新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.3二項分布與超幾何分布學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．2.3二項分布與超幾何分布[課標解讀]1.通過詳細實例，了解伯努利試驗，駕馭二項分布，并能解決簡潔的實際問題.2.通過詳細實例，了解超幾何分布，并能解決簡潔的實際問題.3.駕馭兩個基本概率模型及其應(yīng)用，進一步深化理解隨機思想在解決實際問題中的作用．【教材要點】學(xué)問點一n次獨立重復(fù)試驗在相同的條件下，__________試驗，各次試驗的結(jié)果________，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復(fù)試驗．學(xué)問點二二項分布若將事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率q＝1－p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列X01…k…nPCn0p0Cn1p1q…Cnkpkqn…Cnnpn由于表中的其次行恰好是二項式綻開式(q＋p)n＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cnkpkqn－k＋…＋Cnnpnq學(xué)問點三超幾何分布設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件(M<N)，從全部物品中任取n件(n≤N)，則這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為________________(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，則稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X聽從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．【基礎(chǔ)自測】1.獨立重復(fù)試驗滿意的條件是________．(填序號)①每次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有發(fā)生和不發(fā)生兩種狀況；③每次試驗中發(fā)生的概率是相等的；④每次試驗發(fā)生的條件是相同的．2．一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．3．設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則C3A．5件產(chǎn)品中有3件次品的概率B．5件產(chǎn)品中有2件次品的概率C．5件產(chǎn)品中有2件正品的概率D．5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率4．下列隨機變量X不聽從二項分布的是()A．投擲一枚勻稱的骰子5次，X表示點數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù)B．某射手射中目標的概率為p，設(shè)每次射擊是相互獨立的，X為從起先射擊到擊中目標所須要的射擊次數(shù)C．實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球競賽，X表示甲獲勝的次數(shù)D．某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的次數(shù)題型1獨立重復(fù)試驗中的概率問題例1(1)某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他三次都擊中目標的概率是0.93；②他第三次擊中目標的概率是0.9；③他恰好2次擊中目標的概率是2×0.92×0.1；④他恰好2次未擊中目標的概率是3×0.9×0.12.其中正確結(jié)論的序號是________．(把正確結(jié)論的序號都填上)(2)某氣象站天氣預(yù)報的精確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位)：①5次預(yù)報中恰有2次精確的概率；②5次預(yù)報中至少有2次精確的概率；③5次預(yù)報中恰有2次精確，且其中第3次預(yù)報精確的概率．方法歸納獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟1．推斷：依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的特征，推斷所給試驗是否為獨立重復(fù)試驗．2．分拆：推斷所求事務(wù)是否須要分拆．3．計算：就每個事務(wù)依據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解，最終利用互斥事務(wù)概率加法公式計算．跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩隊進行排球競賽，已知在一局競賽中甲隊勝的概率為23題型2二項分布例2一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事務(wù)是相互獨立的，并且概率都是13求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列．狀元隨筆首先推斷ξ是否聽從二項分布，再求分布列．方法歸納1．本例屬于二項分布，當(dāng)X聽從二項分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與勝利概率p.2．解決二項分布問題的兩個關(guān)注點(1)對于公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，(2)推斷一個隨機變量是否聽從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事務(wù)發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次．跟蹤訓(xùn)練2在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必需且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為12，且各人的選擇相互之間沒有影響．設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ題型3超幾何分布的分布列例3在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中取3個，求取出的球中白球個數(shù)X的分布列．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)eq\x(\a\al(寫出X的,可能值))→eq\x(\a\al(求出每個X,對應(yīng)的概率))→eq\x(\a\al(寫出分,布列))方法歸納求超幾何分布的分布列時，關(guān)鍵是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相應(yīng)取值的概率，最終寫出分布列．跟蹤訓(xùn)練3袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機抽取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．題型4獨立重復(fù)試驗與二項分布綜合應(yīng)用【思索探究】1．王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項中隨機選一個答案，他做對的結(jié)果數(shù)聽從二項分布嗎？兩點分布與二項分布有何關(guān)系？[提示]做一道題就是做一次試驗，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它聽從二項分布．兩點分布就是一種特別的二項分布，即是n＝1的二項分布．2．王明做5道單選題，每道題都隨機選一個答案，那么他做對的道數(shù)聽從二項分布嗎？為什么？[提示]聽從二項分布．因為每道題都是隨機選一個答案，結(jié)果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”聽從二項分布．3．王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機選一個答案，他做對的道數(shù)聽從二項分布嗎？如何推斷一隨機變量是否聽從二項分布？[提示]不聽從二項分布．因為會做的兩道題做對的概率與隨機選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點．推斷一個隨機變量是否聽從二項分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，滿意這兩點的隨機變量才聽從二項分布，否則就不聽從二項分布．例4甲、乙兩隊參與奧運學(xué)問競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為23，乙隊中3人答對的概率分別為23，23，12，且各人回答正確與否相互之間(1)求隨機變量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事務(wù)，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事務(wù)，求P(AB).狀元隨筆(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ聽從二項分布，其中n＝3，p＝23(2)AB表示事務(wù)A，B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分．方法歸納對于概率問題的綜合題，首先，要精確地確定事務(wù)的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事務(wù)、獨立事務(wù)、獨立重復(fù)試驗四類事務(wù)中的某一種；其次，要推斷事務(wù)是A＋B還是AB，確定事務(wù)至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事務(wù)公式；最終，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事務(wù)、條件概率、獨立事務(wù)、n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知某種從太空飛船中帶回來的植物種子每粒勝利發(fā)芽的概率都為13(1)第一小組做了3次試驗，記該小組試驗勝利的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)其次小組進行試驗，直到勝利了4次為止，求在第4次勝利之前共有3次失敗的概率．題型5二項分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用例5在一次購物抽獎活動中，假設(shè)抽獎箱中10張獎券，其中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中隨意抽取1張，看完結(jié)果后放回抽獎箱，①若只允許抽獎一次，求中獎次數(shù)X的分布列；②若只允許抽獎二次，求中獎次數(shù)X的分布列．(2)顧客乙從10張獎券中隨意抽取2張，求顧客乙中獎的概率．狀元隨筆(1)從10張獎券中抽取1張，其結(jié)果有中獎和不中獎兩種，故X～B(1，P).從10張獎券中有放回的抽取2張，每次有中獎和不中獎兩種，故X～B(2，p)；(2)從10張獎券中隨意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數(shù)X(X＝1,2)聽從超幾何分布．方法歸納區(qū)分超幾何分布與二項分布問題的兩個關(guān)鍵點1．推斷一個隨機變量是否聽從超幾何分布時，關(guān)鍵是從總數(shù)為N件的甲乙兩類元素，其中甲類元素數(shù)目M件，從全部元素中一次任取n件，這n件中含甲類元素數(shù)目X聽從超幾何分布．2．推斷一個隨機變量是否聽從二項分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，滿意這兩點的隨機變量才聽從二項分布，否則就不聽從二項分布．本題有放回的抽獎就屬于二項分布．跟蹤訓(xùn)練5盒中裝有形態(tài)、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機依次取出2個球，則有放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________，不放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________．教材反思4．2.3二項分布與超幾何分布新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]學(xué)問點一重復(fù)地做n次相互獨立學(xué)問點二Cnkpkqn－kX～B(n，學(xué)問點三P(X＝m)＝C[基礎(chǔ)自測]1．解析：由n次獨立重復(fù)試驗的定義知①②③④正確．答案：①②③④2．解析：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為12，由于每次試驗的結(jié)果不受影響，故由獨立重復(fù)試驗可知，所求概率為P＝C31答案：33．解析：依據(jù)超幾何分布的定義可知C32表示從3件次品中任選2件答案：B4．解析：選項A：試驗出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，點數(shù)為6和點數(shù)不為6，且點數(shù)為6的概率在每一次試驗中都為16，每一次試驗都是獨立的，故隨機變量X聽從二項分布；選項B：雖然每一次試驗的結(jié)果只有兩個，且每一次試驗都是相互獨立的，且概率不發(fā)生改變，但隨機變量X的取值不確定，故隨機變量X不聽從二項分布；選項C：甲、乙獲勝的概率肯定，且和為1，進行5次競賽，相當(dāng)于進行了5次獨立重復(fù)試驗，故X聽從二項分布；選項D：由二項分布的定義可知，X～B(n答案：B課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)三次射擊是三次獨立重復(fù)試驗，故正確結(jié)論的序號是①②④.(2)①記預(yù)報一次精確為事務(wù)A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，2次精確的概率為P＝C52×0.82×0.2因此5次預(yù)報中恰有2次精確的概率約為0.05.②“5次預(yù)報中至少有2次精確”的對立事務(wù)為“5次預(yù)報全部不精確或只有1次精確”，其概率為P＝C50×(0.2)5＋C5所以所求概率為1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次預(yù)報中至少有2次精確的概率約為0.99.③說明第1，2，4，5次中恰有1次精確．所以概率為P＝C41×0.8×0.2所以恰有2次精確，且其中第3次預(yù)報精確的概率約為0.02.答案：(1)①②④(2)見解析跟蹤訓(xùn)練1解析：“甲獲勝”分兩類：①甲連勝兩局；②前兩局中甲勝一局，并勝最終一局．即P＝232+答案：20例2解析：ξ～B5，13，ξ的分布列為P(ξ＝C5k1故ξ的分布列為ξ012345P32808040101跟蹤訓(xùn)練2解析：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B4，∴P(ξ＝k)＝C＝C4k1∴隨機變量ξ的分布列為ξ01234P11311例3解析：X的可能取值是1，2，3.P(X＝1)＝C61·P(X＝2)＝C62·P(X＝3)＝C63·故X的分布列為X123P3155跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)從袋中任取4個球的狀況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種狀況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5，6，7，8.P(X＝5)＝C41CP(X＝6)＝C42CP(X＝7)＝C43CP(X＝8)＝C44C故所求分布列為：X5678P418121(2)依據(jù)隨機變量X的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235+1例4解析：(1)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝C301P(ξ＝1)＝C312P(ξ＝2)＝C322P(ξ＝3)＝C332所以ξ的分布列為ξ0123P1248(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事務(wù)，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事務(wù)，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝C322P(D)＝C332由互斥事務(wù)的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034+43跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)由題意，隨機變量X可能取值為0，1，2，3，則X～B(3，13)．即P(X＝0)＝C30130(1－P(X＝1)＝C31131(1－1P(X＝2)＝C32132(1－1P(X＝3)＝C33133(1－1所以X的分布列為X0123P8421(2)其次小組第7次試驗勝利，前面6次試驗中有3次失敗，3次勝利，每次試驗又是相互獨立的，因此所求概率為P＝C63133(1－13)例5解析：(1)①抽獎一次，只有中獎和不中獎