八年級(jí)數(shù)學(xué)《軸對(duì)稱(chēng)》復(fù)習(xí)

《軸對(duì)稱(chēng)》復(fù)習(xí)

第一節(jié)軸對(duì)稱(chēng)

一、關(guān)鍵概念和原理

概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸，軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，線段垂直平分線.

原理：軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)及判定；線段的垂直平分線的判定及性質(zhì)；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的

性質(zhì)；如何判定兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng).

二、知識(shí)點(diǎn)：

1.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的聯(lián)系與區(qū)別.

軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)

圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng).兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng).這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形

就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

區(qū)別：軸對(duì)稱(chēng)圖形是說(shuō)一個(gè)具有特殊性質(zhì)的圖形，是對(duì)一個(gè)圖形說(shuō)的；

軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系，是對(duì)兩個(gè)圖形說(shuō)的.

聯(lián)系：軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形都有對(duì)稱(chēng)軸，如果把軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就

是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；如果把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成

軸對(duì)稱(chēng).

2.線段的垂直平分線及其結(jié)論

定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直與這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

結(jié)論：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端的距離相等的點(diǎn)，

在線段的垂直平分線上，所以線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端距離相等的所有點(diǎn)的集

合.

兩者的關(guān)系：點(diǎn)在線段的垂直平分線上Q點(diǎn)到線段兩端的距離相等

3.軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)

共同的特征：對(duì)折后的兩部分是完全重合的，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.

性質(zhì)：(1)關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等；

(2)對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

三、典型例題

例1.已知：如圖，Pi、P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，PF2交OA于M,交0B于

N,PF2=10cm.求△PMN的周長(zhǎng).

解：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì).

VP,.P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

，P|M=PM、P2N=PN

/.APMN的周長(zhǎng)為

PM+MN+PN

=P,M+MN+P2N

=P|P2

=10cm

例2.如圖所示,OA,OB是兩條公路，在兩條公路夾角的內(nèi)部，有一油庫(kù)P,現(xiàn)在想在兩公

路上分別建一個(gè)加油站，為使運(yùn)油的油罐車(chē)從油庫(kù)出發(fā)先到一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最

后回到油庫(kù)的路程最短，問(wèn)兩加油站應(yīng)如何選址？

解：本題應(yīng)利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值.

如圖所示，作P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,作P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接EF,分別交OA、OB

于C、D,

則4PCD的周長(zhǎng)即為線段EF的長(zhǎng)度，此時(shí)最短.

例3.（2005.江西）如圖所示，將一張正方形紙片經(jīng)過(guò)兩次對(duì)折,并剪出一個(gè)菱形小洞后展

開(kāi)鋪平，得到的圖形是（）

□□

ABCD

解：同學(xué)們可以實(shí)際操作，通過(guò)折紙來(lái)檢驗(yàn)圖形的形狀.但同時(shí)同學(xué)們也應(yīng)該學(xué)會(huì)通過(guò)作圖

來(lái)更好地理解折疊過(guò)程，把思維提高一個(gè)層次.本題選D.

例4.如圖，ZXABC中NACB=90。，AD平分NBAC,DEJ_AB于E,求證：直線AD是CE

的垂直平分線.

分析：木題可以用全等的方法證明，其間可以利用角的平分線的性質(zhì).但本題應(yīng)緊扣結(jié)論,

按垂直平分線的性質(zhì)證明A、D在CE的垂直平分線上.

解：AD平分NBAC,DEJ_AB于E,

AZDAE=ZDAC,ZAED=ZACD=90°

又YAD是公共邊

.'.△ADE^AADC

/.AE=ACDE=DC

AA,D都在EC的垂直平分線上

直線AD是CE的垂直平分線.

例5.剪紙是中國(guó)的民間藝術(shù)，剪紙的方法很多，下面是一種剪紙方法的圖示(如圖1,先將

紙折疊，然后再剪，展開(kāi)即得到圖案)：圖2中的四個(gè)圖案，不能用上述方法剪出的是()

⑵

解：示例中給出的折疊過(guò)程說(shuō)明剪紙是構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形的過(guò)程.

研究四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)圖形(D)不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本題應(yīng)選D.

例6.(1)觀察圖1?4中陰影部分構(gòu)成的圖案，請(qǐng)寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征.

(2)借助圖5的網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，使該圖案同時(shí)具有你在解答(1)時(shí)所寫(xiě)出的兩個(gè)共

同特征.

例7.為了美化環(huán)境，在一塊正方形空地上分別種植不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求

分成四塊：（1）分割后的整個(gè)圖形必須是軸對(duì)稱(chēng)圖形；（2）四塊圖形形狀相同；（3）四塊圖形面積相

等，現(xiàn)已有兩種不同的分法：①分別作兩條對(duì)角線（圖①），②過(guò)一條邊的四等分點(diǎn)作該邊的垂線

段（圖②），（圖②中的兩個(gè)圖形的分割看作同一種方法）.請(qǐng)你按照上述三個(gè)要求，分別在圖③的

三個(gè)正方形中，給出另外三種不同的分割方法.（只畫(huà)圖，不寫(xiě)作法）

解：通過(guò)設(shè)計(jì)圖案，讓同學(xué)們?cè)鰪?qiáng)對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形的認(rèn)識(shí).

方案如下圖所示：

例8.（教材變形題）如圖所示，EFGH是一個(gè)臺(tái)球桌面，有黑白兩球分別置于A、B兩點(diǎn)位

置上，試問(wèn)怎樣撞擊白

球B,經(jīng)桌面HE、EF連續(xù)反彈后，準(zhǔn)確擊中黑球A?（寫(xiě)作法并作圖）

EF

解：反射問(wèn)題實(shí)際上就是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.

作圖步驟如下：

1.作B關(guān)于HE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A為

2.連接AB,交HE、EF于C、D兩點(diǎn)；

3.連接BC,AD.

則路徑BTCTD—A即為所求.

第二節(jié)軸對(duì)稱(chēng)變換

--關(guān)鍵概念和原理

概念：軸對(duì)稱(chēng)變換

原理.：作軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn).

二.知識(shí)點(diǎn)

1.軸對(duì)稱(chēng)變換

定義：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱(chēng)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)變換.

軸對(duì)稱(chēng)變換同旋轉(zhuǎn)變換、平移變換一樣，都是圖形變換的一種，軸對(duì)稱(chēng)變換的實(shí)質(zhì)就是圖形

的翻折，而翻折問(wèn)題往往可以看作是圖形的全等問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用圖形的全等，找

出對(duì)應(yīng)線段對(duì)應(yīng)角，挖掘題目的隱含條件，再利用結(jié)論使問(wèn)題獲解.

注意：經(jīng)過(guò)變換以后，只是位置發(fā)生了變化，圖形的形狀和大小并未改變.

2.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)

讓學(xué)生學(xué)會(huì)用方程組表示，數(shù)形結(jié)合，為今后解綜合題打下基礎(chǔ).即

再=々

點(diǎn)AM,%)與B(X2,y3關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)1必+為二°

=『+馬=0

點(diǎn)A(xi,y。與B(X2,y2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)'1一為

點(diǎn)A(X1,y。與B&M)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)〔必+為=°

例9(1)求點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求點(diǎn)N(3,4)關(guān)于直線y=l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)求直線y=2x-1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線的解析式.

解：(1)點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P(6,1).

(2)點(diǎn)N(3,4)關(guān)于直線y=l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是N，(3,-2)

(3)直線y=2x-l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線的解析式是y=-2x+l.

例10.如圖所示，由小正方形組成的“L”形圖案，請(qǐng)你在圖中添加一個(gè)小正方形，使它成為

軸對(duì)稱(chēng)圖形.

例11.在直角坐標(biāo)系中,已知A(2,0),B(l,-2)則線段AB關(guān)于坐標(biāo)系原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)線段的圖

象是下圖中的().

解：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù).

因此A(2,0),B(l,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A，(-2,0),B,(-L2).

本題選A.

例12.如圖，已知：AD為AABC的高，NB=2/C,利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)證明CD=AB+BD.

證明：作B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,則4ABD學(xué)ZSAED,

所以AB=AE,BD=DE,ZB=ZAEB.

VZB=2ZC,ZAEB=ZC+ZEAC

ZEAC=ZC

；.AE=EC

，CD=DE+EC

=BD+AE

=BD+AB.

例13.如圖所示，一個(gè)算式在鏡中所成的像構(gòu)成的算式是正確的，但是在實(shí)際中是正確的

嗎?實(shí)際中這個(gè)算式是什么？

鏡子

EI452+I5=IBB

解：鏡面對(duì)稱(chēng)是左右相反，因此此算式是

881=21+52+151

顯然是不正確的.

例14.一平面鏡以與水平面成45。角固定在水平桌面上，如圖所示，一小球以1米/秒的速

度沿桌面向平面鏡勻速滾去，則小球在平面鏡里所成的像（）.

A.以1米/秒的速度，做豎直向上運(yùn)動(dòng)

B.以1米/秒的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)

C.以2米/秒的速度，做豎直向上運(yùn)動(dòng)

D.以2米/秒的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)

小球關(guān)于鏡面對(duì)稱(chēng)的像與小球關(guān)于鏡面對(duì)稱(chēng)

又?.?平面鏡以與水平面成45。角

，小球在鏡子里的像做豎直向下運(yùn)動(dòng)，并且速度不變。

本題選B.

例15.如圖1,A為廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地某一處牧馬,

再到河邊飲馬，然后回到帳篷.請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線.（教材pl37—9）

分析：本題應(yīng)利用軸對(duì)稱(chēng)解決線路最短問(wèn)題.

本題的實(shí)質(zhì)是在MN上確定一點(diǎn)（如C）,在NH上確定一點(diǎn)（如D）,使AC+CD+DB最小.可

利用軸對(duì)稱(chēng)解決問(wèn)題.

作A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，，作B關(guān)于NH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B)連接AB,交MN、NH于C、D

點(diǎn)，則路徑A-CTD-B為所求.

如圖所示.

例16.曉慧同學(xué)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)后，忽然想起來(lái)過(guò)去做過(guò)的一道題：有一組數(shù)排列成方

陣，如圖1所示，試計(jì)算這組數(shù)的和.曉慧想方陣就像正方形，正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，能不能利

用軸對(duì)稱(chēng)的思想來(lái)解決方陣的計(jì)算問(wèn)題呢?曉慧試了試，竟得到了非常巧妙的方法，你也能試試

看嗎？

12345/5<0

23456

34567/々O10

0101010

45678

56789.510101010

圖1?2

分析：本題是利用數(shù)形結(jié)合，利用軸對(duì)稱(chēng)找規(guī)律

解題要點(diǎn)：將對(duì)角線上的5看作是對(duì)稱(chēng)軸，將正方形對(duì)折，對(duì)稱(chēng)位置上的兩個(gè)數(shù)之和都是

10,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

解：方陣中數(shù)的和=10x10+5x5=125.

例17.已知A(-l,2)和B(-3,-1).試在y軸上確定一點(diǎn)P,使其到A、B的距離和最小，

求P點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：本題是利用軸對(duì)稱(chēng)求特殊點(diǎn)的坐標(biāo).

解：A(-l,2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A，(1,2)

35

y=_x+一

...直線AB的解析式是44

5

y=-

令x=o,4

足)

，P點(diǎn)坐標(biāo)為4

第三節(jié)等腰三角形

一、關(guān)鍵概念和原理

概念：等腰三角形，頂角，底角，腰，底邊，等邊三角形

原理：等腰三角形的性質(zhì)、判定；等邊三角形的性質(zhì)、判定；直角三角形的性質(zhì)

二.知識(shí)點(diǎn)

1.等腰三角形的概念、性質(zhì)及判定

定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

對(duì)稱(chēng)性：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是底邊上的高（或底邊上的中線或頂角的平分線）

所在的直線.

性質(zhì)：等腰三角形，底邊上的高，底邊上的中線和頂角的平分線三線合一；等腰三角形中相

等的邊所對(duì)的角也相等.

判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.

2.等邊三角形及其性質(zhì)

定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也稱(chēng)為正三角形.

性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形且有三條對(duì)稱(chēng)軸：

（2）等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。；

（3）等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).

判定：（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形：

（2）有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形中，30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

例18：已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，求這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).

分析：由于等腰三角形的特殊性，當(dāng)題目條件不明確時(shí)，要注意分類(lèi)討論.本題中高的位置

可以在三角形的內(nèi)部，也可在三角形的外部.

解：（一）若高線CD在三角形之外，如左圖，則/BAC=9（r+45o=135。；

（二）若高線CD在三角形之內(nèi)，如右圖，則NBAC=9（T-45o=45。.

例19.（05.江西）如圖所示，一個(gè)頂角為40。的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四

邊形，

則Nl+N2=.

解：由等腰三角形的兩底角相等可知，ZB=ZC=70°

再由四邊形的內(nèi)角和知Nl+N2=220。

例20.己知：如圖，在等腰直角AABC的斜邊上取兩點(diǎn)M、N,使/MCN=45。，設(shè)AM=m,

MN=x,