福建省部分高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D.2.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)，一位射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7C.這組數(shù)據(jù)的極差為4 D.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為9〖答案〗D〖解析〗這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故B正確；這組數(shù)據(jù)的極差為，故C正確；將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.3.已知向量的夾角為，則（）A. B. C. D.5〖答案〗A〖解析〗由題意知，.故選：A.4.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長(zhǎng)，又圓錐母線長(zhǎng)，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．5.已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴?，所以，即，所以，又因?yàn)椋耘c的夾角是.故選：A.6.學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{(lán)球投籃特長(zhǎng)生考試，測(cè)試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機(jī)會(huì)，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒(méi)有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄?。虎廴羲谌志€處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒(méi)有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記事件表示“甲在罰球線處投籃，第次投進(jìn)”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進(jìn)，事件表示“甲共投籃三次就結(jié)束考試”，則.故選：B.7.故宮角樓的屋頂是我國(guó)十字脊頂?shù)牡湫痛?，如圖1，它是由兩個(gè)完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱和是兩個(gè)完全相同的直三棱柱，側(cè)棱與互相垂直平分，交于點(diǎn)I，，，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，由已知，、分別為、中點(diǎn)，因?yàn)槭侵比庵?，且，所以其，所以四邊形為平行四邊形，又，所以為矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長(zhǎng)度，設(shè)為；，在中，，所以，設(shè)角，則有，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)橐驗(yàn)槭侵比庵?，所以，且，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：B.8.如圖，直線，點(diǎn)是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為和．點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）且，若的面積為．則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)，則，所以，得，又，所以，得，解得，所以，故，，設(shè)，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法正確的是（）A.若，是共線的單位向量，則B.若，是相反向量，則C.若，則向量，共線D.若，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，，是共線的單位向量，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，是相反向量，則，B正確；對(duì)于C，，即，則向量，共線，C正確；對(duì)于D，，點(diǎn)，，，可以不在同一直線上，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開(kāi)為事件A，B，C，D，E.盒中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（）A.A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為B.D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為C.A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為D.當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，對(duì)于A，A，B兩個(gè)盒子暢通的概率為，A正確；對(duì)于B，D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，A，B，C三個(gè)盤子混聯(lián)后暢通的概率為，C正確；對(duì)于D，根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為，D正確.故選：ACD.11.如圖，已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，，且，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為B.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角為C.若，則三棱錐外接球的體積為D.若，則二面角的余弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以直線與平面所成角為，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：如圖，過(guò)A作，且，連接，，則四邊形為正方形，所以，所以（或其補(bǔ)角）即為直線與所成角，因?yàn)椋倪呅螢檎叫?，有，所以，又因?yàn)?，所以即為二面角的平面角，即，由、、且、平面，所以平面，又四邊形為正方形，所以，所以平面，又平面，所?由且四邊形為正方形，，所以，所以，即，即直線與所成角為，故B正確；對(duì)于D，如圖，作，且，則二面角的平面角為，不妨取，由，在中，易得，在中，由余弦定理得，，過(guò)C點(diǎn)作交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，則平面，過(guò)O點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，則為二面角的平面角，易得，，，所以，故D正確；對(duì)C選項(xiàng)：同選項(xiàng)D可知，如圖，分別取線段，的中點(diǎn)G，M，連接，過(guò)G點(diǎn)作平面的垂線，則球心必在該垂線上，設(shè)球的半徑為R，則，又的外接圓半徑，而平面平面，所以平面，即的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離，則，所以四面體的外接球的體積為，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗為：.13.為深入貫徹落實(shí)對(duì)天津工作“三個(gè)著力”重要要求，天津持續(xù)深化改革，創(chuàng)建全國(guó)文明城區(qū)，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢(mèng)想不斷實(shí)現(xiàn).在創(chuàng)建文明城區(qū)的過(guò)程中，中央文明辦對(duì)某小區(qū)居民進(jìn)行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，從本次問(wèn)卷中隨機(jī)抽取了50名居民的問(wèn)卷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)其得分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得50份數(shù)據(jù)的得分結(jié)果分為6組：，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則該小區(qū)居民得分的第70百分位數(shù)為_(kāi)_________.〖答案〗84.55〖解析〗由題意得，解得，因?yàn)榍?組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前5組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為x，則，解得，所以分位數(shù)約為.故〖答案〗為：.14.《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得到一個(gè)陽(yáng)馬（底面是長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉臑（四個(gè)面均為直角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵中，且有鱉臑C1-ABB1和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑沿線BC1翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，與鱉臑拼接成的幾何體的外接球的表面積是______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)沿線BC1翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，A點(diǎn)翻折到E點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，所拼成的幾何體為三棱錐，如圖，由可得，，即為正三角形，所以外接圓圓心為三角形中心，設(shè)三棱錐外接球球心為，連接，則平面，連接，，在中作，垂足為，如圖，因?yàn)椋?，所以是的中點(diǎn)，由矩形可知，因?yàn)闉槿切蔚闹行?，所以，在中，，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）若，，求.解：（1），由正弦定理可得，則，又在中，，，又為銳角三角形，．（2）在中，，，由（1）知，，所以由余弦定理，，則．16.如圖，在三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求異面直線與所成角的余弦值.解：（1）由已知得，又平面，平面，因此∥平面.（2）連結(jié)，，，在中，由已知可得，而即，平面，平面，平面.（3）連結(jié)，由為的中點(diǎn)知，直線與所成的銳角就是異面直線與所成的角，在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線與所成角的所成角的余弦值是.17.2023年為普及航天知識(shí)，某校開(kāi)展了“航天知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（滿分100分），其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該中學(xué)參加這次競(jìng)賽的共有3000名學(xué)生，試估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)；（2）估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；（3）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)?人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，則估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為人.（2）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，所以成績(jī)?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，成績(jī)?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，所以成績(jī)的分位數(shù)一定在內(nèi)，即，因此估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為.（3）因?yàn)?，，，所以從成?jī)?cè)?，，?nèi)的學(xué)生中分別抽取了人，人，人，其中有人為航天達(dá)人，設(shè)為，有人不是航天達(dá)人，設(shè)為，則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，有，共種，其中2人均為航天達(dá)人為共種，所以被選中的2人均為航天達(dá)人的概率為．18.如圖①所示，在中，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且．將沿DE折起到的位置，使，如圖②所示．M是線段的中點(diǎn)，P是上的點(diǎn)，平面．（1）求的值．（2）證明：平面平面．（3）求點(diǎn)P到平面的距離．解：（1）令平面交棱于點(diǎn)，連接，由，平面，平面，則平面，而平面平面，平面，于是，又平面，平面平面，平面，于是，因此四邊形是平行四邊形，，而，，所以.（2）在圖①的中，由，得，于是，而，則，，又M是線段的中點(diǎn)，則，，由（1）得，則，，則有，，因此，顯然，平面，則平面，而，因此平面，又平面，則，又平面，從而平面，又，則平面，而平面，所以平面平面.（3）由（1）知，又平面，平面，則平面，即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以點(diǎn)P到平面的距離為.19.如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為平行四邊形，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）證明：.（2）證明：平面平面.（3）若，當(dāng)與平面所成