高一必修一數(shù)學(xué)知識點歸納5篇

高一必修一數(shù)學(xué)知識點歸納5篇精選

高一數(shù)學(xué)是許多同學(xué)的噩夢，學(xué)問點眾多而且雜，對于高一

的同學(xué)們很不友好，我建議同學(xué)們通過總結(jié)學(xué)問點的方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),

這樣可以提高學(xué)習(xí)效率。下面就是我給大家?guī)淼母咭粩?shù)學(xué)必修一學(xué)

問點，盼望能關(guān)心到大家大家！

高一必修一數(shù)學(xué)學(xué)問點1

1."包含"關(guān)系子集

留意：有兩種可能(1)A是B的一部分，；(2)A與B是同一集

合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB

或BA

2.“相等〃關(guān)系(55,且55,則5=5)

實例：設(shè)A={x|x2-l=0}B={-U}“元素相同〃

結(jié)論：對于兩個集合A與B,假如集合A的任何一個元素都

是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，

我們就說集合A等于集合B,即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:假如AB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，

記作AB(或BA)

③假如AB,BC,那么AC

④假如AB同時BA那么A=B

1

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子

集。

高一必修一數(shù)學(xué)學(xué)問點2

一、集合

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上的山

⑵元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合｛H,A,P,Y｝

⑶元素的無序性:如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一個集合

3.集合的表示：｛｝如：｛我校的籃球隊員｝,｛太平洋，大西洋,

印度洋，北冰洋｝

⑴用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

⑵集合的表示方法：列舉法與描述法。

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N.或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1）列舉法：｛a,b,c｝

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括

號內(nèi)表示集合的方法。｛xR|x-32｝,｛x|x-32｝

3）語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

2

4)Venn圖：

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合

⑵無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

L"包含"關(guān)系子集

留意：有兩種可能(1)A是B的一部分，；(2)A與B是同一集

合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB

或BA

2."相等"關(guān)系：A=B(55,且55,則5=5)

實例：設(shè)A={x|x2-l=0}B={-l,l}“元素相同則兩集合相等"

即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:假如AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,

記作AB(或BA)

③假如AB,BC,那么AC

④假如AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子

集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n；個真子集

3

二、函數(shù)

1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略

3、恒成立問題的求解策略

4、反函數(shù)的幾種題型及方法

5、二次函數(shù)根的問題一題多解

指數(shù)函數(shù)y=aAx

aAa_aAb=aAa+b（aO,a>b屬于Q）

（aAa）Ab=aAab（aO,a>b屬于Q）

AAA

（ab）a=aa_ba（aOza>b屬于Q）

指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律：

1、函數(shù)y=aAx與y=aA-x關(guān)于y軸對稱

2、函數(shù)y=aAx與y=-aAx關(guān)于x軸對稱

3、函數(shù)y=aAx與y=-aA-x關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

對數(shù)函數(shù)y=logaAx

假如，且，，，那么：

O1+；

02-;

03.

留意：換底公式

（,且;，且;）.

幕函數(shù)y=xAa（a屬于R）

4

1、幕函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中為

常數(shù).

2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)全部的幕函數(shù)在(0,+)都有定義并且圖象都過點(1,1)；

(2)時，幕函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特

殊地，當(dāng)時，幕函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時，基函數(shù)的圖象上凸；

(3)時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)

從右邊趨向原點時一，圖象在軸右方無限地靠近軸正半軸，當(dāng)趨于時一,

圖象在軸上方無限地靠近軸正半軸.

方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)

的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函

數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。

即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

。1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根；

。2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的

圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù).

(1)00,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,

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二次函數(shù)有兩個零點.

(2)0=0,方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交

點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

⑶方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)

無零點.

三、平面對量

向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.

零向量：長度為的向量.

單位向量：長度等于個單位的向量.

相等向量：長度相等且方向相同的向量

向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

AB+BC=AC,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點。動身的兩個向量OA、OB,以O(shè)A、OB

為鄰邊作平行四邊形OACB,則以。為起點的對角線OC就是向量OA、

OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a,有：0+a=a+0=a。

|a+b||a|+|b|。

向量的加法滿意全部的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

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與a長度相等，方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,

零向量的相反向量仍舊是零向量。

(l)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)o

數(shù)乘運(yùn)算

實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，

記作a,|a|=|||a|,當(dāng)。時，a的方向和a的方向相同，當(dāng)0時，a

的方向和a的方向相反，當(dāng)=0時，a=0。

設(shè)、是實數(shù)，那么：(l)()a=(a)(2)()a=aa(3)(ab)=ab(4)(-)a=-(a)=(-a)o

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量

積或內(nèi)積，記作a?b,是a與b的夾角，|a|cos(|b|cos)叫做向量a在

b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0o

a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方

向上的投影|b|cos的乘積。

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

四、三角函數(shù)

1、擅長用"1"巧解題

2、三角問題的非三角化解題策略

3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法

4、三角函數(shù)向量綜合題例析

5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

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高一必修一數(shù)學(xué)學(xué)問點3

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數(shù)。

特殊地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx(k為常數(shù)，kO)

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

l.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))

2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

L作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

⑶連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次

函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x

軸和y軸的交點)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿意等式：

y=kx+b.(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于

(-b/k,O)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

3.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

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當(dāng)kO時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當(dāng)kO時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)bO時，直線必通過一、二象限;

當(dāng)b=0時、直線通過原點

當(dāng)bO時，直線必通過三、四象限。

特殊地，當(dāng)b=0時，直線通過原點0(0,0)表示的是正比例

函數(shù)的圖像。

這時，當(dāng)kO時，直線只通過一、三象限;當(dāng)kO時，直線只

通過二、四象限

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點A(xl,yl);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)

的表達(dá)式。

(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式卜也叫解析式)為y=kx+b.

(2)由于在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿意等式y(tǒng)=kx+b.

所以可以列出2個方程：yl=kxl+b①和y2=kx2+b②

(3)解這個二元一次方程，得到k,b的值。

(4)最終得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

L當(dāng)時間t肯定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt.

2.當(dāng)水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水時間t的一

次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S.g=S-化

六、常用公式：(不全，盼望有人補(bǔ)充)

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L求函數(shù)圖像的k值：(yl-y2)/(xl-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|xl-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|yl-y2|/2

4.求任意線段的長：(xl-x2)2+(yl-y2)2(注：根號下(xl-x2)與

(yl-y2)的平方和)

高一必修一數(shù)學(xué)學(xué)問點4

指數(shù)函數(shù)

⑴指數(shù)函數(shù)的定義域為全部實數(shù)的集合，這里的前提是a

大于0,對于a不大于。的狀況，則必定使得函數(shù)的定義域不存在連

續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單

調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個明顯的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的

過程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正

半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的

負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=l是從遞減到遞增的

一個過渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(0,1)這點。

(8)明顯指數(shù)函數(shù)二

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高一必修一數(shù)學(xué)學(xué)問點5

一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，

人們能意識到這些東西，并且能推斷一個給定的東西是否屬于這個整

體。

把討論對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡

稱為集。

2、集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是

確定的：屬于或不屬于。

(2)元素的互異性:一個給定集合中的元素是的，不行重復(fù)的。

(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以轉(zhuǎn)變的，并且轉(zhuǎn)

變位置不影響集合

3、集合的表示：{}

⑴用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

⑵集合的表示方法：列舉法與描述法。

a、列舉法：將集合中的元素----列舉出來{a,b,c}

b、描述法：

①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括

號內(nèi)表示集合。

{xR|x-32},{x|x-32}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

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③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個元素的集合

⑵無限集：含有無限個元素的集合

⑶空集：不含任何元素的集合

5、元素與集合的關(guān)系：

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aCA

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N_或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實數(shù)集R

6、集合間的基本關(guān)系

⑴“包含〃關(guān)系⑴子集

定義：假如集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們

說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。

二、函數(shù)的概念

函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個確定的

對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有確定

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函

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數(shù).記作：y=f(x),xA.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

(2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}

叫做函數(shù)的值域.

函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

函數(shù)的表示方法：⑴解析法：明確函數(shù)的定義域

(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)

的曲線、直線、折線、離散的點等等。

⑶列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特

征。

4、函數(shù)圖象學(xué)問歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(xA)中的x為

橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xA)

的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿意函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿

意y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.

(2)畫法

A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，

即平移。

(3)函數(shù)圖像平移變換的特點：

1)加左減右只對x

2)上減下加只對y

3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)

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4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)

5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)

6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像

不動得

函數(shù)y=|f(x)|

7)函數(shù)y=f(x)先作xO的圖像，然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得

函數(shù)f(|x|)

三、函數(shù)的基本性質(zhì)

1、函數(shù)解析式子的求法

(1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之

間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)

的定義域.

(2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數(shù)法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定

義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

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⑶對數(shù)式的真數(shù)必需大于零；

⑷指數(shù)、對數(shù)式的底必需大于零且不等于1.

(5)假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那

么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不行以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問題有意義.

3、相同函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函

數(shù)值的字母無關(guān));②定義域全都(兩點必需同時具備)

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

5、值域(先考慮其定義域)

⑴觀看法:直接觀看函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的

值域；

⑵反表示法：針對分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化

成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

⑶配方法：針對二次函數(shù)的類型，依據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)

來確定函數(shù)的值域，留意定義域的范圍。

⑷代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成

二次函數(shù)的類型。

6.分段函數(shù)

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(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

⑵各部分的自變量的取值狀況.

⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域

的并集.

(4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含肯定值的函數(shù)

7.映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，假如按某一個確定的

對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確

定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A—B為從集合A到集合B的

一個映射。記作"f(對應(yīng)關(guān)系)：A(原象卜-B(象)”

對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿意：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是

的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一

個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

留意：映射是針對自然界中的全部事物而言的，而函數(shù)僅僅

是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不肯定的函數(shù)

8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

(1、增減函數(shù)

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)

間D內(nèi)的任意兩個自變量Xi,X2,當(dāng)xl

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⑵假如對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,當(dāng)xl

留意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有

單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種

(2、圖象的特點

假如函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)

y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象

從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法:

任取xl,x2D,且xl

作差f(xl)-f(x2);

變形(通常是因式分解和配方)；

定號(即推斷差f(xl)-f(x2)的正負(fù));

下結(jié)論(指出函數(shù)耳x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)：假如y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=f[g(x)]=F(x)(xA)稱

為f、g的復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單

調(diào)性親密相關(guān)，其規(guī)律："同增異減〃

留意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單

調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

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9：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1、偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=f(x),

那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2、奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=f(x),

那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

利用定義推斷函數(shù)奇偶性的步驟：

a、首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其是否關(guān)于原點對稱;若

是不對稱，則是非奇非偶的函數(shù);若對稱，則進(jìn)行下面推斷；

b、確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

c