等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

專題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)

目錄

【題型一】等比數(shù)列前n項(xiàng)積....................................................................1

【題型二】與通項(xiàng)和Sn有關(guān)的正負(fù)比較...........................................................4

【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)....................................................................5

【題型四】等比數(shù)列與范圍......................................................................7

【題型五】等比數(shù)列最值........................................................................8

【題型六】恒成立求參..........................................................................10

【題型七】等比數(shù)列復(fù)合型：“下標(biāo)數(shù)列”........................................................12

【題型八】遞推公式構(gòu)造等比型.................................................................14

【題型九】遞推：二階等比數(shù)列.................................................................15

【題型十】等比數(shù)列文化應(yīng)用題.................................................................17

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練.....................................................................19

培優(yōu)第二階——能力提升練.....................................................................21

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................25

w---------------------------------

，鴛熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】等比數(shù)列前n項(xiàng)積

【典例分析】

已知等比數(shù)列｛q｝滿足q=32,q=-g,記a?(?eN+),則數(shù)列｛7；｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】A

【分析】求出等比數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式進(jìn)而求出I,再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.

【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a“=aq"T=32.(一:)1=果2,

n(M-l)

23(_])〃T(_])I+2+3++(n-l)1

T1-1(-D(-D(-1產(chǎn)

,\Tn\=〃(〃一11),

"一尹^^5p-,“-6,(-5)+(-4)+(-3)++(〃-6)1)

(，?+1乂〃-10)

由三±1=21「=25-”21知，時(shí)，數(shù)列｛1(1｝是遞增的，時(shí)，數(shù)列｛I7J｝是

\T,.\

遞減的，

于是得數(shù)列｛111｝的最大項(xiàng)為141=1(1=*，而〃為奇數(shù)時(shí)，北＞0,〃偶數(shù)時(shí)，北＜0,

所以7；=23和7；=-2”分別是數(shù)列｛7；,｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

可以類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積:

l.n=l,得ai

2.nN2時(shí)，aM

,“-I

｛T,(n=l)

所以a.=<

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛%｝,等比數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和之積為22"1+22向〃-〃2-2〃，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d、

等比數(shù)列｛"｝的公比為q,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

①4=3②4=2③仇=3④g=4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】由題意設(shè)等差數(shù)列｛“、等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和分別為A1+B〃，C-Cq",因式分解得

2?”r+2?向”-*-2〃=(1+2〃)Q2"-1),從而得-C(A"?+時(shí)"-1)=(〃2+2磯4"-1),即可求解出q=4,

無法求解出4,伉,d,可得答案.

【詳解】顯然等比數(shù)列｛a｝不是常數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝、等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和分別為A/+8"，C-Cq",

其中A,B,C,q為常數(shù),Cq^O,q^\,

因?yàn)?2”“2+22同〃_〃2_2〃=(〃2+2")Q2"-1),

即等差數(shù)列｛%｝、等比數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和之積為何+2〃)(22"-1),

所以(而+8中仁一。9")=(〃2+2〃)(22"-1),

所以—。(而+坳)@-1)=(〃2+2〃乂4"-1),

所以4=4,-04=1,-8=2,所以不能判斷出q,耳，”的值，故只有④正確.

故選：A

2..已知｛凡｝為等比數(shù)列，｛/｝的前"項(xiàng)和為S,,前〃項(xiàng)積為7.，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.若S2022As謝,則數(shù)列｛““｝單調(diào)遞增

B.若金22＞4m，則數(shù)列｛““｝單調(diào)遞增

C.若數(shù)列⑸｝單調(diào)遞增，則叼竣2%⑼

D.若數(shù)列區(qū)｝單調(diào)遞增,則吸泄⑼

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得生儂>。與“2022>1，進(jìn)而可得可、0取值同號(hào)，即可

判斷A、B；

舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；

根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得進(jìn)而得到4>1,求出夕21,即可判斷D.

【詳解】A：由S畋2>S加，得喙>。，即4產(chǎn)bO,則%、4取值同號(hào)，

若4<0,g<0,則｛4｝不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

B：由n022>4)21，得々022>1，即4g23>1,則可、<7取值同號(hào),

若q<0,q<0,則數(shù)列｛4｝不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

1八1

C：若等比數(shù)列％=1,公比4=彳，則3=-^-=2(1--),

21--2

2

所以數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列，但%)22<%)2一故C錯(cuò)誤；

D：由數(shù)列凡｝為遞增數(shù)列,得一>數(shù)T，所以勺>列

a

即921,所以“2022—2O2l,故D1E確.

故選：D

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S"，q=9,4=1.記1=444,(〃=1,2,)，下列說法正確的是()

A.數(shù)列應(yīng)｝的公比為YB.S?>^-

C.7；存在最大值，但無最小值D.7X=(6f)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由4=9,%=1求出公比4,可判斷A的正誤；利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出S,,,

可判斷B的正誤；根據(jù)題意求出7；,可判斷C,D的正誤.

【詳解】因?yàn)?=9,4=1，

所以正項(xiàng)等比數(shù)列｛??｝的公比4滿足八十"，且q>0,

所以q=g,故A錯(cuò)誤；

由等比數(shù)列的前8項(xiàng)和公式可得，s，(j”)

"1-q

3

因?yàn)?lt;1,所以S“<§，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍“=6q"T=9x(g)=3""，

〃(2+3-〃)-￡+5”

加以1=4%4=32x3、X33-"=32"+3-"=32=32,

易知f2+5.43,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知0<3?427，

所以7；存在最大值，但無最小值，故C正確；

2

-nr+5n-n2+5n--n+3n+6二，？““

2322故D錯(cuò)誤;

Tna?=3X3'N=3=3=(若)豐

故選：c.

【題型二】與通項(xiàng)和Sn有關(guān)的正負(fù)比較

【典例分析】

已知數(shù)列｛m｝是等比數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S”，則下列結(jié)論正確的是()

A.若4/+〃2>0，則4/+03>0B.若4/+03>0,則4/+〃2>0

C.若幻>0,則S2O2/>0D.若。/>0,則5202。>0

【答案】C

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，等比數(shù)列:-3,6-12,,滿足4+出>0,但4+%<0,A錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，等比數(shù)列:3,-6,12,,滿足q+%>0,但q+的<0,B錯(cuò)誤.

l-a202'

C選項(xiàng)，4>0,若q=l,則S,。”=20214>0；若qwO,則S,⑼=qx——,此時(shí)1-<?.與1-4同號(hào),

1-<7

l-a202'

所以S202i=qx-r”—>o,c正確.

「q

1-(一2戶2°

D選項(xiàng),4>0,若。=-2,貝IJSMO=%x”號(hào)工。,D錯(cuò)誤.

1-(-2)

故選：C

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，其中〃GN,,則下列說法正確的是()

A.若外>《>0,則可>0(n=\,2,3....)

B.若。3>%>0，則5“>0(〃=1,2,3....)

C.若％+"2+4>“2+4>。，則S">。(n=l?2,3,...)

D.若4+4+4>4+4>0，則4>0(〃=1,2,3,...)

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式分析首項(xiàng)〃/,公比q的范圍即可得解.

(詳解］設(shè)等比數(shù)列｛%｝(〃€N,)的公比q班

由％>4>0,即。M2>4>0得4>0,4>1或4<T,當(dāng)4>0,q<T,〃為偶數(shù)時(shí)，??=?,<,<0,即A不

正確；

當(dāng)4>0國(guó)<-1,〃為偶數(shù)時(shí)，/>1,S.二畔一夕)-<0,B不正確；

1-<7

由%+%+4>%+4>0，即+qq+q>44+4>0得4>0,^>-1,

當(dāng)4>0,-1<4<0,〃為偶數(shù)時(shí)，4=adi<0,即D不正確；

q>0,-1<4<0或Sjia)>0,a,>0,^=1^,S?=na,>0,

"q

4>0應(yīng)>1時(shí)，q">\,S"=a°_q)=1(4T)>0,所以幻乂)，q>.\,?),有*>0,即C正確.

\-qq-\

故選：C

2.等比數(shù)列｛《,｝各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，公比為<?,給出以下三個(gè)結(jié)論：①若。臼<0,則4%<0;②若G+q<。，

且為+為>0,則q<T;③若用<0,則(4+「％)(%+1-4,+2)<0.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】選項(xiàng)①，由4/<0可得4<0,轉(zhuǎn)化44=分析可判斷；

選項(xiàng)②，用基本量表示4，%，4，%可得4(1+。')<。，q(q2+q4)>0,分析即可判斷；

選項(xiàng)③，由的向<0,可得”0,轉(zhuǎn)化限）=-（?-4）%，分析可得解

【詳解】選項(xiàng)①，若4/<0,貝肥片<0,又。；>0,則q<0,故如&=〃曾<0,正確；

選項(xiàng)②，若q+%<。，生+4〉。，則q（i+d）<。，弓⑷+心〉。

由于/+/>0,故4>0,即1+。3<0=4*<-1=4<-1,正確；

選項(xiàng)③，若44+1<。,則4》<0,則4<0,則（％-4,）（。“+|-。,+2）=-（4用一4,）%

由于故（%+|-q）2>0，故（4+|-4,）（4+|-4+2）=一（4+1一%）24>0,錯(cuò)誤

故其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，下列一定成立的是（）

A.若例>0，則$2023>0B.若%>0，則$2023<0

C.若%>0,貝”2022>0D.若%>0,則S2022Vo

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合特殊值4=1,g=T,4片±1三類情況討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛%｝的公比為9=1時(shí)，由%>0或%>0得4>0,進(jìn)而5,,=〃4>0，故BD選項(xiàng)

不滿足；

當(dāng)g=-l時(shí)，由/>0得q>0，此時(shí)$2023=4>0，由。4>0得4<0，$2022=°，故C選項(xiàng)不滿足；

當(dāng)4*±1時(shí)，由/>。得4>。，故當(dāng)夕?YO,T）（-1,0）（0,1）（1,小》）時(shí)，S.="~~->0.故A

1-q

選項(xiàng)滿足.

由4=。4〉°得4闖同號(hào)，故當(dāng)夕?田,一1）時(shí)，$2022=」------^>0；當(dāng)?shù)祝╢,T）時(shí)，

i-q

52。22=1>0；*4?0,1）時(shí)，$2期=1>0：”'"?1,+00）時(shí)，S2°22=l>0.故

1-（7\-q\-q

S2O22>。不恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A

【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)

【典例分析】

設(shè)無窮等比數(shù)列｛4｝,貝1]“0<生<4"是”｛%｝為遞減數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由已知條件0</<可可以得出等比數(shù)列公比的范圍，然后結(jié)合通項(xiàng)公式判斷｛4｝的單調(diào)性；反之,

舉出反例說明｛4｝為遞減數(shù)列但"0<々<q"不成立.

【詳解】因?yàn)椋?｝為無窮等比數(shù)列，0<々<4,所以公比4滿足°<4=生<1，

%

所以有%向=%4，即｛4｝為遞減數(shù)列;

反之，若無窮等比數(shù)列｛q｝是遞減數(shù)列，則它的笫一項(xiàng)和第二項(xiàng)可以為負(fù)，

如-!，-2，-1，T，-2……,所以不一定得到。<的<4,

所以，，0<生<4”是"｛q｝為遞減數(shù)列”的充分而不必要條件，

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

比數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：

(1)數(shù)列｛“"｝是等比數(shù)列，斯=硒叫通項(xiàng)如為指數(shù)函數(shù)：即斯=0產(chǎn);

_------------―----------------q-r_rg

(2)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn=………,Sn為r-rq"型線性指數(shù)函數(shù)

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)｛/｝是等比數(shù)列，貝廣對(duì)于任意的正整數(shù)〃，都有《,+2>。"''是”｛4｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列'’()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

[答案]C

【分析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.

【詳解】若｛%｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然M+2>4,所以“對(duì)于任意的正整數(shù)%都有4+2>凡”是"｛靖是嚴(yán)格

遞增數(shù)列”必要條件；

q+2=。應(yīng)2>對(duì)對(duì)任意的正整數(shù)“都成立，所以｛4｝中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，

2

:.an>0,q>l,即或即%<0,0<q<1,

當(dāng)a,,>0,q>l時(shí)，有a.q>a”,即明>4,,是嚴(yán)格遞增數(shù)列，

當(dāng)%<0,0<4<1時(shí)，有a“q>a”,即4M>外,｛《,｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列，

所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有a.>%''是”｛%｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件

故選：C

2..在等比數(shù)列｛q｝中，已知q>0,8%-%=0,則數(shù)列｛%｝為().

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.無法確定單調(diào)性

【答案】A

【分析】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性.

【詳解】由8久-%=0,可知%=/=8,

解得4=2.又q>0,所以數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列.

故選：A

3.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為劣，公比為q,則4(夕-1)<0是“數(shù)列｛%｝遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

[4>0[a<0

11

【分析】由4(夕-1)<0,解得iz八、或,,根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要

匕<l(qX0)[q>1

條件的判定方法，即可求解得到答案.

fa>0[a.<0,

【詳解】由已知4(4一1)<0,解得'“八、或<,，，

匕<1(??0)[q>l

此時(shí)數(shù)列｛《,｝不一定是遞減數(shù)列，

所以4(q-1)<0是“數(shù)列｛q｝遞減”的非充分條件；

[a>0fa<0/、

若數(shù)列口｝為遞減數(shù)列，可得:1或一所以4①-1）<0,

[0<^<1[“1

所以4（夕-1）<0是“數(shù)列（??｝遞減”的必要條件.

所以“卬（4-1）<0”是“數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)歹廣的必要不充分條件.

故選：B.

【題型四】等比數(shù)列與范圍

【典例分析】

已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為4,則4可能的一個(gè)值是（）

5?3

A.-B.；C.2D.-

222

【答案】D

【分析】先由三邊構(gòu)成等比數(shù)列求出q的范圍，再逐一對(duì)照即可求解

【詳解】由題意可設(shè)三角形的三邊分別為亍，a,aq（aq豐0）.因?yàn)槿切蔚膬蛇呏痛笥诘谌?

所以①當(dāng)4>1時(shí)，-+a>aq,即才一^一匕。，解得1<夕<112^；

q2

②當(dāng)0<4<1時(shí)，a+aq>~,g|J^+q-\>0,解得二"金”］；

42

又當(dāng)夕=1時(shí)，三邊相等，三角形為等邊三角形，滿足條件;所以專1〈”曾

之一"工0,.二3

故A錯(cuò)誤;

22222

石-1=工0,1亞-1

..〈，，故B錯(cuò)誤；

2~2222

1+石=^a>o,.-2>-^.

2-故C錯(cuò)誤；

222

31+752-V531+V53A/5-I4-逐-375-1

——=--------<0n,..〈，故D正確

2222222222

3

所以q可能的一個(gè)值是故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.涉及到首項(xiàng)和公比的不等式（組）關(guān)系。

2.一般情況下，不等式組可以參考“線性規(guī)劃”知識(shí)

【變式訓(xùn)練】

1.S,,為等比數(shù)列血｝的前“項(xiàng)和，?,>0,S5<3at+a2+a4,則公比q的取值范圍是（）

A.（—1,0）B.（0,1）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用首項(xiàng)與公比表示出各項(xiàng)和，建立不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)镾5=4（i+q+q2+/+q4）<4（3+q+/）,且q>。，

所以44+d-2<0,解得d<l,又4'。，

解得-l<q<0或0<q<l,故選：D

2.已知等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前"項(xiàng)和為列,則:F>0”是“S2023As的”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】設(shè)公比為4,按照4>1、9=1、0<夕<1、4<0分類討論，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法可得答案.

【詳解】設(shè)公比為夕,

當(dāng)時(shí)，產(chǎn)2<產(chǎn)3,

$23>SQO馬牛式>馬牛D=4(1-/23)<《(1一/22)

\-q\-q

Oq(產(chǎn)2-產(chǎn)3)<0=q>0,此時(shí)，“q>0”是“S2023>S2022”的充要條件;

S

當(dāng)q=1時(shí)，$2023>2O22=2023%>2022a)=q>0,此時(shí)，“q>0”是“52023>與值”的充要條件：

當(dāng)0<”1時(shí)，產(chǎn)2>產(chǎn)3,

>2023>>2022\)>“1)

\—q\-q-4-4

Oa,(產(chǎn)_03)>0=q>0,此時(shí)，“q>0，，是“52023>S2022”的充要條件;

當(dāng)4<0時(shí)，產(chǎn)>0,產(chǎn)<0,

/[2023\/I，(P，、

$2023>$姐=?=?,(力22一L23)>。。4>(J,此時(shí)，“囚>0”是“邑必>邑叱，，的充

\—q\-q

要條件，

綜上所述：“4>0”是"邑必A%?''的充要條件.

故選:C

3.已知等比數(shù)列｛q｝的前5項(xiàng)積為32,1<《<2,則q+,+全的取值范圍為()

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出的，進(jìn)而求出公比二的取值范圍并用/表示出6+儀+全，然后根據(jù)對(duì)勾

函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，qa2a34%=6=32=%=2,

因?yàn)閘<ai<2,所以q-=」■€(1,2),從而q+q+-^_=—^+3+—^￡_=2(=+冬)+1

424724于4

不妨令t=g2e(l,2),則與=/?)=2+：，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，f(f)=L+=在(L2)上單調(diào)遞減，

故對(duì)于Vrw(l,2),/(2)</(/)</(1),l</(r)<4,從而1<±+冬<:，則3<4+2+%<二.

4q-44242

故全的取值范圍為0,故選：D.

【題型五】等比數(shù)列最值

【典例分析】

已知等差數(shù)列｛4｝的公差”>0,且%，%T，%。成等比數(shù)列，若q=5,S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則

2S+2/7+9

―『的最小值為（）

]317

A.2^3+3B.7C.—D.—

23

【答案】C

【分析】由題意4=5,4，。5-1，6。成等比數(shù)列，可得。=3,即可求出%,S“，代入說+2；+9,再結(jié)

合雙勾函數(shù)性質(zhì)可求出答案.

【詳解】由于生，氏-1，4。成等比數(shù)列，所以（％-1）2=〃24，（q+4，/-l）2=（q+d＞（q+9d）

；.（4d+4）2=（5+d）-（5+9d）,解得4=3，勺=3〃+2,AS?=1（3n2+7n）

29+2〃+9+9/7+934

所以上2—/=n+-+3,由雙勾函數(shù)性質(zhì)知y=〃+三在〃22,〃eN*上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

an-23〃"n

3372s“+2〃+913

〃=2時(shí)，y=〃+三取得最小值為：2+：=；,所以一~廠的最小值為故選：C.

n22an~12

【變式訓(xùn)練】

1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列㈤｝中，公比若。3+%=5，%4=4,儲(chǔ)=bg?a"，數(shù)列｛4｝的前〃

項(xiàng)和為M則3+W+L取最大值時(shí)，”的值為（）

12n

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件求得勺，由此求得打，進(jìn)而求得S〃，由求得正確答案.

n

%q2+%/=5

%q?%q、=41./門丫

【詳解】依題意《.,>0=4=16—5,所rri以4=16XQJ2""也=】og2a“=5-”

q>0

、4+5-779-77S9-n

所以也f,｝是首項(xiàng)為4,公差為7的等差數(shù)列，所以s“=土＜〃，字

v9-nqqq

由義20nl4〃49,〃eN*,所以=+?+L+'取最大值時(shí)，〃的值為8或9.

n212n

故選：B

2.等比數(shù)列｛%｝中，若溫=4,則（）

A.%+4與“5+%都有最小值2

B.“4+a8與a5+”7都有最小值—2

C.當(dāng)見＜0時(shí)“4+4有最小值2,“5+%有最大值-2

D.當(dāng)％＜。時(shí)為+%與%+%都有最大值-2

【答案】C

1,1

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到%=1，aa=—+q-＞2,當(dāng)仁＜0時(shí)夕＜0,%+%=—+4由均值不

i+,qq

等式得到最大值為-2.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到：溫=a2a6al0

1,,1

得4=1,所以%+%=~y+4~22,等號(hào)成立的條件為G=r=q=±l,4+&有最小值2；

44

1,1

當(dāng)仁＜0時(shí)q＜0,a5+Cb,=-+q＜-2,等號(hào)成立的條件為。=-^q=-\,

%十%有最大值-2.故選：C.

3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和S“，滿足54-2SZ=3,則SA-S'的最小值為()

A.-B.3C.4D.12

4

【答案】D

3

【分析】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為囚，公比為心利用邑-2s2=3,可得/+q=T

q-

則$6-*=3(d-1)+人+2,再利用基本不等式求最值即可.

''<?-1

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為生,公比為4,

若5-2邑=3,則有

—2S,=4+d>+%+%—2(%+2)=(%+2)—(4+2)=\Q~—1)(4+。2)=3,

乂由數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)的等比數(shù)列，則夕>1,g2>i,

3

貝|]%+4=丁：，

qt

則S6-S4=氏+%=/x(%+a2)=_j_xg4=3x(g二][2.二>1

q2-\q2-\

22

3(9-1)+-^-J+2>6+3X2X^((7-1)X-^=12,當(dāng)且僅當(dāng)d=2時(shí)等號(hào)成立，

即$6-$4的最小值為12.故選：D.

【題型六】恒成立求參

【典例分析】

已知數(shù)列｛4,,｝中，其前八項(xiàng)和為S“，且滿足S,=2-a“，數(shù)列,；｝的前"項(xiàng)和為7.，若對(duì)

“eN*恒成立，則實(shí)數(shù)2的值可以是()

38

A.--B.2C.3D.-

25

【答案】D

【分析】由5”=2-。“求出/，從而可以求用，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.

【詳解】若〃=1,則岳=4=2-q,故4=1；

,_1

S=2—cia111

若77>2,〃￡N*，貝lj由，S=2_1得亡=5,故"k2蕾=2-聲

2

1_1

所以擊，T〃=T中4一

,又因?yàn)镾：-2(-1)"7；20對(duì)“eN*恒成立,

，-4

當(dāng)〃=1時(shí)，則(2-以+21(4-1)>0恒成立，A>-1

當(dāng)〃22,時(shí)，2W-1>2，0<^q-<^

所以-擊<2,2<2+擊4。，-2<-12-1

2”T-4

(2-擊)-"-1)"[扣一/)卜。(2一擊)7T嗚(2+擊)卜。

」2一，2」2

若〃為奇數(shù)，則義~彳Y>-3;若〃為偶數(shù)，則7一1所以京=：

娶+，)3(2+Hri

所以，對(duì)〃cN*(2—擊)-2(-1)"g(4—J)]zO恒成立，必須滿足一14/14：.

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

數(shù)列恒成立，可以參考函數(shù)恒成立形式：n為自然數(shù)

⑴色/(〃)恒成立<=?/")mor；

(2)不/(")恒成立機(jī)

【變式訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=5-〃，其前〃項(xiàng)和為S,,,將數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)去掉其中一項(xiàng)后，剩下三

項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列｛"｝的前3項(xiàng)，記數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為[,若對(duì)任意的meN*,〃eN*,

S“<7；“+/1恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.[2,+00)B.(2,+00)C.[6,+8)D.(&+8)

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前"項(xiàng)和得出S“和7“，再求出(S“)g及區(qū))麗，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)4的取值

范圍.

【詳解】解：由己知數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式為=5-”,

可得5“=一!〃2+2〃=—]_("_21+肛，所以⑸)s=S&=S5=10.

“2221.2)8

數(shù)列｛《,｝的前4項(xiàng)為4,3,2,1,所以等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)為4,2,1,所以々=4,q=g

41fz、

所以7；=1;1=8]-￡,顯然憶｝是遞增數(shù)列，且4W7；<8.

1-2

若對(duì)任意的〃?eN,〃eN",總有5〃<+2成立，則10v4+4,所以幾>6.

故選：D.

2.已知數(shù)列｛4｝滿足4+2=3q+「2q,(〃eN*),且4=1,4=4,其前〃項(xiàng)和為5.，若對(duì)任意的正整數(shù)〃,

5“+2〃+〃r2"20恒成立，則機(jī)的取值范圍是()

A.；，+8)B.一；，+8)C.-|，+8)D.|,+8]

【答案】C

【分析】先判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式，通過累加法可得％,進(jìn)而求得5.，然

后由不等式恒成立得到結(jié)果.

【詳解】由&+2=34田-2a“得an+2-an+l=2(a?+l-a?)，

???數(shù)列｛q,“-q｝是以%-q=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

二.”“+1—=3x2"'，

2

二當(dāng)”22時(shí)，=3X2"',…，a3-a2=3x2,a2-at=3x1,

將以上各式累加得a“-q=3x2-2++3x2+3xl=3x可二=3(2"i-1)，

1—17〃

=3x2"T-2,(當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足)，S?=3(1+2+22+...+2,"l)-2/z=3x^-y-2n=3-2,,-2rt-3,

由S“+2〃+m-2"20,得3?2"-2〃一3+2“+，小2”20,

31133

.?32"-3+〃"2"20，即機(jī)N-3+6，—<->:.m>-3+-=--.

故，〃的取值范圍是一|，+8]故選：C.

3.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足3q+324+…+3"q,="(〃eN*),若對(duì)于任意的xe[O,l],〃eN*,不

等式S,<-2x2-(n+l)x+/-a+g恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[3,+w)B.(v,T)(3,+℃)

C.([l,+oo)D.(-^O,-2)VJ(1,+OO)

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意求出4$，從而得到S“<g；再由對(duì)于任意的XG[0,1],”eN*,不等式

S“<-2x2-(a+1)x+/-a+g恒成立，得至I」不等式2》2+(。+1)》一〃+。40在xe[0,l]時(shí)恒成立，從而得到

通過解不等式組即可求出實(shí)數(shù)0的取值范圍.

IJ\*J—u

2

【詳解】因?yàn)?q+3%2+…+3"〃"="(〃€%*),所以〃22時(shí)，3a,+3a2+...+3"-'^",=n-1,

兩式相減，得3"q,=l("W2),即4="(〃22),又”=1時(shí)，3《=1,所以

1mlI

因?yàn)橐策m合4,=/，所以所以s=31山"<1，

333〃]」2[⑶]2

3

因?yàn)閷?duì)于任意的Xe[0,l],neN*,不等式S“<-2x2-(a+\)x+a2-a+^恒成立，

所以對(duì)F任意的不等式;4一2》2一(〃+1)》+。2-。+；恒成立，

即對(duì)于任意的xe[0,l],不等式2/+(。+1)》一。2+。40恒成立，

[/(0)<0-a2+a<0

所以只需「二/八，即G(八，,八，解得QWT或423.

[/(1)<0[2+(a+l)-a-+aW0

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(9,一1][3,”).故選：A.

【題型七】等比數(shù)列復(fù)合型：“下標(biāo)數(shù)列”

【典例分析】

已知數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，｛2｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)％=%,

（）當(dāng)（時(shí)，〃的最大值為（）

T?=CI+C2++c??eN,,<2021

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先求出?！耙?，進(jìn)而得到%,由分組求和得（=1（3"-1）-2〃，由&廠7；>0判斷出｛1｝為遞增數(shù)

列，計(jì)算出”<2021,7；>2021即可求解.

【詳解】由題意知：??=1+3（/7-1）=3?-2,&?=3"-'（C,,=%=%,=3-3"T—2=3"—2,

3（1-3"）3/\

2,,,,

Tn=3-2+3-2++3-2=-yy^-27：=--（3-l）-27??

又1+「萼=|?（3向一1）一2（〃+1）-|?（3"-1）+2"=3'用一2>0,

故憶｝為遞增數(shù)列，又7；=5*（36-1）-2乂6=1080,7；=^（37-1）—2乂7=3265,

故當(dāng)7；<2021時(shí)，〃的最大值為6.故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

A.1033B.2057C.1034D.2058

【答案】A

【分析】由等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到”的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式

可求得結(jié)果.

【詳解】Q他｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.2=2"一,

｛4｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.?.4,=〃+1，.?-%,=%=2"-'+1，

1_n10

二%+飆+…+%,=（1+2+2?+…+2"）+10=二一+10=10