2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類(lèi)題組9.3雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

.3雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)考點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2017課標(biāo)Ⅰ文,5,5分)已知F是雙曲線(xiàn)C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為(A.13B.12C.23答案D本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì).易知F(2,0),不妨取P點(diǎn)在x軸上方,如圖.∵PF⊥x軸,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12×3×1=32.2.(2017天津,5,5分)已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(OA.x24-y212=1B.xC.x23-y2=1D.x2-答案D不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,由題意可知c=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),所以ba=3,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求雙曲線(xiàn)的方程為x2-y23方法總結(jié)求雙曲線(xiàn)方程的常用方法:(1)待定系數(shù)法:設(shè)出所求雙曲線(xiàn)的方程,依據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,從而求得a,b,寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的方程;(2)定義法:依據(jù)題意建立動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)意的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)意的軌跡方程.3.(2016天津理,6,5分)已知雙曲線(xiàn)x24-y2b2=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)相交于A(yíng),B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為A.x24-3y24=1C.x24-y24=1D.答案D不妨設(shè)A(x0,y0)在第一象限,由題意得x由①③得x02=所以y02=b24×由②④⑤可得b2=12.所以雙曲線(xiàn)的方程為x24-y2思路分析抓住矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),利用該頂點(diǎn)既在圓上又在漸近線(xiàn)上,再結(jié)合矩形的面積建立方程組求解.評(píng)析本題考查了圓和雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì),考查了運(yùn)算求解實(shí)力和方程的思想方法.4.(2015安徽理,4,5分)下列雙曲線(xiàn)中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線(xiàn)方程為y=±2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1答案C由于焦點(diǎn)在y軸上,故解除A、B.由于漸近線(xiàn)方程為y=±2x,故解除D.故選C.5.(2014天津理,5,5分)已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)l:y=2x+10,雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)lA.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x答案A由題意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線(xiàn)方程為x256.(2014江西文,9,5分)過(guò)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn),與C的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x2答案A由雙曲線(xiàn)方程知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線(xiàn)方程為y=bax,因此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線(xiàn)的方程為x24-評(píng)析本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)以及圓的定義,考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力和邏輯推理實(shí)力.7.(2016課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A∵原方程表示雙曲線(xiàn),且焦距為4,∴m2或m2由①得m2=1,n∈(-1,3).②無(wú)解.故選A.方法優(yōu)化由題意可知(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,從而m2+n>0,且3m2-n>0,所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n∈(-1,3).8.(2015課標(biāo)Ⅰ文,16,5分)已知F是雙曲線(xiàn)C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,66).當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為答案126解析由已知得雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F(3,0).設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F',則F'(-3,0).由雙曲線(xiàn)的定義及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周長(zhǎng)最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即當(dāng)A、P、F'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),△APF的周長(zhǎng)最小.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),y0>0,由x0-3+y066=1,x02-y028=1得所以當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積S=12×6×66-12×6×26=129.(2015課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,3),且漸近線(xiàn)方程為y=±12x,則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案x24-y解析依據(jù)漸近線(xiàn)方程為x±2y=0,可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2-4y2=λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,3),所以42-4×(3)2=λ,即λ=4.故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y考點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)1.(2024課標(biāo)Ⅰ文,11,5分)設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2-y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72B.3C.52答案B由題易知a=1,b=3,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2為直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,∴|PF1|·|PF2|=16-42=6,∴S△PF1F2=12.(2024課標(biāo)Ⅰ文,10,5分)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為130°,A.2sin40°B.2cos40°C.1sin50°答案D本題主要考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式;考查考生的運(yùn)算求解實(shí)力和邏輯思維實(shí)力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b由題意知-ba又tan130°=-tan50°,∴ba∴雙曲線(xiàn)的離心率e=ca=1+b2a2=1+tan250°方法總結(jié)求雙曲線(xiàn)x2a2-y(1)定義法:e=2c2a=ca;(2)公式法:e=1+b2a2=1+tan2θ(θ為漸近線(xiàn)的傾斜角);(3)方程思想:利用題中條件得出關(guān)于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的方程3.(2024北京文,5,5分)已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2=1(a>0)的離心率是5,則A.6B.4C.2D.1答案D本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查學(xué)生運(yùn)算求解的實(shí)力以及方程的思想,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.由題意得e=ca=5,又a2+b2=c2,∴b2a2=∵b2=1,∴a2=14.∵a>0,∴a=1易錯(cuò)警示把雙曲線(xiàn)的離心率錯(cuò)認(rèn)為e=1-b4.(2024浙江,2,4分)雙曲線(xiàn)x23-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B本小題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.又∵焦點(diǎn)在x易錯(cuò)警示求雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn)(1)焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上,簡(jiǎn)單推斷錯(cuò)誤;(2)雙曲線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系式簡(jiǎn)單混淆.5.(2015課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線(xiàn)C:x22-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若MF1·MF2<0,則A.-33,C.-223答案A若MF1·MF2=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022-y02=1,解得y02=13.可知:M6.(2015課標(biāo)Ⅱ理,11,5分)已知A,B為雙曲線(xiàn)E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.5B.2C.3D.2答案D設(shè)雙曲線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限內(nèi),則易得M(2a,3a),又M點(diǎn)在雙曲線(xiàn)E上,于是(2a)2a2-7.(2015湖南文,6,5分)若雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1A.73B.54C.43答案D雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的兩條漸近線(xiàn)方程為y=±bax,則點(diǎn)(3,-4)在直線(xiàn)y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba8.(2015重慶文,9,5分)設(shè)雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過(guò)F作A1A2的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于B,C兩點(diǎn).若A1B⊥AA.±12B.±22C.±1答案C不妨令B在x軸上方,因?yàn)锽C過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0),且垂直于x軸,所以可求得B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為c,b2a,c,-b2a所以A1B=c+a,因?yàn)锳1B⊥A2C,所以A1B·即(c+a)(c-a)-b2a·即c2-a2-b4a2=0,所以b2故b2a2=1,即ba=1,又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為±ba9.(2014課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知F為雙曲線(xiàn)C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為()A.3B.3C.3mD.3m答案A由題意知,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨設(shè)F為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),故F(3m+3,0).其中一條漸近線(xiàn)的方程為y=1評(píng)析本題考查雙曲線(xiàn)的方程、性質(zhì)以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),考查考生對(duì)學(xué)問(wèn)的敏捷運(yùn)用實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.10.(2014課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)已知雙曲線(xiàn)x2a2-y23=1(a>0)的離心率為A.2B.62C.52答案D由雙曲線(xiàn)方程知b2=3,從而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a211.(2013課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12答案C∵ba=e2-1=54-1=112.(2011課標(biāo)全國(guó)理,7,5分)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直,l與C交于A(yíng),B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.3答案B不妨設(shè)雙曲線(xiàn)C為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),并設(shè)l過(guò)F2(c,0)且垂直于x∴2b2a=2×2a,b2∴離心率e=ca=1+b2a213.(2016課標(biāo)Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=13A.2B.32C.3答案A本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì);考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解法一:由MF1⊥x軸,可得M-c,b2a由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-1又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=∵c2=a2+b2?b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0?e2-22e-1=0,又∵e>1,∴e=2.故選解法二:由MF1⊥x軸,得M-c,b2a,∴|MF1|=b2a,由雙曲線(xiàn)的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|14.(2024課標(biāo)Ⅲ文,14,5分)設(shè)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)為y=2答案3解析∵雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b∴ba=2,∴雙曲線(xiàn)C的離心率為ca=1+b15.(2024上海,2,4分)雙曲線(xiàn)x24-y2=1的漸近線(xiàn)方程為答案y=±12解析本題主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.解法一:由雙曲線(xiàn)x24-y2=1知a2=4,b∴a=2,b=1,∴該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±12解法二:令雙曲線(xiàn)x24-y2=1中的“1”為“0”,即可得到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,即x24-y2=0,∴16.(2024江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)答案2解析本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì).雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線(xiàn)的距離為|bc|b2+(-a)2=32c,∴b=32c,∴b2=34c2,又b17.(2017課標(biāo)Ⅲ文,14,5分)雙曲線(xiàn)x2a2-y29=1(a>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=3答案5解析由題意可得3a=3所以a=5.18.(2017北京理,9,5分)若雙曲線(xiàn)x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=答案2解析本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì).由題意知,a2=1,b2=m.∵e=ca=1+b2a219.(2016山東理,13,5分)已知雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)