱，則必有A.D＝E B.D＝F C.F＝E D.D＝E＝F【答案】A【解析】【詳解】由題知圓心（,）在直線y＝x上，即＝，∴D＝E.故選A.考點(diǎn)：圓的一般方程.4.順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（）A.平行四邊形 B.直角梯形C.等腰梯形 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩直線間的平行和垂直關(guān)系來推斷即可得出結(jié)論.【詳解】，，則，所以,與不平行，因此故構(gòu)成的圖形為直角梯形.故選：B.5.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)式，計(jì)算出兩圓圓心距，利用幾何法可推斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，所以，，因此，兩圓相交.故選：C.6.點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)直線方程推斷出直線過定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即為.故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)依據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.8.若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.二、多選題（每題5分，共20分）9.下列說法錯(cuò)誤是（）A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的隨意一條直線都存在傾斜角和斜率B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D.經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】A留意垂直于x軸的直線；B由對(duì)稱點(diǎn)所在直線的斜率與斜率關(guān)系，及其中點(diǎn)在對(duì)稱直線上推斷正誤；C求直線與數(shù)軸交點(diǎn)即可求面積；D留意直線也符合要求即可推斷.【詳解】A：垂直于x軸的直線不存在斜率，錯(cuò)誤；B：由、中點(diǎn)為且，兩點(diǎn)所在直線斜率為，故與垂直，正確；C：令有，令有，所以圍成的三角形的面積是，正確；D：由也過且在x軸和y軸上截距都為0，錯(cuò)誤.故選：AD10.已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11.已知直線，動(dòng)直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.不存在，使得的傾斜角為90° B.對(duì)隨意的，直線恒過定點(diǎn)C.對(duì)隨意的，與都不重合 D.對(duì)隨意的，與都有公共點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，令即可推斷正誤；對(duì)B，化簡(jiǎn)直線方程，依據(jù)定點(diǎn)滿意的系數(shù)為0，且滿意方程即可；對(duì)C，令即可推斷正誤；對(duì)D，依據(jù)B可得過定點(diǎn)推斷即可【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，符合傾斜角為90°，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，解可得，故過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，明顯與重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，過定點(diǎn)，而也在上，故對(duì)隨意的，與都有公共點(diǎn)，故D正確；故選：BD12.古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)覺；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿意，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為 B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)（1，1）的距離為10C.在C上存在點(diǎn)M，使得 D.C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9【答案】AD【解析】【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)可推斷A選項(xiàng)；由兩點(diǎn)的距離公式和圓的圓心得出點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，由此可推斷B選項(xiàng).設(shè)，由已知得，聯(lián)立方程求解可推斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此可推斷D選項(xiàng).【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即，故A正確；點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯(cuò)誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無解，故C錯(cuò)誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.三、填空題（每題5分，共20分）13.已知直線l上一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，仍在該直線上，則直線l的斜率k為___________【答案】##【解析】【分析】設(shè)出直線方程，然后依據(jù)題意進(jìn)行平移，最終依據(jù)兩直線相同列出等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)直線方程為，平移后直線方程為，整理得到，因?yàn)槠揭坪蠓匠倘允窃匠?，可得，?故答案為:14.經(jīng)過點(diǎn)作直線l，且直線l與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合能求出訪直線與線段有公共點(diǎn)的直線的斜率的范圍與傾斜角的范圍．【詳解】解：如圖，，，，，，則使直線與線段有公共點(diǎn)的直線的斜率的范圍為，，又直線傾斜角的范圍是：，且直線l的傾斜角的范圍為．故答案為：．15.兩條平行直線：與之間的距離是____【答案】##【解析】【分析】依據(jù)兩平行線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】，依據(jù)兩平行線的距離公式可知故答案為:16.已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在圓和圓上，則圓關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程為___；的最小值是____【答案】①.②.【解析】【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，即可得圓關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程；由題意，依據(jù)對(duì)稱性，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閳A，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1，因?yàn)閳A心關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以圓關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程為；由題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則在圓的對(duì)稱圓上，所以.故答案為：；.四、解答題（第17題10分，其余每題12分）17.已知直線l:＋＝1.（1）假如直線l的斜率為2，求實(shí)數(shù)m的值；（2）假如直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最大時(shí)直線l的方程．【答案】（1）m＝4；（2）x＋y－1＝0.【解析】【分析】（1）解方程＝2即得解；（2）解不等式組得到的取值范圍，再求出S＝－(m－1)2＋，利用二次函數(shù)求解.【小問1詳解】解：直線l的方程可化為y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.【小問2詳解】解：直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(2－m，0)，(0，m)．據(jù)題意知解得0<m<2，所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋.因?yàn)?＜m＜2，所以當(dāng)m＝1時(shí)，S取到最大值，故所求直線l的方程為＋＝1，即x＋y－1＝0.18.在①過點(diǎn)，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知圓E經(jīng)過點(diǎn)，且______.（1）求圓E的一般方程；（2）設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①③時(shí)，設(shè)圓的一般式方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)以及相關(guān)條件，依據(jù)待定系數(shù)法，即可確定圓的方程，選擇②時(shí)，依據(jù)幾何法確定圓心和半徑即可求解，（2）依據(jù)相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程.【小問1詳解】方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為.方案二：選條件②.直線恒過點(diǎn).因?yàn)閳AE恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓E經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即.方案三：選條件③.設(shè)圓E方程為.由題意可得，解得，則圓E的方程為，即.小問2詳解】設(shè).因?yàn)镸為線段AP的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以M的軌跡方程為.19.在中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求證：，且．【答案】證明見解析.【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，表示出E、F的坐標(biāo)，利用向量證明即可.【詳解】依據(jù)題意，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則，則，則有，故，且.20.已知圓與y軸相切于點(diǎn)，圓心在經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)的直線l上．（1）求圓的方程；（2）若圓與圓相交于M，N兩點(diǎn)，求兩圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用兩點(diǎn)求出直線方程l，利用圓心在l上又在求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑求出圓的方程；(2)利用兩圓的方程相減得到公共弦所在直線方程，求出圓心到公共弦的距離，利用勾股定理求出兩圓的公共弦長(zhǎng)．【小問1詳解】經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)的直線l的方程為，即，因?yàn)閳A與y軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，聯(lián)立解得可得圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A與y軸相切于點(diǎn)，故圓的半徑為4，故圓的方程為．【小問2詳解】圓的方程為，即，圓，兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心到直線的距離，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為．21.圓拱橋的一孔圓拱如圖所示，該圓拱是一段圓弧，其跨度米，拱高米，在建立時(shí)每隔4米需用一根支柱支撐．（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出圓弧的方程；（2）求支柱的長(zhǎng)度（精確到0.01米）．【答案】（1），()；（2）米.【解析】【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y軸，確定的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓弧方程為且，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可得方程.（2）由（1）及題設(shè)有，且在圓弧上，代入圓弧所在方程求y，即可知的長(zhǎng)度【小問1詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)所在圓弧方程為且，，解得，所以圓弧的方程，.【小問2詳解】由題設(shè)知：，則，且在圓弧上，所以，可得，故的長(zhǎng)度為米.22.已知直線與圓.（1）求證：直線l過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)O