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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.2.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.3.根據(jù)散點(diǎn)圖,對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計(jì)值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln24.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.5.已知是定義是上的奇函數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.3 B.5 C.7 D.96.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.8.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.1609.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.10.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值為()A. B. C. D.12.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.集合,,則_____.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為_(kāi)_________.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為_(kāi)_________.16.己知函數(shù),若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.19.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,,且.(1)求的值;(2)若,求的取值范圍.20.(12分)已知a>0,證明:1.21.(12分)移動(dòng)支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動(dòng)支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對(duì)100位市民做問(wèn)卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)22.(10分)已知,其中.(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.2、A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時(shí),取到最大值2,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問(wèn)題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.4、B【解析】
因?yàn)閷⒑瘮?shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)是定義是上的奇函數(shù),滿足,可得函數(shù)的周期為3,再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得,利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù),滿足,,可得,
函數(shù)的周期為3,
∵當(dāng)時(shí),,
令,則,解得或1,
又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),
∴在區(qū)間上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),
∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個(gè),
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫?,平面,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡(jiǎn)得.在中,,.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.7、B【解析】
由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,畫(huà)出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】
求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.10、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過(guò)平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為,所以函數(shù)的半個(gè)周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.12、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合,即可求得交集.【詳解】因?yàn)楸硎緸槠鏀?shù),故.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求集合的交集,根據(jù)已知集合求解,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,由此不等式對(duì)任意的恒成立,可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,進(jìn)而建立不等式組,解出即可得到答案.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,且,函?shù)為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù),顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)為定義在上的增函數(shù),不等式即為,在上恒成立,,解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用,考查不等式的恒成立問(wèn)題,屬于常規(guī)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】
(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長(zhǎng),再分別求解點(diǎn)到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為,在點(diǎn)B處的切線方程為,因?yàn)閮汕芯€均過(guò)點(diǎn)G,所以,所以A,B兩點(diǎn)均在直線上,所以直線AB的方程為,又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(0,p),所以,即G點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè)點(diǎn)G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因?yàn)橹本€AB的斜率,所以,且,線段AB的中點(diǎn)為M,所以直線EM的方程為:,所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),直線AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設(shè),因?yàn)閜是質(zhì)數(shù),且為整數(shù),所以或,當(dāng)時(shí),,是無(wú)理數(shù),不符題意,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即是無(wú)理數(shù),所以不符題意,當(dāng)時(shí),是無(wú)理數(shù),不符題意,綜上,當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線中的切線問(wèn)題通常借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解,四邊形的面積問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問(wèn)題,表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過(guò)計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面,利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式,可以求出二面角的余弦值.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn),所以.在中,分別為的中點(diǎn),所以,且.于是在中,,所以為直角三角形,且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)?,,,所以平?又平面,所以平面平面.(2)由已知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得.設(shè)平面的法向量,則即,取,得.所以,又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得,進(jìn)而求得和,代入求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可將表示為,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法,結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得:即(2)由(1)知:,,即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用,涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題;求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題,進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.20、證明見(jiàn)解析【解析】
利用分析法,證明a即可.【詳解】證明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要證明1,只要證明a1(a)1﹣4(a)+4,只要證明:a,∵a1,∴原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,著重考查分析法的運(yùn)用,考查推理論證能力,屬于中檔題.21、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補(bǔ)全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測(cè)值,把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較,得到能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)
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