專題35 幾何綜合壓軸題（40題）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題35幾何綜合壓軸題（40題）一、解答題1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②【詳解】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得2．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得，問題即可得解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問題隨之得解．【詳解】（1）∵，∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的延長線交邊于點(diǎn)，連接(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得再證明，得出，證明出四邊形是平行四邊形，由得出四邊形是菱形：（2）求出菱形的周長為20，得出，再證明是等邊三角形，得出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴即∴∵為的中點(diǎn)，∴∴，∴∵∴四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是菱形；（2）解：∵∴∵平行四邊形的周長為22，∴菱形的周長為：∴∵四邊形是菱形，∴又∴是等邊三角形，∵．4．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，為⊙O的弦，C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D．連接．

(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由垂徑定理的推論可知，據(jù)此即可求證；（2）利用勾股定理求出即可求解；【詳解】（1）證明：∵為⊙O的弦，C為的中點(diǎn)，由垂徑定理的推論可知：，∵，∴，∵為⊙O的半徑，∴是⊙O的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴．5．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點(diǎn)為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應(yīng)用】（2）若，，，求的長；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出，即可得證；（2）延長交于點(diǎn)，證明，得到，再證明，求出的長，進(jìn)而求出的長；（3）設(shè)正方形的邊長為，延長交于點(diǎn)，證明，得到，進(jìn)而得到，勾股定理求出，進(jìn)而求出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長交于點(diǎn)，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）設(shè)正方形的邊長為，則：，延長交于點(diǎn)，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．6．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，是正方形對角線上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑的與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)求證：與相切．(2)若正方形的邊長為，求的半徑．(3)如圖2，在（2）的條件下，若點(diǎn)是半徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）方法一：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是正方形，是正方形的對角線，得出，進(jìn)而可得為的半徑，又，即可得證；方法二：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明得出，同方法一即可得證；方法三：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．得出四邊形為正方形，則，同方法一即可得證；（2）根據(jù)與相切于點(diǎn)，得出，由（1）可知，設(shè)，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)建立方程，解方程，即可求解．（3）方法一：連接，設(shè)，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，結(jié)合題意得出，即可得出；方法二：連接，證明得出，進(jìn)而可得，同理可得方法三：連接，證明得出，設(shè)，則，進(jìn)而可得，進(jìn)而同方法一，即可求解．【詳解】（1）方法一：證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，．四邊形是正方形，是正方形的對角線，，，為的半徑，為的半徑，，與相切．方法二：證明：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，四邊形是正方形，，又，，，為的半徑，為的半徑，，與相切．方法三：證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．與相切，為半徑，，，，，又四邊形為正方形，，四邊形為矩形，又為正方形的對角線，，，矩形為正方形，．又為的半徑，為的半徑，又，與相切．（2）解：為正方形的對角線，，與相切于點(diǎn)，，由（1）可知，設(shè)，在中，，，，，又正方形的邊長為．在中，，，，．∴的半徑為．（3）方法一：解：連接，設(shè)，，，，．在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，又，．．方法二：解：連接，為的直徑，，，，，，，，，，，，，，．方法三：解：連接，為的直徑，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，．又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在中，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長交延長線于點(diǎn)F．請你解決下面各組提出的問題：(1)求證：；(2)探究與的關(guān)系；某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請你繼續(xù)探究：①當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)P，連接，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①②，證明見解析(3)【分析】（1）等邊對等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；②猜想，作于點(diǎn)，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進(jìn)而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，，且，∴，∴；（2）解：①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，∴當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，猜想，證明：作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）知，又，∴，即，∴；（3），理由如下：過點(diǎn)作，∵，，∴，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）知，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．8．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)，則，用含的代數(shù)式表示出，再代入驗(yàn)證即可得解；（2）先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出，再由折疊性質(zhì)得出，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，證出，由比值關(guān)系可求出，最后由即可得解；（3）當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，進(jìn)而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則，∵軸，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴將代入中得：得，∴，∴，∴，∴將代入中得出，∴函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C；（2）∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，C，∴，，∴，∴，∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E，∴，，∴，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∴，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，，∴，由圖知，，∴，∴；（3）∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E，A重合，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，，∴，，，∵軸，∴直線為一，三象限的夾角平分線，∴，當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∵以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作，，∴，∴，∴，，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵,∴為等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，，∵軸，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴,∴當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．9．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)延長至點(diǎn)，使，連接．①求證：是的切線；②若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，②的半徑為．【分析】（1）如圖，連接，證明，可得，證明，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）①證明，可得是的垂直平分線，可得，，，而，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；②證明，可得，求解，，結(jié)合，可得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，為的直徑，∴，∴，∴，∴．（2）證明：①∵為的直徑，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，，而，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴是的切線；②∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，弧與圓心角之間的關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．10．（2024·四川德陽·中考真題）已知的半徑為5，是上兩定點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，且的平分線交于點(diǎn)．(1)證明：點(diǎn)為上一定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)．①判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；②若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①與相切，理由見解析；②的取值范圍為．【分析】（1）由的平分線交于點(diǎn)，，可得，結(jié)合是上兩定點(diǎn)，可得結(jié)論；（2）①如圖，連接，證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論；②分情況討論：如圖，當(dāng)時(shí)，可得；如圖，連接，當(dāng)，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點(diǎn)，，∴，∴，∵是上兩定點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，是一定點(diǎn)；（2）解：①如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵為半徑，∴是的切線；②如圖，當(dāng)時(shí)，∴為直徑，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴；如圖，連接，當(dāng)，∵，，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)為銳角三角形，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，做出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．11．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，過點(diǎn)B作的切線與的延長線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到，則，由切線的性質(zhì)推出，則，再由同弧所對的圓周角相等和等邊對等角得到，，據(jù)此即可證明；（2）由勾股定理得，利用等面積法求出，則，同理可得，則，進(jìn)而得到；如圖所示，過點(diǎn)C作于H，則，證明，求出，則；設(shè)，則，證明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∴；∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，同理可得，∴，∴；如圖所示，過點(diǎn)C作于H，則，由（1）可得，∴，∴，即，∴，∴；設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2024·四川南充·中考真題）如圖，正方形邊長為，點(diǎn)E為對角線上一點(diǎn)，，點(diǎn)P在邊上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊上以的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)求證：．(2)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值．(3)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)見解析(2)秒或2秒(3)【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，得到，再題意得到，從而得到；（2）利用題目中的條件，分別用t表示、、，再分別討論當(dāng)、和時(shí)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出t即可；（3）過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．由此得到，由已知得到進(jìn)而得到，由題意，則，再依次證明、，得到，從而證明，即是等腰直角三角形．則，再用求出的面積．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，．，．（2）解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N．由題意知，∵∴，∵∴由已知，．，即，，即，，即．

①當(dāng)時(shí)，有．即，整理得．解得（不合題意，舍去）．

②當(dāng)時(shí)，有．即，整理得，解得．③當(dāng)時(shí)，有．即，整理得，該方程無實(shí)數(shù)解．綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，t的值為秒或2秒．（3）解：過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．，．

又，．，，，，，，，即，是等腰直角三角形．，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性格、相似三角形的性質(zhì)與判定、正切定義以及勾股定理．解答過程中，靈活的利用勾股定理構(gòu)造方程、根據(jù)題意找到相似三角形是解題關(guān)鍵．13．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是與，的交點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)H，連接，．（?。┤鐖D2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．【答案】(1)見詳解(2)（?。┮娫斀猓áⅲ痉治觥浚?）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再證明是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，再利用證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出．（2）（?。┯善叫芯€截線段成比例可得出，結(jié)合已知條件等量代換，進(jìn)一步證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出，，進(jìn)一步可得出，進(jìn)一步得出，同理可求出，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．在與中，∴．∴．（2）（?。摺?，又．，∴，∵，∴，∴，∴（ⅱ）∵是菱形，∴，又，，∴，∴，∵．，∴，∴，即，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，∴∴，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)，平行線截線段成比例以及菱形的性質(zhì)，掌握這些判定方法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．如圖，已知，，是的外接圓，點(diǎn)在上（），連接、、．【特殊化感知】（1）如圖1，若，點(diǎn)在延長線上，則與的數(shù)量關(guān)系為________；【一般化探究】（2）如圖2，若，點(diǎn)、在同側(cè)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接寫出、、滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）【答案】（1）；（2）（3）當(dāng)在上時(shí)，；當(dāng)在上時(shí)，【分析】（1）根據(jù)題意得出是等邊三角形，則，進(jìn)而由四邊形是圓內(nèi)接四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，分別求得，即可求解；（2）在上截取，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)在上時(shí)，在上截取，證明，，得出，作于點(diǎn)，得出，進(jìn)而即可得出結(jié)論；②當(dāng)在上時(shí)，延長至，使得，連接，證明，，同①可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，則∵是的外接圓，∴是的角平分線，則∴∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴∴設(shè)交于點(diǎn)，則，設(shè)，則在中，∴∴，∵是直徑，則，在中，∴∴（2）如圖所示，在上截取，∵∴∴是等邊三角形，∴，則∴∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴∴；∵，，∴是等邊三角形，則∴，又∵∴在中∴∴，∴即；（3）解：①如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，在上截取，∵∴又∵∴，則∴即又∵∴∴∴∵∴如圖所示，作于點(diǎn)，在中，，∴∴∴，即②當(dāng)在上時(shí)，如圖所示，延長至，使得，連接，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴又∵∴，則∴即，又∵∴∴∴，∵同①可得∴∴綜上所述，當(dāng)在上時(shí)，；當(dāng)在上時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，同弧所對的圓周角相等，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握截長補(bǔ)短的輔助線方法是解題的關(guān)鍵．15．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)與點(diǎn)重合記為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，將圖2中的繞按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，延長交直線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當(dāng)時(shí)，寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)時(shí)，直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②當(dāng)時(shí)，線段，，的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)時(shí)，線段，，的數(shù)量關(guān)系為；【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結(jié)合，即，而，可得，從而可得結(jié)論；②如圖，當(dāng)時(shí)，連接，證明，可得，結(jié)合，可得；②如圖，當(dāng)時(shí)，連接，同理，結(jié)合，可得【詳解】（1）證明：設(shè)，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：①∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，即，而，∴，∴四邊形是正方形；②如圖，當(dāng)時(shí)，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②如圖，當(dāng)時(shí)，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.16．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長度．【答案】（1），（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）①y與x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②當(dāng)時(shí)，為或.【分析】（1）先證明，，，可得；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先證明，，結(jié)合，可得；再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）①先證明四邊形為正方形，如圖，過作于，可得，，再分情況結(jié)合勾股定理可得函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；②如圖，連接，，，證明，可得在上，且為直徑，則，過作于，過作于，求解正方形面積為,結(jié)合，再解方程可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；理由如下：∵，∴，，∵，∴；∴，，∴，∴，∴與之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（3）由（1）得：，，，∴，都為等腰直角三角形；∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對稱，∴為等腰直角三角形；，∴四邊形為正方形，如圖，過作于，∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，∴，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，同理可得：，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的最小值為；②如圖，∵，正方形，記正方形的中心為，∴，連接，，，∴，∴在上，且為直徑，∴，過作于，過作于，∴，，∴，∴，∴正方形面積為,∴，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，如圖，綜上：當(dāng)時(shí)，為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的確定及圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.17．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】已知點(diǎn)A是半徑為r的上的定點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作的切線l，在直線l上取點(diǎn)C，使得為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，；【問題探究】（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點(diǎn)E，連接，對角線，相交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：無論在給定的范圍內(nèi)如何變化，總成立：②如圖3，當(dāng)，時(shí)，請補(bǔ)全圖形，并求及的值．【答案】（1）；①證明見解析；②補(bǔ)全圖形見解析，，【分析】（1）可證是等邊三角形，則，由直線l是的切線，得到，故；（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)證明，則，而，由，得到；②過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，在中，先證明點(diǎn)E在線段上，，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)互余關(guān)系可得，可求，解，求得，可證明，故在中，．【詳解】解：（1）由題意得，∵，∴是等邊三角形，∴，∵直線l是的切線，∴，∴，故答案為：；（2）①如圖：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴；②補(bǔ)全圖形如圖：過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，在中，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在線段上，∴在，，∵，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴設(shè)，∴由勾股定理得，∴，∴在中，∵四邊形是矩形，∴，∴，而，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．18．（2024·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有________（填序號）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，使四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請直接寫出的長．【答案】(1)②④(2)①．理由見解析；②(3)或【分析】（1）根據(jù)鄰等對補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；（2）①延長至點(diǎn)E，使，連接，根據(jù)鄰等對補(bǔ)四邊形定義、補(bǔ)角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出結(jié)論；②過A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（3）分，，，四種情況討論即可．【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對角互補(bǔ)且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形，故答案為：②④；（2）解：①，理由：延長至點(diǎn)E，使，連接，∵四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②過A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；（3）解：∵，，，∴，∵四邊形是鄰等對補(bǔ)四邊形，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，連接，過N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點(diǎn)．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，若，，求的面積；(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點(diǎn)，則______；(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點(diǎn)，使，請直接寫出線段的長度．【答案】(1)(2)10(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明，即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法證明，進(jìn)而證明，求得，則，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，證明，設(shè)，則，代入比例式，得出，進(jìn)而即可求解；（4）當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，分別解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點(diǎn)．

，，，，，又且，；（2）解：，，，，，又且，，，，，，，，，，；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴∴，即，即，又∵∴∴，設(shè)，則，解得：∴；（4）解：如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵∴，設(shè)，則，又∵，∴，∴∴∴∴，解得：在中，∴∴如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

∵∴∵∴設(shè)，則，，∵，∴解得：∴∴綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；（3）先證明可得，設(shè)，則,可得，即，求得可得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關(guān)于對稱軸的點(diǎn),則，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（3）解：如圖：∵軸，∴，∵軸，∴，∵，∴,∴,∵設(shè)，則,∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，∴．（4）解：∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸為：直線，如圖：將線段向右平移單位得到,∴四邊形是平行四邊形，∴,即,作關(guān)于對稱軸的點(diǎn),則∴,∵，∴的最小值為．故答案為．21．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長；(3)創(chuàng)新提升如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由，，利用兩個(gè)三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)，由（1）中相似，代值求解得到，從而根據(jù)與的相似比為求解即可得到答案；（3）過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，如圖1所示，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示，利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長，再由三角形相似的判定與性質(zhì)得到，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，由（1）知，∴，∴，∴與的相似比為，∴，∵∴；（3）解：過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，過作，如圖1所示：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，∵，∴，，在中，，則由勾股定理可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示：∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，，又∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點(diǎn)在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點(diǎn)，連接，對角線分別與相交于點(diǎn)．①求證：是的中點(diǎn)；②求；(2)如圖2，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，連接的延長線與相交于點(diǎn)．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)，得出為的中點(diǎn)，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到線段的數(shù)量關(guān)系求解；（2）連接交于點(diǎn)，證明，進(jìn)一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，再通過等量代換即可求解．【詳解】（1）解：①，為的中點(diǎn)，，是邊的中點(diǎn)，，，在中，∴，又∵，，，是的中點(diǎn)；②，四邊形為平行四邊形，，，，∵，，，，，；（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：連接交于點(diǎn)，如下圖：

由題意，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，連接的延長線與相交于點(diǎn)，，又，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，為的中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形來求解．23．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，，，，是的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)C，E在同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分圖形的面積為．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(1)等腰三角形，(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，根據(jù)“平行線+角平分線”即可得到，由，得到，解得到；（2）由為等邊三角形得到，而，則，故，解得；（3）當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，，則，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，此時(shí)，因此，故可得，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為，此時(shí)，，解直角三角形得，故，此時(shí)，再綜上即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，由題意得：

∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴在中，；（2）解：如圖，

∵為等邊三角形，∴，由（1）得，∴，即，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在上，重合部分為，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，

∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，由（2）知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)E在延長線上時(shí)，記與交于點(diǎn)F，此時(shí)重合部分為四邊形，如圖，

∵是等邊三角形，∴，而，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，在中，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上，重合部分為，如圖，

∵，由上知，∴，∴此時(shí)，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，解得：，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．24．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），作射線，在射線上取點(diǎn)，使，以為邊作正方形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè)．(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為________；(3)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長；(4)若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個(gè)即可）【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握面積法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，利用勾股定理即可求解；（2）利用面積法三角形面積相等即可；（3）設(shè)，則，，過點(diǎn)作于，根據(jù)，建立方程；即可求解；（4）第一種情況，，在異側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，證明，得到，即可求解；第二種情況，當(dāng)，在同側(cè)，設(shè)，則，，，求得，解方程即可求解；【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：，為等腰三角形，故點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，；在中，；（2）根據(jù)題意作，如圖所示；當(dāng)時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，解得：；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在上，設(shè)，則，，過點(diǎn)作于則，，，解得：故，所以正方形的邊長為；（4）如圖，，在異側(cè)時(shí)；設(shè)，，則三邊的比值為，，，當(dāng)，在同側(cè)設(shè)，則，，三邊比為，三邊比為，設(shè)，則，，解得：綜上所述：的長為或25．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點(diǎn)落在上，的對稱點(diǎn)為交于．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，且，求長．(3)連接，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，探究與大小關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點(diǎn)，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合，則，代入數(shù)值，得，所以；（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點(diǎn)落在上，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，設(shè)，∴，在中，，即，解得，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴；（3）解：如圖：延長交于一點(diǎn)M，連接∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點(diǎn)落在上，∴直線，，∴是等腰三角形，∴，∵為中點(diǎn)，∴設(shè)，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．26．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某小組將一個(gè)含的三角尺利一個(gè)正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，觀察圖形的變化，完成探究活動(dòng)．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點(diǎn)交于點(diǎn)．問題1和的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．求證．【嘗試應(yīng)用】問題3如圖4，請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過路線的長度．【答案】（1）；；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）如圖，由四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，證明，再進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）如圖，由，，再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）如圖，證明在以為圓心，為半徑的上，過作于，當(dāng)時(shí)，證明，可得，，證明四邊形是正方形，可得當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)一步解答即可；【詳解】解：；；理由如下：如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴；（2）如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴；（3）如圖，∵，，∴在以為圓心，為半徑的上，過作于，當(dāng)時(shí)，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，而，，∴四邊形是正方形，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，∵，，，∴，∴點(diǎn)經(jīng)過路線的長度為.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.27．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對角線上，點(diǎn)F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解【分析】（1）直接證明，即可證明；（2）過E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作于點(diǎn)N，先證明，可得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，，即有，，進(jìn)而可得，即可證；（3）過A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過F點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，先證明，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證明．【詳解】（1），理由如下：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；（2），理由如下：過E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，∵四邊形是正方形，是正方形的對角線，∴，平分，，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴四邊形是正方形，∴是正方形對角線，，∴，，∴，，∴，即，∵，∴，即有；（3），理由如下，過A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過F點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，如圖，∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在正方形中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．28．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點(diǎn)P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②見解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補(bǔ)；有內(nèi)切圓的四邊形的對邊之和相等，結(jié)合題中定義，根據(jù)對角不互補(bǔ)，對邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，進(jìn)而可判斷①；根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷③；（2）①根據(jù)已知結(jié)合題中定義可得結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結(jié)論；（3）①連接、、、、，根據(jù)四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理可推導(dǎo)出，，，進(jìn)而可得，，然后利用圓周角定理可推導(dǎo)出，即可證得結(jié)論；②連接、、、，根據(jù)已知條件證明，進(jìn)而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【詳解】（1）解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補(bǔ)；有內(nèi)切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當(dāng)平行四邊形的對角不互補(bǔ)，對邊之和也不相等時(shí)，該平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯(cuò)誤；②∵內(nèi)角不等于的菱形的對角不互補(bǔ)，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內(nèi)切圓，∴內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；（2）解：①∵四邊形中，，∴四邊形無內(nèi)切圓，又該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．（3）①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內(nèi)切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圓周角定理、內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)、外接圓的定義與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、勾股定理、角平分線的判定等知識(shí)，理解題中定義，熟練掌握這些知識(shí)和靈活運(yùn)用性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．另外還要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯思維能力，備考時(shí)，重視四邊形知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高解題技巧和速度，以應(yīng)對中考挑戰(zhàn)．29．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)(3)存在，，，，【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長即可；（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；（3）當(dāng)時(shí)求出，得，分為邊和對角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時(shí)不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形【詳解】（1）解：，解得，的長度是的根，∵是等邊三角形，∴，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，在中，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2）解：當(dāng)時(shí)．過P作軸，垂足為點(diǎn)D，∴，，∴∴，；當(dāng)時(shí)，過Q作，垂足為點(diǎn)E∵∴又∴，又，當(dāng)時(shí)，過O作，垂足為F∴，同理可得，，∴；綜上所述（3）解：當(dāng)時(shí)，解得，∴，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)為邊時(shí)，將沿軸向下平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；將沿軸向上平移4個(gè)單位得，此時(shí)，四邊形是菱形；如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；當(dāng)為對角線時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長到,使連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴∴,即，解得，,∴，∴；當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存在；當(dāng)時(shí)，解得，，不符合題意，此情況不存在；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類討論是解答本題的關(guān)鍵30．（2024·重慶·中考真題）在中，，，過點(diǎn)作．(1)如圖1，若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求證：；(3)若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）證明得到，再由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，即可證明；（2）如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，先證明，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而可證明，則；設(shè)，則，可得由角平分線的定義可得，則可證明，進(jìn)而證明，得到，即可證明；（3）如圖所示，過點(diǎn)D作交延長線與H，連接，則四邊形是矩形，可得，證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證明，得到，則點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線交于K，則，可得，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則，設(shè)，則，則，；再求出，則，，由勾股定理得；由全等三角形的性質(zhì)可得，則；由折疊的性質(zhì)可得，由，得到當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)G作于H，連接，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；設(shè)，則，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)D作交延長線與H，連接，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線交于K，則，∴，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴；在中，，∴，∴，在中，由勾股定理得；∵，∴，∴；由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，此時(shí)有最大值，最大值為，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于作出輔助線證明，得到；解（3）的關(guān)鍵在于通過手拉手模型證明點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，從而根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)Q的位置．31．（2024·重慶·中考真題）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合）．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接．在直線上取一點(diǎn)，使，直線與直線交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，若，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結(jié)合即可求解；（2）在上截取，連接，交于點(diǎn)H，連接，先證明，再證明四邊形是平行四邊形，可得，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，則由軸對稱可知：，，再解即可；（3）連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，由軸對稱知，，，，當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，由于，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是，設(shè)，在中，，解得，設(shè)，解直角三角形求出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，

∵，，∴∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：，在上截取，連接，交于點(diǎn)H，

∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，則由軸對稱可知：，，∴中，，∴，∴，∴；（3）解：連接，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)N，

∵，∴，由軸對稱知，當(dāng)點(diǎn)G在邊上時(shí)，由于，∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只能是，同（1）方法得，，∴，∴，∵，∴，∴中，，解得，∴，而，∴為等邊三角形，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)G在延長線上時(shí)，只能是，如圖：

設(shè)，∴，，∴，∵，∴，∵∴在中，，解得，∴，設(shè)，則，，在中，，由勾股定理求得，在中，，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．32．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實(shí)踐】（2）如圖3，圖①是一個(gè)對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；【探究應(yīng)用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中存在最大值．若，，當(dāng)最大時(shí)，求AD的長；（4）如圖6，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．【答案】（1）2（2）（3）（4）【分析】（1）利用圓與正多邊形的性質(zhì)分別計(jì)算兩個(gè)正方形的面積可得答案；（2）如圖，由，證明，再結(jié)合圖形變換可得答案；（3）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)與相切時(shí)，最大，再進(jìn)一步解答即可；（4）如圖，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，由（2）可得：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，再進(jìn)一步解答即可.【詳解】解：如圖，∵正方形，及圓為正方形的內(nèi)切圓，為正方形的外接正方形，∴設(shè)，，∴，，∴，，∴大正方形面積是小正方形面積的2倍．（2）如圖，∵，∴，，，，∴，如圖，結(jié)合圖形變換可得：；（3）如圖，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵為圓外一個(gè)定點(diǎn)，∴當(dāng)與相切時(shí)，最大，∴，∴，由（2）可得：，∵，，∴，∴；（4）如圖，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，∴，，再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，由（2）可得：，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，∵，，∴，，∴；∴的最小值為；【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓與正多邊形的關(guān)系，切線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.33．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在梯形中，，點(diǎn)E在邊上，且．(1)如圖1所示，點(diǎn)F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；(2)已知；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點(diǎn)M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．【答案】(1)見詳解(2)①；②【分析】（1）延長交于點(diǎn)G，由，得到，由已知數(shù)據(jù)得到，，故，因此；（2）①記點(diǎn)O為外接圓圓心，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接，先證明，再證明，則，即，求得；②延長交于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)Q，由，求得，可證明，角度推導(dǎo)得，則，求出，繼而得到，由，則，設(shè)，則，由，設(shè)，，由，得到，設(shè)，可證明，求出，則，在中，運(yùn)用勾股定理得：，則，在中，由勾股定理得，，故．【詳解】（1）證明：延長交于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）①解：記點(diǎn)O為外接圓圓心，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接，∵點(diǎn)O為外接圓圓心，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴外接圓半徑為；②延長交于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)Q，∵，∴，∴，由①知，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)，∵，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，而，∴在中，由勾股定理得，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．34．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長線上時(shí)，延長交于點(diǎn)，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積分別為4，16，12，【分析】（1）根據(jù)，，．證明，，繼而得到，即，再證明，得到．（2）連接，延長交于點(diǎn)Q，根據(jù)(1)得，得到，根據(jù)中線得到，繼而得到，結(jié)合，得到即，得到，再證明，得證矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計(jì)算即可．（3）運(yùn)用分類思想解答即可．【詳解】（1）∵，，．∴，∴，，∴即，∵∴，∴．（2）連接，延長交于點(diǎn)Q，根據(jù)(1)得，∴，∵是中線∴，∴，∵，∴即，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得；∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得．（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)在的延長線上時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，∵，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得；故．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵．35．（2024·河北·中考真題）已知的半徑為3，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在上，點(diǎn)C在內(nèi)），隨后移動(dòng)，使點(diǎn)B在弦上移動(dòng)，點(diǎn)A始終在上隨之移動(dòng)，設(shè)．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí)，求劣弧的長；(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求點(diǎn)B到的距離，并求此時(shí)x的值；(3)設(shè)點(diǎn)O到的距離為d．①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上，且過點(diǎn)A的切線與垂直時(shí)，求d的值；②直接寫出d的最小值．【答案】(1)(2)點(diǎn)B到的距離為；(3)①；②【分析】（1）如圖，連接，，先證明為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合弧長公式可得答案；（2）過作于，過作于，連接，證明四邊形是矩形，可得，，再結(jié)合勾股定理可得答案；（3）①如圖，由過點(diǎn)A的切線與垂直，可得過圓心，過作于，過作于，而，可得四邊形為矩形，可得，再進(jìn)一步利用勾股定理與銳角三角函數(shù)可得答案；②如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過作于，過作于，，此時(shí)最短，如圖，過作于，而，證明，求解，再結(jié)合等角的三角函數(shù)可得答案．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∵的半徑為3，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴的長為；（2）解：過作于，過作于，連接，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴點(diǎn)B到的距離為；∵，，∴，∴，∴；（3）解：①如圖，∵過點(diǎn)A的切線與垂直，∴過圓心，過作于，過作于，而，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過作于，過作于，∴，∴，此時(shí)最短，如圖，過作于，而，∵為中點(diǎn)，則，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：（不符合題意的根舍去），∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，難度很大，考查了勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．36．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結(jié)，分別與對角線交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出結(jié)論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識(shí)遷移】，見解析；【拓展應(yīng)用】；【問題再探】【分析】【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；【知識(shí)遷移】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．由旋轉(zhuǎn)的特征得．結(jié)合題意得．證明，得出．根據(jù)正方形性質(zhì)得出．結(jié)合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【拓展應(yīng)用】如圖所示，設(shè)直線交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，根據(jù)，證明，得出，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可證明；【問題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．由旋轉(zhuǎn)的特征得．根據(jù)，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)，表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】【問題解決】解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①．∴．又∵，∴在中，②．∵，，∴③．【知識(shí)遷移】．證明：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．由題意得，∴．在和中，，∴．∴．又∵為正方形的對角線，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．在中，，∴．【拓展應(yīng)用】．證明：如圖所示，設(shè)直線交延長線于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，，，在和中，，∴，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．∴，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，∴，即，又∴，∴，即，【問題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．，，，即，在和中，，，，，，又，，，，，，即，，同理可得．，，，又∵，∴四邊形為矩形．，，在中，．，解得．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．37．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為__________；(2)已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，45；②(2)或【分析】（1）由相對運(yùn)動(dòng)理解，作出關(guān)于的對稱圓，若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，先求得，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法分別判斷即可得出在上，故符合題意，根據(jù)圓