初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)2.2 基本不等式（學(xué)生版）

2.2基本不等式【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.知識(shí)點(diǎn)三用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數(shù)；(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時(shí)，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時(shí)，積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號(hào)成立的條件是否滿足．【基礎(chǔ)自測(cè)】1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．下列等式中最小值為4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝2t＋eq\f(1,t)C．y＝4t＋eq\f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq\f(1,t)3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．54．已知0<x<eq\f(1,2)，則y＝x(1－2x)的最大值為________．5．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為________m．【例題詳解】一、利用基本不等式比較大小例1(1)設(shè)，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．(2)（多選）若，則（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練1(1)若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．(2)若，，a≠b，則，，2ab，中最大的一個(gè)是______．二、利用基本不等式求最值例2(1)已知，求的最小值；(2)已知，求的最大值．(3)已知都是正數(shù)，若，求的最大值;(4)已知且，求的最小值.(5)已知.(=1\*romani)求的最小值；(=2\*romanii)求的最小值；(=3\*romaniii)求的最大值.(6)求解下列各題：（=1\*romani）求的最大值；（=2\*romanii）求的最小值.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知正數(shù)、滿足，求的最小值；(2)求函數(shù)的最小值．(3)已知x，y都是正數(shù)，若，求的最大值；(4)若，且＞0，求的最小值．(5)求下列函數(shù)的最值，已知，求的最小值；(6)已知正實(shí)數(shù)，若，求的最大值；(7)若x＞0，y＞0，且，求的最小值.三、用基本不等式證明不等式例3(1)已知，，，求證：(=1\*romani)；(=2\*romanii).（2）已知，求證：>．（3）已知，求證：．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）.四、基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例4(1)某工廠利用不超過(guò)64000元的預(yù)算資金擬建一長(zhǎng)方體狀的倉(cāng)庫(kù)，為節(jié)省成本，倉(cāng)庫(kù)依墻角而建（即倉(cāng)庫(kù)有兩個(gè)相鄰的側(cè)面為墻面，無(wú)需材料），由于要求該倉(cāng)庫(kù)高度恒定，不靠墻的兩個(gè)側(cè)面按照其底邊的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算造價(jià)，造價(jià)為每米1600元，倉(cāng)庫(kù)頂部按面積計(jì)算造價(jià)，造價(jià)為每平方米600元．在預(yù)算允許的范圍內(nèi)，倉(cāng)庫(kù)占地面積最大為（

）．A．36平方米 B．48平方米C．64平方米 D．72平方米(2)某中學(xué)計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)習(xí)基地的空地上用籬笆圍出一個(gè)面積為的矩形菜地，則需要的籬笆長(zhǎng)度至少是___________m.跟蹤訓(xùn)練4某單位安裝1個(gè)自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與管線、主體裝置的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來(lái)水公司供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該單位每年向自來(lái)水公司繳納水費(fèi)為，記為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來(lái)水公司繳水費(fèi)之和．(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)求為多少時(shí)，有最小值，并求出的最小值．【課堂鞏固】1．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P2．若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．若，則有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值4．若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．5．已知正數(shù)、滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．7．若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.8．解答下列問(wèn)題：已知，求函數(shù)最小值.9．已知，且，求的最小值.10．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．（1）求的最小值；（2）證明：．【課時(shí)作業(yè)】1．下列不等式恒成立的是（

）A．； B．；C．； D．．2．若x，y滿，則（

）A． B． C． D．3．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．124．已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．65．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A．B．C．D．46．已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．7．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，函數(shù)與交于點(diǎn)，函數(shù)與交于點(diǎn)，當(dāng)（

）時(shí)，的值最小.A．1 B． C． D．29．（多選）若，則（

）A． B． C． D．10．（多選）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為11．（多選）下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知x＞1，則的最小值為C．若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，則2x+y的最小值為3D．設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若9x2+y2+xy＝1，則3x+y的最大值為12．（多選）若．且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．13．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是__．某公司一年需要購(gòu)買某種原材料400噸，計(jì)劃每次購(gòu)買噸，已知每次的運(yùn)費(fèi)