數(shù)學(xué)分析-測試試卷及答案

PAGEPAGE451綜合測試試卷一計(jì)算題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1、；2、；3、設(shè)為非零常數(shù)，則；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、若，為常數(shù)，則；15、。.二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）16、的值為（）A.；B.;C.不存在;D..17、（）A.；B.;C.;D..18、（）A.;B.;C.；D..19、若，則必有()A.;B.;C.；D..20、當(dāng)時，以下四式中為無窮小量的是（）A.;B.;C.;D..21、當(dāng)時，以下四式中為無窮大量的是（）A.;B.;C.;D..22、（）A.不存在;B.;C.;D..23、（）A.;B.;C.;D.不存在.24、（）A.;B.;C.;D..25、（）A.;B.;C.;D..三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題17分，共51分）26、;27、.28、.29、.30、.31、.32、設(shè)存在，且，求.33、.34、.35、.36、.37、.38、.39、.40、，.41、.42、.（提示：先用積分中值定理：，）綜合測試試卷一參考答案一、計(jì)算題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、。二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）16、C;17、B;18、B;19、D;20、A;21、D;22、B;23、B;24、B;25、C.三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題17分，共51分）26、；27、；28、；29、；30、；31、；32、；33、；34、；35、；36、；37、；38、解：用柯西收斂準(zhǔn)則.取,令,,則,即充分大時,充分小(),而.所以不存在.39、；40、；41、；42、（提示：先用積分中值定理：，）。綜合測試試卷二一、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1、已知，則.2、.3、求時,為了被積函數(shù)有理化,可做變換.4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..12、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..13、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..14、設(shè),,,則（）.A.沒有相同的原函數(shù);B.與有相同的原函數(shù)，但與的原函數(shù)不等;C.都是的原函數(shù);D.都是的原函數(shù).15、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..16、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..17、設(shè)有原函數(shù),則（）.A.;B.;C.;D..18、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..19、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..20、設(shè),則（）.A.;B.;C.;D..三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、.34、.35、.36、.37、.38、.綜合測試試卷二參考答案一、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1、；2、；3、；4、.5、.6、.7、.8、.9、.10、.二、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11、D.12、B.13、A.14、D.15、A.16、A.17、B.18、A.19、B.20、D.三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21、.22、.23、.24、.25、.26、.27、.28、.29、.30、.31、.32、.33、,其中.34、.35、.36、.37、.38、.綜合測試試卷三填空題（每小題4分，共24分）1、=

2、=

3、=

4、設(shè)以4為周期，它在[-2，2]上的表達(dá)式為則的富里埃（Fourier）級數(shù)在[-4，2]上的和函數(shù)S(x)的表達(dá)式為=

5、若L為球面和平面的交線，則第一類曲線積分=

6、設(shè)：，則=

二、選擇題（每小題4分，共24分）1、函數(shù)在

（A）不連續(xù)

（B）處處連續(xù)，但不一致連續(xù)（C）一致連續(xù)，但導(dǎo)函數(shù)不一致連續(xù)

（D）導(dǎo)函數(shù)一致連續(xù)2、如果函數(shù)在點(diǎn)（1，2）處的從點(diǎn)（1，2）到（2，2）的方向?qū)?shù)為2；從點(diǎn)（1，2）到（1，1）的方向?qū)?shù)為-2，則函數(shù)在（1，2）處的梯度為

（A）4

（B）-4

（C）2i-2j

（D）2i+2j3、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

（A）

（B）

（C）

（D）4、當(dāng)時，為某一函數(shù)的全微分，則常數(shù)=

（A）1

（B）-1

（C）2

（D）-25、設(shè)，則=

（A）

（B）

（C）

（D）三、（10分）設(shè)，求。四、（10分）在可微，且，證明：存在，使得。五、（10分）設(shè)定義在，，又設(shè)分別在連續(xù)且在是的原函數(shù)。令其中選擇使得在x=c連續(xù)，就下列情況，回答是否是的原函數(shù)。（1）在x=c連續(xù)；（2）x=c是的第一類間斷點(diǎn)；（3）x=c是的第二類間斷點(diǎn)。六、（10分）設(shè)是連續(xù)可導(dǎo)且嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)。證明：其中是的反函數(shù)，而等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。七、（10分）證明：曲面上的切平面都與某一定直線平行，其中函數(shù)連續(xù)可微，常數(shù)a，b，c不同時為0。八、（10分）計(jì)算，a為實(shí)數(shù)。九、（10分）計(jì)算，其中D為，為常數(shù)，，常數(shù)。十、（10分）設(shè)流速，求下列情形的流量。（1）穿過圓錐形的側(cè)表面，法向量朝外；（2）穿過上述圓錐面的底面，法向量朝外。十一、(11分)設(shè)其中是參數(shù),求的取值范圍,使得函數(shù)序列

在[0,1]上．一致收斂;成立;成立.十二、(11分)是周期為2的函數(shù),且在區(qū)間[0,2]上定義為,求的Fourier展開式,并利用此結(jié)果證明:綜合測試試卷三參考答案一、1.

2.

3.

04.

5.

6.

二、1.

B

2.

D

3.

D

4.

A

5.

B

6.

C.三、(1)先證明收斂,若,由對成立.故有下界,且故單調(diào)減少,則收斂.

若,顯然對,,有上界,,

單調(diào)增加,則收斂,記.(2)由遞歸方程的既當(dāng)時,;當(dāng)時,.四、設(shè)由已知有,即,,下證有根.

若,平凡！否則,取,,當(dāng)有在連續(xù),可取得最大值也是極大值點(diǎn),由Fermat引理,即五、關(guān)鍵是考慮是否成立．(1)故是在的原函數(shù).(2)由上(1)而故不是

的原函數(shù).(3)不能判斷,例如:當(dāng)時,是的第二類間斷點(diǎn).取當(dāng)時,,是的原函數(shù).當(dāng)時,不存在,

不是的原函數(shù).六、證:

左邊=(后積分由代換得到)

當(dāng)且僅當(dāng)時,左邊當(dāng)時,由于,左邊當(dāng)時,左邊>.七、解:

記則曲面S可寫為=0,其上任一點(diǎn)處法向量與某直線方向向量垂直即有當(dāng)滿足恒有,可取曲面上任一點(diǎn)切平面與平行.八、解:

(1)當(dāng)時,

(2)

類似可得當(dāng)時,

故

九、解:

令

十、解:

(1)對記,其中(2)底面在面上投影十一、解:

(1)對實(shí)數(shù),當(dāng)時當(dāng)時.顯然,故當(dāng)時,一致收斂于當(dāng)時,取點(diǎn)到則當(dāng)且僅當(dāng)時,在[0,1]一致收斂于(2)

當(dāng)時,則當(dāng)且僅當(dāng)時,積分和極限可交換次序.(3)當(dāng)時,不趨于0則當(dāng)時,求導(dǎo)與極限可交換次序.十二、解:

由收斂性定理

當(dāng)時,級數(shù)收斂于令,有,即而故

綜合測試試卷四一敘述題（每小題10分，共30分）敘述第二類曲線積分的定義。敘述帕塞瓦爾(Parseval)等式的內(nèi)容(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。敘述以為周期且在上可積函數(shù)的Fourier系數(shù)﹑Fourier級數(shù)及其收斂定理。二計(jì)算題（每小題10分，共50分）1．求，此處為聯(lián)結(jié)三點(diǎn)的直線段。2．計(jì)算二重積分。其中是以和為邊的平行四邊形。3．一頁長方形白紙，要求印刷面積占，并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度之和為，左部與右部之和為，試確定該頁紙的長和寬，使得它的總面積為最小。4．計(jì)算三重積分。其中是橢球體。5．計(jì)算含參變量積分的值(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。三討論題（每小題10分，共20分）已知，試確定二階偏導(dǎo)數(shù)與的關(guān)系。討論積分的斂散性。綜合測試試卷四參考答案一敘述題（每小題10分，共30分）設(shè)為定向的可求長連續(xù)曲線，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。在曲線上每一點(diǎn)取單位切向量，使它與的定向相一致。設(shè)=++是定義在上的向量值函數(shù)，則稱為定義在上的第二類曲線積分（如果右面的第一類曲線積分存在）。2．函數(shù)在可積且平方可積，則成立等式。若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則稱為函數(shù)的Fourier系數(shù)，以的Fourier系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱為函數(shù)的Fourier級數(shù)，記為。收斂定理：設(shè)函數(shù)在上可積且絕對可積，且滿足下列兩個條件之一，則的Fourier級數(shù)在收斂于。（1）在某個區(qū)間上是分段單調(diào)函數(shù)或若干個分段單調(diào)函數(shù)之和。（2）在處滿足指數(shù)為的Holder條件。二計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、解。在直線段上得在直線段上得在直線段上得所以。2、解.3、解由題意，目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為與作Lagrange函數(shù)則有由此解得于是有并且易知它是極小值點(diǎn).4、解由于，其中，這里表示橢球面或。它的面積為。于是。同理可得，。所以。5、計(jì)算含參變量積分的值。解因?yàn)?，所以。注意到在域：上連續(xù)。又積分對是一致收斂的。事實(shí)上，當(dāng)時，，但積分收斂。故積分是一致收斂的。于是，利用對參數(shù)的積分公式，即得。從而得。三討論題（每小題10分，共20分）1、當(dāng)時，。，，，，于是，當(dāng)時，。當(dāng)時，。2、首先注意到。若，則當(dāng)充分大時，從而當(dāng)充分大時函數(shù)是遞減的，且這時。又因（對任何），故收斂。若，則恒有，故函數(shù)在上是遞增的。于是，正整數(shù)，有故不滿足Cauchy收斂準(zhǔn)則，因此發(fā)散。綜合測試試卷五一敘述題（每小題10分，共30分）敘述含參變量反常積分一致收斂的Cauchy收斂原理(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。敘述Green公式的內(nèi)容及意義。敘述n重積分的概念(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。二計(jì)算題（每小題10分，共50分）1．計(jì)算積分，其中C為橢圓，沿逆時針方向。2．已知其中存在著關(guān)于兩個變元的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，，。3．求橢球體的體積。4．若為右半單位圓周，求。5．計(jì)算含參變量積分()的值。三討論題（每小題10分，共20分）若積分在參數(shù)的已知值的某鄰域內(nèi)一致收斂，則稱此積分對參數(shù)的已知值一致收斂。試討論積分在每一個固定的處的一致收斂性(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。討論函數(shù)的連續(xù)性，其中在上是正的連續(xù)函數(shù)(數(shù)學(xué)1了解,數(shù)學(xué)分析掌握)。綜合測試試卷五參考答案一敘述題（每小題10分，共30分）含參變量反常積分關(guān)于在上一致收斂的充要條件為：對于任意給定的，存在與無關(guān)的正數(shù)，使得對于任意的，成立。Green公式：設(shè)為平面上由光滑或分段光滑的簡單閉曲線所圍的單連通區(qū)域。如果函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么，其中取正向，即誘導(dǎo)正向。Green公式說明了有界閉區(qū)域上的二重積分與沿區(qū)域邊界的第二類曲線積分的關(guān)系。3．設(shè)為上的零邊界區(qū)域，函數(shù)在上有界。將用曲面網(wǎng)分成個小區(qū)域（稱為的一個分劃），記為的體積，并記所有的小區(qū)域的最大直徑為。在每個上任取一點(diǎn)，若趨于零時，和式的極限存在且與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱在上可積，并稱此極限為在有界閉區(qū)域上的重積分，記為。二計(jì)算題（每小題10分，共50分）解令則.解令則，.故即解由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。作廣義極坐標(biāo)變換（）。這時橢球面化為。又，于是。所以橢球體積。解的方程為：。由，符號的選取應(yīng)保證，在圓弧段上，由于，故而在圓弧段上，由于，故所以。解。當(dāng)時，由于，故為連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而可在積分號下求導(dǎo)。。于是，當(dāng)時，（常數(shù)）。但是，，故，從而。三討論題（每小題10分，共20分）解設(shè)為任一不為零的數(shù)，不妨設(shè)。取，使。下面證明積分在內(nèi)一致收斂。事實(shí)上，當(dāng)時，由于，且積分收斂，故由Weierstrass判別法知積分在內(nèi)一致收斂，從而在點(diǎn)一致收斂。由的任意性知積分在每一個處一致收斂。下面說明積分在非一致收斂。事實(shí)上，對原點(diǎn)的任何鄰域有：，有。由于，故取，在中必存在某一個，使有，即因此，積分在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)非一致收斂，從而積分在時非一致收斂。2．解當(dāng)時，被積函數(shù)是連續(xù)的。因此，為連續(xù)函數(shù)。當(dāng)時，顯然有。當(dāng)時，設(shè)為在上的最小值，則。由于及，故有。所以，當(dāng)時不連續(xù)。綜合測試試卷六選擇題(每小題只有一個正確答案，請將正確答案的字母填在題后的括號內(nèi)，每小題4分，共20分)1.設(shè)()A、；B、；C、；D、.2.設(shè)，則第一型曲線積分=()A、；B、；C、；D、.3.設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且由方程能確定函數(shù)z=z(x,y),則()A、a；B、b；C、1；D、-1.4.設(shè)是由直線及圍成的區(qū)域，則積分的積分值是()A、；B、；C、；D、.5.()A、；B、；C、13；D、-13.二、填空題(每小題3分，共15分)1..2.設(shè)=.3.在點(diǎn)（1，-1）處取得極值,則a=.4.，.5.若是閉曲線的正向，則第二型曲線積分.三、計(jì)算題(每小題10分，共30分)(1)求曲面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面與法線方程.(2)設(shè),求.(3)應(yīng)用高斯公式計(jì)算：四、(10分)求，其中為由平面與所圍成的區(qū)域.五、(10分)計(jì)算，其中是上半球面.六、(15分)證明函數(shù)，在原點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)，而在原點(diǎn)可微.綜合測試試卷六參考答案一、（每小題4分，共20分)1．C;2．B;3．D；4;A5B。二、(每小題3分，共15分)1．2；2．；3.-5；4.；5.。三、(每小題10分，共30分)1.解:,,,,法向量為.且平面方程為,法線方程為。2.解:,3.解:令為，應(yīng)用高斯公式原式=四、解:(10分)五、(10分)解:曲面的方程為：,由對稱性可得，六、(15分)證明:由于，在原點(diǎn)連續(xù).,同理可得.在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在.當(dāng)時，,而.不存在，從而在點(diǎn)不連續(xù).同理可得在點(diǎn)不連續(xù).因?yàn)樗?進(jìn)而在原點(diǎn)可微.綜合測試試卷七一敘述題（每小題10分，共30分）1敘述二重積分的概念。2敘述Gauss公式的內(nèi)容。3敘述Riemann引理。二計(jì)算題（每小題10分，共50分）1．求球面與錐面所截出的曲線的點(diǎn)處的切線與法平面方程。2．求平面，圓柱面，錐面所圍成的曲頂柱體的體積。3．計(jì)算三重積分。其中。4利用含參變量積分的方法計(jì)算下列積分。5計(jì)算其中為上半橢球面定向取上側(cè).三證明題（每小題10分，共20分）1．若及證明不等式2．證明關(guān)于在上一致收斂，但