高考數(shù)學二輪復習 雙曲線學案（含解析）-人教版高三全冊數(shù)學學案

雙曲線問題

考向一：雙曲線的定義與焦點三角形

1、在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點（動點）具備的幾何條件，即“到兩定點（焦

點）的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”.若定義中的“絕

對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支.同時需注意定義的轉化應用.

2、在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||歷I一|期||=2a平方，建立

與I掰I、I必I間的聯(lián)系.

X2V2

1.[2016?全國II,11]已知aK是雙曲線￡：--4=1的左、右焦點，點〃在少上，MR

-ab

與x軸垂直，sin/奶月=],則￡的離心率為（

)

A.A/2B.~C.^3D.2

答案A

解析：解法一：由奶_Lx軸，可得彳一c,勺

,,1}1

\MFx\=—.由sinN仞好;=「，

a3

1

93-

r\MFi\I］

--逑

又tanN圾助=?&磯=荻,2aC-

3

g*/C—ci+6C—a—~~dC—0

e-^e-l=O,e=y/2.

解法二：設|MFi|=m,貝DIMF2I=3m,伊迪|=2施m

2a=|MF2|-IMFJ=2m,2c=伊郎|=2V2m

所以e=2

2、［2014?大綱卷，9］已知雙曲線。的離心率為2,焦點為R,點力在。上.若|丹4

=2|^|,則cos//KR=()

由

11當

--

A.4B.3C.4D.

答案A

解析：由題意得］||而R4|一=2&卬|=2，a,

解得I=2a,\FiA\=4a,

又由已知可得￡=2,所以。=24即|￡川=4小

a

—十|￡川2一4a416a2—16a21

所J.C0S//E6—21^)\FlF2\~2X2aX4a~4

xy

3、［2013?湖南卷，14］設￡,凡是雙曲線C：/一方=l(a>0,力0)的兩個焦點，戶是C

上一點.若|/|+|笈|=6a,且△陽K的最小內角為30°,則C的離心率為.

答案事

解析：不妨設點戶在雙曲線C的右支上，由雙曲線定義知|陽I—1濯1=2a,①

又因為I陽1+1圖l=6a,②

由①②得|4|=4a,|陽|=2a,因為c〉a,

所以在△陽K中，N陽用為最小內角，

因此/陽用=30°,在4/7的中，由余弦定理可知，|%「=|/」+|FK「一

2\PR\?|W|?cos30°,BP4a^l6a+4c~8y［3ac.

所以c,—2(^ac+3a2=0,兩邊同除以a?得，e—2，^6+3=0.解得6=^^.

jr與國a或nW圓一a9R,、W畫一a或y

范圍

R回a

對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點

A][05]（0?—a）,

頂點A1（-a,0）9T4.2（a,0）

A2畫（O,a）

性F｝而（0,—c）9

焦點（lc.0）.F（r.。）

F2國（O,C）

質h

漸近線y=士--n、=畫土卡JC

a

離心率e=⑩'回（1,+8）,其中=a2~\~b2

ac

實虛軸實軸：IA1A21=圜紅；虛軸：IB1B21=B3］26

a",C的關系c2=回笳+、（c>a>0,<->6>0）

YV

1、［2016?全國I,5］已知方程=一—在一=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距

離為4,則〃的取值范圍是()

A.(-1,3)B.(-1,pC.(0,3)D.(0,/)

答案A

解析,??原方程表示雙曲線，且焦距為4,

/n+??>0,

；?<37Z72—77>0,①

d+77+3^—77=4,

m+77<0,

或<3著一水0,②

、一3m~n—m~\-n=4,

由①得以2=1,4￡(—1,3).②無解

2

2、［2014?北京卷，11］設雙曲線C經過點(2,2),且與x?=l具有相同漸近線，則C的

方程為；漸近線方程為

答案y—j^=l；y=±2x

解析根據(jù)題意，可設雙曲線人將2）代入雙曲線。的方程得A=-3,

22

...C的方程為a一三=1.漸近線方程為尸±2x.

2222

與雙曲線Fr一方v=1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為xF—V￡=A（2^0）.

abab

考向三：與漸近線有關的雙曲線問題

22

1、【2019全國I卷理16】已知雙曲線G=—[=1（?！?]〉0）的左、右焦點分別為

a~b"

A,%過月的直線與C的兩條漸近線分別交于48兩點.若耳A=耳

則。的離心率為.

【答案】2

分析：解答本題時，通過向量關系得到耳A=A3和。4,從而可

以得到ZAOB=NAO耳，再結合雙曲線的漸近線可得NBOF]=ZAOF,，進而得到

NBOF,=ZAOF}=/BOA=60,從而由？=tan60°=73可求離心率.

a

解析：如圖，由片Z=得耳A=AR又。片=。鳥，得以是三角形

￡的中位線，即BF2//OA,BF2=2OA.

由片5月月=0,得片3，￡民..；.。3=。耳，ZAOB=ZAOFl,

又力與必都是漸近線，得/3?，?NA。耳，

又ZBOF2+ZAOB+ZAO^=兀，；.NBOF?=NAO《=ZBOA=60,

又漸近線出的斜率為2=tan60°=6，.?.該雙曲線的離心率為

a

下）2=2.

aa

解法2：如圖，由耳4=43,得耳4=川3.又0片=0鳥，

得總是三角形耳心3的中位線，即3月〃。4,58=2OA

由耳8書月=0,得片3，F(xiàn)2B,:.OAl^A,：.OB=OR,

取B(x[x),x2+^x2=c2,x=a,所以B(a,b)

因為F]A=b,所以0A=a,BFj=2b,BF2=2a

S4BFF2-12ax2b=：2cxb,所以e=2

22

2、【2019年高考全國III卷理數(shù)】雙曲線a---匕=1的右焦點為

42

F,點戶在C的一條漸近線上，。為坐標原點，若|PO|=|P同，則△刃的面積為

A.逑B.走C.2叵D.372

42

【答案】A

【解析】由a=2,Z?=,c=J/+「2=,|P(?|=\PF\,/.xp=，

又〃在。的一條漸近線上，不妨設為在》=2%上，則％

aPa222

SAPFO=^\OF\'\yp\=^x^x^=~^~

3、[2018?全國I,11]已知雙曲線G--y=l,。為坐標原點，尸為。的右焦點，過尸

O

的直線與，的兩條漸近線的交點分別為〃，“若△6W為直角三角形，貝H削=()

A.|B.3C.2-73D.4

答案B

解析：由題意分析知，/FON=30；

所以/地―60°,又因為△0W是直角三角形，不妨取N7W=90°,則NW30°,

干是FN=OF=2,FM^OF=\,所以|削=3.

__X2V2

4、［2018?全國III,11］設A,K是雙曲線a萬=l（a>0,楊0的左、右焦點,0是坐標

原點.過邑作C的一條漸近線的垂線,垂足為^若|4|={^如，則。的離心率為（）

A.小B.2C.A/3D.72

答案C

解析一：由題可知|必|=6,磯=c,二|戶O|=a.

?“q\PF\b

在Rt中，cosN/Y^O=icc211=一，

IOF2\C

??,在△分;用中，

,斤+41—乖a,b2_2

>?2cb7?2cc—=c—3a

解析二：由題可知|必|=b,|明|=c,|PO\=a.

過石作漸近線的垂線，垂足為Q.

因為P、Q關于原點對稱，|你|=6,|。。|=&|%=2a

在Rt△產奶中，|QF$+|PQ|2=|PFJ2

b2+4a2=6a2,則b2=2a2,c2=3a2

e=y13.

x2V2

5、［2017?全國I,15］已知雙曲線C：--T2=l（a>0,力0）的右頂點為4以/為圓心，b

一ab

為半徑作圓4圓/與雙曲線C的一條漸近線交于弘N兩點.若NMW=60°,則C的離心

率為.

答案平

解析：如圖，由題意知點/（a,0）,雙曲線的一條漸近線/的方程

為y—~x,即bx—ay=0,

a

ab

...點/到，的距離

又/JW=60°，MA=NA=b,△揚及為等邊三角形,

\[3\[3anabA/322

d=\-MA—~-b,即I?弓=丹~6,??才=38,

22N才+92

c\a-\~lj2A/3

「?e=-=A/---~=^~-

a\l3,3

考向四：雙曲線的離心率問題

1、［2015?全國H,11］已知48為雙曲線￡的左、右頂點,點〃在￡上，△/砌為等腰三

角形，且頂角為120。，則￡的離心率為（）

_Lx軸于，則N仞陽=60°，BH=a,MH=/a,所以〃（2a,小a）.將點〃的坐標代入雙曲

22

XV

線方程R=L得a=6,所以e=4.

ab

2、【2019年高考全國II卷理數(shù)】設廠為雙曲線C：5_3=1（。〉0］〉0）

ab

的右焦點，。為坐標原點，以。尸為直徑的圓與圓爐+產=/交于RQ

兩點.若|尸0=|。同，則c的離心率為

A.72B.V3C.2D.75

【答案】A

解析：設尸。與X軸交于點A，由對稱性可知PQ_Lx軸,

又?「|尸。|引。為=c,PA|=］二PA為以OF為直徑的圓的半徑,

：.\OA\=^,：.P

2222

又尸點在圓好+/=。2上，..二+J=/,即J=q22=二=2.

442a2

:.e=6，故選A-

考向五：與其他知識交匯的雙曲線問題

_XV

1、［2017?全國II,9］若雙曲線aW=l（a>0,6>0）的一條漸近線被圓（X—2）2+/=4

所截得的弦長為2,則。的離心率為（）

A.2B.小C.巾D.平

答案A

解析：設雙曲線的一條漸近線方程為

a

圓的圓心為（2,0）,半徑為2,

由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為限一=/.

根據(jù)點到直線的距離公式得」當」=娟，

7a+b

解得方=3次

所以。的離心率e=?=

2、［2。13?天津卷'5］己知雙曲線十方=1（a>。，垃。）的兩條漸近線與拋物線/=2分（加0）

的準線分別交于46兩點，。為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△/如的面積為《，則

P=()

3

A.1B.-C.2D.3

答案c

解析：由已知得雙曲線離心率e=￡=2,