專題36 函數(shù)綜合壓軸題（27題）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題36函數(shù)綜合壓軸題（27題）一、解答題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn),則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對(duì)象．紙片和滿足，．下面是創(chuàng)新小組的探究過(guò)程．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，取的中點(diǎn)，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點(diǎn)、交邊于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，請(qǐng)你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過(guò)程．問(wèn)題解決（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長(zhǎng)是一個(gè)定值．請(qǐng)你寫出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．拓展延伸（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)、），且始終保持．請(qǐng)你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）2，見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意證明，得出關(guān)系式，進(jìn)而求得，代入比例式，即可求解；（2）方法一：勾股定理求得，將將（1）中代入得，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，即可求解；方法二：證明，，過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．證明，，得出，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得的周長(zhǎng)．方法三：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．得出，，則，同方法二求得，進(jìn)而即可求解；（3）分兩種情況討論，于的夾角；①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，由勾股定理得，，進(jìn)而根據(jù)正確的定義，即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，同①即可求解．．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)解：（1）∵，且．∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中，，∴，∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴，∴．

問(wèn)題解決（2）方法一：解：的周長(zhǎng)定值為2．理由如下：∵，，，∴，，在中，∴．將（1）中代入得：∴．∵，又∵，∴，∴．∵的周長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)．方法二：解：的周長(zhǎng)定值為2．理由如下：∵和是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，，，∵O為AB的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，，，∴過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．∴．又∵，，∴，，∴，，∴．∵的周長(zhǎng)．又∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，∴的周長(zhǎng)．

方法三：解：的周長(zhǎng)定值為2．理由如下：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使，連接．∵是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，∴平分，∴，∴，∴，．∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．又∵，，，∴，∴．∵，，∴．∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，∴的周長(zhǎng)．

拓展延伸（3）或

①解：∵，，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，設(shè)，∴，由勾股定理得，，∴，∴在中，．

②解：∵，，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接．∵，∴，∴，在中，設(shè)，∴，由勾股定理得，，∴，∴在中，．∴或．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測(cè)量拋物線的開(kāi)口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測(cè)量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開(kāi)口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過(guò)程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為．①此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且和的頂點(diǎn)P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；(3)a的值為或．【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；（3）先求得，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求得頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)距線段的距離為，得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，再分類求解即可．【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)拋物線的解析式為，由題意得，解得，∴y與x的關(guān)系式為；（2）解：方案一：①∵，，∴，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；方案二：①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∴，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；故答案為：；②由題意得，解得，故答案為：；（3）解：根據(jù)題意和的對(duì)稱軸為，則，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)距線段的距離為，∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，將代入得，解得；綜上，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)相等，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為，利用求出，再將代入解析式即可求出，即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，則，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，易證，得到，由，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，利用拋物線解析式求出，求出，根據(jù)，易證，得到，由，即，求出，得到，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，得到，利用三角形面積公式求出，則，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：該拋物線的頂點(diǎn)為，即該拋物線的對(duì)稱軸為，，，將代入解析式，則，，拋物線的解析式表達(dá)式為；（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：直線的解析式為，則，，，，，，，，，，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，交x軸于點(diǎn)G，令，即，解得：，根據(jù)題意得：，，軸，軸，，，，，即，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問(wèn)題，二次函數(shù)與面積綜合問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則∵，則，對(duì)稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中∴，①當(dāng)時(shí)，，解得：或②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，當(dāng)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為邊時(shí)，則：，即，解得：（舍去）或，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：，即：，解得：或（舍去）此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為或2．7．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過(guò)拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過(guò)點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，∴，過(guò)點(diǎn)作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其頂點(diǎn)為，是拋物線第四象限上一點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點(diǎn)，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知?jiǎng)t有；（2）由題意得拋物線：，則設(shè)，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，即可求得，進(jìn)一步解得點(diǎn)，過(guò)D作于點(diǎn)H，則，即可求得；（3）設(shè)可求得直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，可得，結(jié)合題意得設(shè)拋物線解析式為，由于過(guò)點(diǎn)，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，整理得，解得∴則；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線：，則設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵點(diǎn)D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，則；（3）設(shè)直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過(guò)點(diǎn)D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設(shè)拋物線解析式為，∵點(diǎn)，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；(3)【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對(duì)稱軸公式可得答案；（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為：，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴；（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，∴，解得：，∴拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．∴，，∵，∴，∵，∴即，解得：.【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識(shí)點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在點(diǎn)，使得和相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，連接，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)【分析】（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后代入，求出b、c的值即可；（2）由對(duì)頂角的性質(zhì)性質(zhì)知，若存在和相似，則有和兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)，，，，則，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，可求出，過(guò)點(diǎn)作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，解方程求出m的值即可．【詳解】（1）解：令，則，則；令，則∴，把，代入，得：解得：∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：存在點(diǎn)，使得和相似．設(shè)點(diǎn)，則，，∴，，，，∵和相似，∴或①如圖1，當(dāng)時(shí)，∴∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為6∴，解得：或∴②如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)B作于H∴∴∴∴，解得：（舍去）或∴綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）如圖3，∵四邊形為菱形∴，，設(shè)點(diǎn)，，，∴，∴，即∵∴，即或∵，∴，∴過(guò)點(diǎn)作于∴∴∴，即∴∵∴∴解得：（不合題意，舍去）或故答：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是常見(jiàn)的中考數(shù)學(xué)壓軸題型，綜合性比較強(qiáng)，涉及到知識(shí)點(diǎn)較多；主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；解題時(shí)要能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，要會(huì)分類討論．11．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)和．(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當(dāng)時(shí)，則，過(guò)作于，∴，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.12．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設(shè)，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如圖：由得拋物線對(duì)稱軸為直線，∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，同上可求直線表達(dá)式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．13．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；（2）設(shè)，則，，由，可得，解出的值可得的坐標(biāo)為；（3）過(guò)作軸交直線于，求出，知，故，設(shè)，則，可得，，根據(jù)的面積等于面積的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，，把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)，則，，，，解得或（此時(shí)不在直線上方，舍去）；的坐標(biāo)為；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使的面積等于面積的一半，理由如下：過(guò)作軸交直線于，過(guò)點(diǎn)B作，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，如圖：在中，令得，解得或，，，，，，設(shè)，則，，∵，的面積等于面積的一半，，，或，解得或，的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．14．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；(3)當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對(duì)稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：連接，

，．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，．令，解得，．，，點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，故，其對(duì)稱軸為，且．①當(dāng)時(shí)，即．由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得或（舍去）．②當(dāng)時(shí)，得，由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問(wèn)題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問(wèn)題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．15．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動(dòng)，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過(guò)點(diǎn)，直角邊恒過(guò)點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點(diǎn)對(duì)角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點(diǎn)在對(duì)角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)作于點(diǎn)，∴，四邊形為矩形，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形中，，，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作，交射線于點(diǎn)，連接．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，可得，，利用三角形外角性質(zhì)可得，即得，即可求證；（）過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三線合一可得，即可由三角形面積公式得到與的函數(shù)表達(dá)式，最后由，可得自變量的取值范圍；（）證明為等邊三角形，可得，可知線段的長(zhǎng)度最短，即的長(zhǎng)度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，又由菱形的性質(zhì)可得為等邊三角形，利用三線合一求出即可求解；本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，∵四邊形為菱形，∴，，，∵∴，在和中，，∴，∴，，∵，又∵，∴，∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，∴，∵四邊形為菱形，，∴，，即，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴線段的長(zhǎng)度最短，即的長(zhǎng)度最短，當(dāng)時(shí)，取最短，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短．17．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設(shè)，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長(zhǎng)度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．18．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．?dāng)?shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)鍵．（1）把代入后再將拋物線化成頂點(diǎn)式為，即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的范圍確定點(diǎn)A縱坐標(biāo)的范圍；（3）結(jié)合圖象確定有4個(gè)“完美點(diǎn)”時(shí)a的最大和最小值，進(jìn)而確定a的范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）令，則，∴，∵線段上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．∵，∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．（3）根據(jù)，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)，，．∵拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過(guò)，的兩種情況：①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．∴a的取值范圍是．19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為或(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過(guò)作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時(shí)．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過(guò)作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設(shè)，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標(biāo)為或；（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設(shè)，，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，①，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：

此時(shí)；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標(biāo)為；④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標(biāo)為；綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計(jì)算、特殊三角形存在性問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點(diǎn)為P．(1)直接寫出a的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論t為何值，將的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在上．淇淇說(shuō)：無(wú)論t為何值，總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．(3)當(dāng)時(shí)，①求直線PQ的解析式；②作直線，當(dāng)l與的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(4)設(shè)與的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點(diǎn)M在上，橫坐標(biāo)為．點(diǎn)N在上，橫坐標(biāo)為．若點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說(shuō)法都正確，理由見(jiàn)解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再檢驗(yàn)即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)；（3）①先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點(diǎn)，交點(diǎn)，再進(jìn)一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，再進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，∴，∴在上，∴嘉嘉說(shuō)法正確；∵，當(dāng)時(shí)，，∴過(guò)定點(diǎn)；∴淇淇說(shuō)法正確；（3）解：①當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)，而，設(shè)為，∴，解得：，∴為；②如圖，當(dāng)（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點(diǎn)，交點(diǎn)，由直線，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，直線為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)M是到直線PQ的距離最大的點(diǎn)，最大距離為d，點(diǎn)N到直線PQ的距離恰好也為d，此時(shí)與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∵，，∴的橫坐標(biāo)為，∴，解得：；【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．21．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時(shí)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．①求的值；②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線的解析式．【答案】(1)對(duì)稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對(duì)稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計(jì)算，當(dāng)時(shí)，可得，則，，可得，可得當(dāng)時(shí)，的最小值為，再進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對(duì)稱軸為直線：；（2）解：∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，如圖，∵直線過(guò)點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對(duì)稱軸上，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴此時(shí)，∵對(duì)于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．22．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點(diǎn)，記，記頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)①；②的取值范圍為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，分當(dāng)點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此列式計(jì)算即可求解；②先求得或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，∴，解得；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，令，則，∴，，，作軸于點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；∴或；（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，∴縱坐標(biāo)不變是4，∴圖象的解析式為，∴，∴，由題意知：C、D不重合，則，∴；②由①得，則函數(shù)圖象如圖，∵隨增加而增加，∴或，中含，，三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，或，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴或，，∴；∵或，∴；當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，此情況不存在，舍去，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問(wèn)題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）已知四個(gè)不同的點(diǎn)，，，都在關(guān)于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．(1)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，時(shí)，求代數(shù)式的值；(2)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，，這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：表示一條長(zhǎng)度等于的m倍的線段）．【答案】(1)(2)此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)，理由見(jiàn)解析(3)存在兩個(gè)m的值符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形存在性問(wèn)題等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和分類討論是解題關(guān)鍵.（1）將代入得到關(guān)于、的關(guān)系式，再整體代入求解即可;（2）解方程求解，再根據(jù)的正負(fù)分類討論即可；（3）由內(nèi)角之比可得出這是一個(gè)的直角三角形，再將線段表示出來(lái)，利用特殊角的邊角關(guān)系建立方程即可.【詳解】（1）將，代入得，②-①得，即．所以．（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．方法1：由，得．可得或．當(dāng)時(shí)，，此拋物線開(kāi)口向上，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此拋物線開(kāi)口下，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的上方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法2：由，得．可得或．所以拋物線上存在縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，即一元二次方程有解．所以該方程根的判別式，即．因?yàn)?，所以．所以原函?shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．方法3：由，可得或．當(dāng)時(shí)，有，即，所以．此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，同理可得，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．（3）因?yàn)?，所以該函?shù)圖象開(kāi)口向上．由，得，可得．由，得，可得．所以直線均與x軸平行．由（2）可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，．由圖象可知，即．所以的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．同理的兩根為，，可得．由于，結(jié)合圖象與計(jì)算可得，．若存在實(shí)數(shù)，使得，這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°，60°的直角三角形，所以線段不可能是該直角三角形的斜邊．①當(dāng)以線段為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時(shí)，因?yàn)椋员仨毻瑫r(shí)滿足：，．將上述各式代入化簡(jiǎn)可得，且，聯(lián)立解之得，，解得符合要求．所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．②當(dāng)以線段為斜邊時(shí)，必有，同理代入化簡(jiǎn)可得，解得．因?yàn)橐跃€段為斜邊，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，而，所以，即，化簡(jiǎn)得符合要求．所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．綜上所述，存在兩個(gè)m的值符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．24．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．(1)求拋物線的解析式及P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)拋物線交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求線段的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)P的直線分別與拋物線、直線交于x軸下方的點(diǎn)M，N，直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)為Q，軸于點(diǎn)H．請(qǐng)判斷點(diǎn)H與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)，(2)4(3)點(diǎn)H在直線上，見(jiàn)詳解【分析】（1）待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)解析式，再進(jìn)行配方即可求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）先由與的正切值相等得到，繼而可證明，再由垂徑定理得到；（3）將點(diǎn)代入得直線表達(dá)式為，則，而點(diǎn)E為中點(diǎn)，則，可求，聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式，得：，可求，可證明，得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴代入得：，解得：，∴拋物線解析式為，而，∴；（2）解：如圖：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的的直徑，∵，經(jīng)過(guò)圓心，∴；（3）解：如圖：將點(diǎn)代入，得，∴，把點(diǎn)N橫坐標(biāo)，代入得，∵軸，軸，∴，點(diǎn)G為中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)P關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)為Q，∴，∴，聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式，得：，整理得：，∴，解得：，即，∵，，∴，∴點(diǎn)N、Q、H三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)H在直線上．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圓周角定理，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)，拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．25．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，在取得最大值的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為；；(