淺析幾種系綜熵的統(tǒng)一表述

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要1Abstrast11緒論12熵的定義式和熵的可加性23各系綜體系的熵33.1微正那么系綜的熵33.2正那么系綜的熵33.3巨正那么系綜的熵53.4等溫等壓系綜的熵64簡述信息熵的應(yīng)用85結(jié)束語8參考文獻9淺析幾種系綜熵的統(tǒng)一表述摘要：熵是熱力學(xué)和統(tǒng)計物理中特有的宏觀量，它蘊涵著豐富的物理含義，廣泛地應(yīng)用于物質(zhì)結(jié)構(gòu)、凝聚態(tài)物理、低溫物理、化學(xué)動力學(xué)、生命科學(xué)和宇宙學(xué)以及諸如經(jīng)濟、社會和信息技術(shù)等領(lǐng)域。本文根據(jù)微正那么系統(tǒng)、正那么系統(tǒng)、巨正那么系統(tǒng)、等溫等壓系綜的概率分布函數(shù)推導(dǎo)出各個系綜的熵，并且推導(dǎo)出這幾種系綜的熵可用熵的定義式表示。關(guān)鍵詞：系綜；熵；概率分布函數(shù)AnalysisofSeveralEnsembleEntropyUnifiedDescriptionAbstrast：Entropyisthethermodynamicsandstatisticalphysicsintheuniquemacro,itcontainsawealthofphysicalmeaning,iswidelyusedinthestructureofmatter,condensedmatterphysics,low-temperaturephysics,chemicalkinetics,lifescienceandcosmology,suchaseconomy,societyandtheinformationtechnologyfield.Basedonmicrocanonicalsystem,regularsystem,grandcanonicalsystem,theisothermal-isobaricensembleprobabilitydistributionfunctionisderivedforeachensembleentropy,anddeducestheseveralensemblesofentropyentropycanbeusedtodefinetyperepresentation.Keywords：ensemble；entropy；probabilitydistributionfunction1緒論熵是一個極其重要的物理量，克勞修斯于1865年首先引入它，用來定量說明熱力學(xué)第二定律。后來，玻耳茲曼于1872年推導(dǎo)了玻耳茲曼方程式和H定理；于1877年推出了玻耳茲曼關(guān)系式，賦予了熵的統(tǒng)計解釋，大大豐富了它的物理內(nèi)涵并明確了它的應(yīng)用范圍。到1929年，西拉德又發(fā)現(xiàn)了熵與信息的關(guān)系，揭示了熵的新含義，進一步擴大了熵的應(yīng)用面。目前，不僅在自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，甚至在社會科學(xué)和人文科學(xué)中，熵也有廣泛的應(yīng)用。本文就由微正那么系綜、正那么系綜、巨正那么系綜和等溫等壓系綜的概率分布函數(shù)分別推導(dǎo)出各個系綜的熵，并都可用㏑來表示。2熵的定義式和熵的可加性在大多數(shù)熱學(xué)[1]文獻中都用熵的玻耳茲曼公式㏑解釋其物理意義：孤立系統(tǒng)由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡是由熵較小的宏觀態(tài)向熵較大的宏觀態(tài)過渡，即由微觀態(tài)數(shù)少的宏觀分布向包含微觀狀態(tài)最多的最可幾分布過渡。熱力學(xué)平衡態(tài)是無序程度最大的狀態(tài)，熵是系統(tǒng)內(nèi)部微觀粒子運動無序程度大小的量度。以〔S=1，2……〕表示為系統(tǒng)處在微觀狀態(tài)S的概率,滿足歸一化條件，即,于是系統(tǒng)的熵定義為[2-4]㏑〔1〕它作為平衡態(tài)熵㏑的推廣，也適用于非平衡態(tài)，還作為信息熵的定義。態(tài)函數(shù)熵是廣延量，它的根本屬性是可加性。設(shè)系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)A、B組成，、、分別表示處在微觀狀態(tài)S時的系統(tǒng)，A子系統(tǒng)，B子系統(tǒng)的解釋，且子系統(tǒng)A、B服從統(tǒng)計獨立性質(zhì)，那么有=即㏑=㏑+㏑又、滿足歸一化條件：，那么也滿足歸一化條件：那么㏑＝〔2〕以上說明〔1〕式定義的熵函數(shù)滿足可加性的要求。3各系綜體系的熵系綜[5]是在一定的宏觀條件下，大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的，處于各種運動狀態(tài)的，各自獨立的系綜的集合。系綜是統(tǒng)計理論的一種表達方式，是假想的概念，它并不是真實的客觀實體，真實的實體是組成系綜的一個個系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具有完全相同的力學(xué)性質(zhì)。吉布斯把整個系統(tǒng)作為統(tǒng)計的個體，提出研究大量系統(tǒng)構(gòu)成的系綜在相宇中的分布，克服了氣體動理論的困難，建立了統(tǒng)計物理。在平衡態(tài)統(tǒng)計理論中，對于能量和粒子數(shù)固定的孤立系統(tǒng)，采用微正那么系綜；對于可以和大熱源交換能量但粒子數(shù)固定的系統(tǒng)，采用正那么系綜；對于可以和大熱源交換能量和粒子的系統(tǒng)，采用巨正那么系綜。等溫等壓系綜是正那么系綜的推廣，對應(yīng)于具有恒定溫度和壓強的體系。下面就根據(jù)學(xué)過的理論知識[6,7]推導(dǎo)出熵在這四種系綜中的統(tǒng)一表達式。3.1微正那么系綜的熵微正那么系綜研究的是孤立系統(tǒng)，是由許多具有相同能量，粒子數(shù)，體積的體系的集合。在微正那么系綜中，概率分布函數(shù)為常數(shù)，且，并滿足等概率原理的根本假設(shè)，可推導(dǎo)出微正那么系綜的熵㏑〔3〕且該熵的表達式〔3〕只適用于微正那么系綜那么〔4〕說明微正那么系綜的熵可用熵的定義式〔1〕表示。3.2正那么系綜的熵通常，正那么系綜內(nèi)每個體系的粒子數(shù)和體積都是相同的。但每個體系都可以和系綜內(nèi)其他體系交換能量。同時系綜里所有體系的能量之和，以及所有系綜的總個數(shù)是固定的。在這些條件下，當系綜內(nèi)所有體系被分配到不同的微觀態(tài)上，我們發(fā)現(xiàn)：每個狀態(tài)上的體系個數(shù)正比于。其中,是玻耳茲曼常數(shù)，T是絕對溫度。正那么系綜的配分函數(shù)Z是：由于滿足歸一化條件：那么在正那么系綜中，概率分布函數(shù)為：內(nèi)能是在給定粒子數(shù)N、體積V、溫度T的條件下，系統(tǒng)的能量在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值。因此由熱力學(xué)和統(tǒng)計物理知識可得熵的表達式：〔5〕且該熵的表達式〔5〕只適用于正那么系綜。由統(tǒng)計物理得：,那么〔6〕說明正那么系綜的熵能用熵的定義式〔1〕來表示。3.3巨正那么系綜的熵在巨正那么系綜中，每個系綜內(nèi)的體系不僅可以和其他體系交換能量，也可以交換粒子，但系綜內(nèi)各體系的能量總和以及粒子數(shù)總和都是固定的。當然系綜內(nèi)的體系總數(shù)也是固定不變的，而且各體系的體積是保持在一個固定值上。巨正那么系綜對應(yīng)于具有確定溫度T、確定體積V和確定化學(xué)勢的體系。在巨正那么系綜中，巨配分函數(shù)為：由于滿足歸一化條件：那么概率分布函數(shù)[8]為：由于在系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)中，其粒子數(shù)和能量值不是確定的，系統(tǒng)的平均粒子數(shù)是粒子數(shù)N對給定V、T、條件下一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值：內(nèi)能U是能量E的統(tǒng)計平均值：由熱力學(xué)和統(tǒng)計物理知識可得熵的表達式：〔7〕且該熵的表達式〔7〕只適用于巨正那么系綜。由統(tǒng)計物理得：，，那么〔8〕這說明巨正那么系綜的熵可用熵的表達式〔1〕來表示。3.4等溫等壓系綜的熵等溫等壓系綜是正那么系綜的推廣，是統(tǒng)計系綜的一種。這個系綜對應(yīng)于具有恒定溫度和壓強的體系。每個系綜內(nèi)的體系可以和其他體系進行能量和體積交換。但系綜內(nèi)各體系的能量總和以及體積總和是固定的，而且各體系有相同的粒子數(shù)。在等溫等壓系綜中，其配分函數(shù)為：由于滿足歸一化條件：那么概率分布函數(shù)為[9]：由熱力學(xué)和統(tǒng)計物理知識可知內(nèi)能、體積和熵分別為〔9〕且該熵的表達式〔9〕只適用于等溫等壓系綜。由統(tǒng)計物理得：那么〔10〕這說明等溫等壓系綜的熵可用熵的定義式〔1〕來表示。以上由微正那么系綜、正那么系綜、巨正那么系綜、等溫等壓系綜的概率分布函數(shù)推導(dǎo)出各個系綜的熵，并且這些不同系綜的熵都可用熵的定義式〔1〕來表示。當然，對于其他系綜[10-12]，也可進行類似推導(dǎo)，這些說明熵的定義式適用范圍很廣[13]。4簡述信息熵的應(yīng)用能量是物質(zhì)運動的一種量度，形式多樣且相互轉(zhuǎn)換。某種形式的能量如內(nèi)能越多說明可供轉(zhuǎn)換的潛力越大。熵〔entropy〕[14]原本的字意是轉(zhuǎn)變，描述內(nèi)能與其他形式能量自發(fā)轉(zhuǎn)換的方向和轉(zhuǎn)換完成的程度。隨著轉(zhuǎn)換[15]的進行，系統(tǒng)趨于平衡態(tài)，熵值越來越大，這說明雖然在此過程中能量總值不變，但可供利用或轉(zhuǎn)換的能量卻越來越少了。下面就簡述一下信息熵的應(yīng)用。信息熵是指某種特定信息的出現(xiàn)概率〔離散隨機事件的出現(xiàn)概率〕。一個系統(tǒng)越是有序，信息熵就越低；反之，一個系統(tǒng)越是混亂，信息熵就越高。信息熵也可以說是系統(tǒng)有序化程度的一個度量。一般而言，當一種信息出現(xiàn)概率更高的時候，說明它被傳播得更廣泛，或者說，被引用的程度更高。我們認為，從信息傳播[16]的角度來看，信息熵可以表示信息的價值，比方廣告創(chuàng)意。廣告創(chuàng)意是是信息的處理和變換，是復(fù)雜的思維意識及信息的高級活動，它是負熵的流入。格威克認為廣告創(chuàng)意就是你發(fā)現(xiàn)了人們習以為常的事物中的新含義。通常定義廣告創(chuàng)意是通過創(chuàng)造性的構(gòu)思和創(chuàng)造意象來表達廣告內(nèi)容的方法。如果設(shè)廣告創(chuàng)意為一個孤立子系統(tǒng)，創(chuàng)作思維是這個子系統(tǒng)的能量，廣告的原創(chuàng)性為信息熵。熵的變化決定著廣告創(chuàng)意的開展。如果因循守舊，不接納外界的新信息，那么在經(jīng)過一段時間的創(chuàng)作后，其熵的增加到達最大值，新的知識減少。即廣告獨創(chuàng)性中包含的信息遞減，信息不確定性減少的量逐漸減少，結(jié)果是各種類型廣告的創(chuàng)意趨于模式化或雷同化。廣告創(chuàng)意中表達負熵的原那么是原創(chuàng)性，它建立在關(guān)聯(lián)性根底之上。關(guān)聯(lián)性表達的熵值逐漸增大，原創(chuàng)性引入的創(chuàng)意的負熵使系統(tǒng)熵減，目的是提高廣告中信息含量，吸引受眾的注意。這樣子我們就有一個衡量信息價值上下的標準，可以做出關(guān)于知識流通問題的更多推論。5結(jié)束語熵是熱力學(xué)和統(tǒng)計物理中特有的宏觀量，它蘊含著豐富的物理意義，隨著科學(xué)的開展和認識的深入[17]，熵在信息論、生物學(xué)，生命科學(xué)，經(jīng)濟學(xué)、物理化學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科中都占有相當?shù)牡匚?，發(fā)揮著重要作用。參考文獻：[1]劉連濤．理論物理根底教程[M]．北京：高等教育出版社．2003：537．[2]張啟仁．統(tǒng)計力學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社．2004：118．[3]王九云．幾種系綜熵的統(tǒng)一表達[J]．孝感學(xué)院學(xué)報，2006，17(3)：84-86．[4]張秀，王九云．熵的定義式和系綜概率分布函數(shù)關(guān)系的探討[J]．咸寧學(xué)院學(xué)報，2005，12(6)：22-24．[5]惠治鑫．多元單相系的平衡態(tài)統(tǒng)計分布以及Nr-E-V分布的實用性[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報〔自然科學(xué)報〕，2010，14(4)：33-34．[6]張東，張寧．物理學(xué)中的熵理論及其應(yīng)用研究[J]．北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報〔自然科學(xué)報〕，2007，17(1)：14-15．[7]顧雁．系綜運動的混沌特征與李阿普諾夫特征指數(shù)[J]，蘭州大學(xué)學(xué)報〔自然科學(xué)版〕，1991，11(2)：60-61．[8]汪志成．熱力學(xué)統(tǒng)計物理第三版[M]．北京：高等教育出版社，2003：250-252．[9]高執(zhí)棣，郭國霖．統(tǒng)計熱力學(xué)導(dǎo)論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2004：271-272．[10]李鶴齡，宋金國，雷潤潔．非廣延統(tǒng)計力學(xué)與完全開放系統(tǒng)的統(tǒng)計分布[J]．大學(xué)物理，2010，9(5)：54-55．[11]王燕華．對吉布斯佯謬的熱力學(xué)解釋[J]．安慶師范學(xué)院學(xué)報〔自然科學(xué)版〕，2006，6(3)：64-66．[12]呂建良，任維義，王娟，等．N2和CO氣體的分子配分函數(shù)及其熱力學(xué)性質(zhì)研究[J]，西華師范大學(xué)學(xué)報〔自然科學(xué)版〕，2008，10(3)：33-34．[13]高云．關(guān)于熵概念的教學(xué)探討[J]．菏澤學(xué)院學(xué)報，2003，17(4)：36-37．[14]薛鳳家．熵函數(shù)的建立和開展[J]．廊坊師范學(xué)院學(xué)報〔社會科學(xué)報〕，2003，15(4)：44-45．[15]HarshawardhanW．Determinationofe/mfrommeasurementsofthermioniccurrents[J]．PhysicalReview，2002，270(1)：3-65．[16]N