高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 1.2 極限的概念

數(shù)列的極限

函數(shù)的極限§1-2

極限的概念內(nèi)容提要

極限的性質(zhì)一、數(shù)列的極限引例1【莊子名言】我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期哲學(xué)著作《莊子》中有這樣的記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。這句話的意思是：有一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取他的一半，永遠(yuǎn)截不完．它可以用數(shù)列表示為每天木棍的長(zhǎng)度是一個(gè)變量，隨著天數(shù)n的增大，木棍的長(zhǎng)度越來越短，天數(shù)n無限增大時(shí)（記為），木棍的長(zhǎng)度會(huì)無限趨近于常數(shù)0。引例2【割圓術(shù)】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，成功地推算出圓周率和圓的面積。先作圓內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1；再作圓內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；循此下去，圓內(nèi)接正邊形的面積記為An

，于是得到一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積從幾何直觀上不難看出，隨著n

的增大，對(duì)應(yīng)的圓內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積A越來越接近（即），當(dāng)n無限增大時(shí)（記為），圓內(nèi)接正邊形的面積An就會(huì)無限地接近圓的面積A。這種思想就是劉徽提出的割圓術(shù)——割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。定義1對(duì)于數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)（記為），數(shù)列的項(xiàng)xn

無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么稱A

是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作例如，在引例1中，引例2中。如果數(shù)列不趨近于任何確定的常數(shù)，即數(shù)列沒有極限，則稱數(shù)列

發(fā)散。解例1某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的投資額是3萬元，每年的折舊費(fèi)為該設(shè)備賬面價(jià)格（即以前各年的折舊費(fèi)用提取后余下的價(jià)格）的，那么這一設(shè)備的賬面價(jià)格（單位：萬元）逐年用數(shù)列表示為隨著年份n無限增大，賬面價(jià)格無限接近于0，即解例2判斷下列無窮數(shù)列的極限：（1）（2）（3）（1）通過觀察，當(dāng)n

無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)無限趨近于常數(shù)1，所以1是數(shù)列的極限，即（2）通過觀察，當(dāng)

n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)xn

總等于3，所以3是數(shù)列{3}的極限，即（3）數(shù)列按項(xiàng)數(shù)展開應(yīng)該是顯然，當(dāng)

n無限增大時(shí)，xn擺動(dòng)于1，0，-1三個(gè)數(shù)之間，并不趨于某個(gè)確定的常數(shù)，所以數(shù)列沒有極限。1．時(shí)函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)無限增大時(shí)（記為），函數(shù)值無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作定義2中是指x

的絕對(duì)值無限增大，它既可以沿正方向無限增大（），也可以沿負(fù)方向無限增大（），相應(yīng)的函數(shù)值都會(huì)無限地趨近于常數(shù)A。如圖1-3所示，，既有也有。圖1-3但有時(shí)x

的變化趨向只沿其中一種方向（或）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值也無限地趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)或時(shí)的極限。記作或，也可記作或。例如，，而，所以，不存在，如圖1-4所示。圖1-4解例4利用圖形說明下列極限是否存在，若存在，則求出極限（1）（2）圖1-5圖1-6解（1）由圖1-5可知?jiǎng)t（2）由圖1-6可知而所以，不存在。解2．時(shí)函數(shù)的極限引例1【影子長(zhǎng)度】某人晚上沿直線走向路燈正下方的一點(diǎn)．由常識(shí)知道，此人越靠近目標(biāo)，其影子長(zhǎng)度越短，當(dāng)人越來越接近目標(biāo)（）時(shí)，其影子長(zhǎng)度趨于0（）。設(shè)燈高為H，人高為h，人與燈正下方一點(diǎn)的距離為x，人影的長(zhǎng)度為y。如圖1-7所示，當(dāng)人向燈下不斷地移動(dòng)時(shí)，即，人影的長(zhǎng)度y趨于0，且有，由此解得人影的長(zhǎng)度y

是x

的函數(shù)：，其中是常數(shù)。圖1-7當(dāng)x

越來越趨近于0時(shí)，函數(shù)值y

也越來越趨近于0，即

，也會(huì)是當(dāng)人逐漸走向燈的正下方時(shí)，人影的長(zhǎng)度逐漸為0。1．時(shí)函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限定義6設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)附近有定義（），對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或。定義3中是指x

趨于x0

的方式是任意的，它包含兩種情況：。如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)的極限存在，則稱為函數(shù)的左極限（右極限），記作或（）。左極限和右極限反映了自變量從x0

一側(cè)變化時(shí)函數(shù)的極限，稱為單側(cè)極限。解例4函數(shù)在時(shí)的極限存在嗎？為什么？

不存在。因?yàn)槎?，所以不存在。解?考察函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。由圖1-8可知因?yàn)?，所以不存在。圖1-8三、極限的性質(zhì)定義4稱實(shí)數(shù)集為點(diǎn)a的鄰域，記作，a稱為鄰域的中心，δ

稱為鄰域的半徑。數(shù)集稱為點(diǎn)a的去心δ

鄰域，記作。性質(zhì)1（唯一性）若，則極限A唯一。性質(zhì)2（局部有界性）若，則存在常數(shù)及

，當(dāng)