高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第一章 第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件突破熱點(diǎn)題型 文

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考點(diǎn)一四種命題的關(guān)系[例1](1)命題“若x＞1，則x＞0”的否命題是()A．若x＞1，則x≤0B．若x≤1，則x＞0C．若x≤1，則x≤0D．若x＜1，則x＜0(2)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)[自主解答](1)因?yàn)椤皒＞1”的否定為“x≤1”，“x＞0”的否定為“x≤0”，所以命題“若x＞1，則x＞0”的否命題為：“若x≤1，則x≤0”．(2)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”．[答案](1)C(2)C【互動(dòng)探究】試寫出本例(2)中命題的逆命題和否命題，并判斷其真假性．解：逆命題：若x＋y是偶數(shù)，則x，y都是偶數(shù)．是假命題．否命題：若x，y不都是偶數(shù)，則x＋y不是偶數(shù)．是假命題．【方法規(guī)律】判斷四種命題間關(guān)系的方法(1)由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題．(2)原命題和逆否命題、逆命題和否命題有相同的真假性，解題時(shí)注意靈活應(yīng)用．1．命題p：“若a≥b，則a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命題是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，則a≤b解析：選C“且”的否定是“或”，根據(jù)逆否命題的定義知，逆否命題為“若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜b”．2．(·湖州模擬)下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題B．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題解析：選AA中逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”是真命題；B中否命題為“若x≤1，則x2≤1”是假命題；C中否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”是假命題；D中原命題是假命題，從而其逆否命題也為假命題.考點(diǎn)二命題的真假判斷[例2](1)下列命題是真命題的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x＜y，則x2＜y2(2)(·濟(jì)南模擬)在空間中，給出下列四個(gè)命題：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；②若平面外兩點(diǎn)到平面的距離相等，則過(guò)這兩點(diǎn)的直線必平行于該平面；③兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影必為相交直線；④兩個(gè)相互垂直的平面，一個(gè)平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．其中正確的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[自主解答](1)取x＝－1排除B；取x＝y(tǒng)＝－1排除C；取x＝－2，y＝－1排除D，故選A.(2)對(duì)于①，由線面垂直的判定可知①正確；對(duì)于②，若點(diǎn)在平面的兩側(cè)，則過(guò)這兩點(diǎn)的直線可能與該平面相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影可以為一條直線，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，兩個(gè)相互垂直的平面，一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條與交線垂直的直線，故④正確．綜上可知，選D.[答案](1)A(2)D【方法規(guī)律】命題的真假判斷方法(1)給出一個(gè)命題，要判斷它是真命題，需經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理證明；而要說(shuō)明它是假命題，只需舉一反例即可．(2)由于原命題與其逆否命題為等價(jià)命題，有時(shí)可以利用這種等價(jià)性間接地證明命題的真假．給出下列命題：①函數(shù)y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函數(shù)；②已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列；③若函數(shù)f(x)的定義域是R，且滿足f(x)＋f(x＋2)＝3，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；④過(guò)兩條異面直線外一點(diǎn)能作且只能作出一條直線和這兩條異面直線同時(shí)相交．其中所有正確的命題有________(填正確命題的序號(hào))．解析：①當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝sin(x＋kπ)就是偶函數(shù)，故①錯(cuò)；②當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝0，則an的各項(xiàng)都為零，不是等比數(shù)列，故②錯(cuò)；③由f(x)＋f(x＋2)＝3，則f(x＋2)＋f(x＋4)＝3，相減得f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，③正確；④過(guò)兩條異面直線外一點(diǎn)，有時(shí)沒有一條直線能與兩條異面直線都相交，故④錯(cuò)．綜上所述，正確的命題只有③.答案：③高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三充要條件1．充分條件、必要條件是每年高考的必考內(nèi)容，多以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于容易題．2．高考對(duì)充要條件的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件；(3)與命題的真假性相交匯命題．[例3](1)(·福建高考)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(·四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|(3)給出下列命題：①“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；②“a＝2”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件；③“m＝3”是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要條件；④設(shè)a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，則“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分條件．其中真命題的序號(hào)是________．[自主解答](1)若x＝2且y＝－1，則x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有無(wú)數(shù)組解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1，故選A.(2)eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分別是與a，b同方向的單位向量，由eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，得a與b的方向相同．而a∥b時(shí)，a與b的方向還可能相反．故選C.(3)對(duì)于①，當(dāng)數(shù)列{an}為等比數(shù)列時(shí)，易知數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{an}未必是等比數(shù)列，如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列，而相應(yīng)的數(shù)列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列，因此①正確；對(duì)于②，當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，因此②不正確；對(duì)于③，當(dāng)m＝3時(shí)，相應(yīng)的兩條直線互相垂直，反之，這兩條直線垂直時(shí)，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正確；對(duì)于④，由題意得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(3)，若B＝60°，則sinA＝eq\f(1,2)，注意到b＞a，故A＝30°，反之，當(dāng)A＝30°時(shí)，有sinB＝eq\f(\r(3),2)，由于b＞a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正確．綜上所述，真命題的序號(hào)是①④.[答案](1)A(2)C(3)①④充要條件問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系．解決此類問(wèn)題應(yīng)分三步：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，從結(jié)論推條件；③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系．(2)探究某結(jié)論成立的充要、充分、必要條件．解答此類題目，可先從結(jié)論出發(fā)，求出使結(jié)論成立的必要條件，然后再驗(yàn)證得到的必要條件是否滿足充分性．(3)充要條件與命題真假性的交匯問(wèn)題．依據(jù)命題所述的充分必要性，判斷是否成立即可．1．(·西安模擬)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A若[x]＝[y]，則|x－y|＜1；反之，若|x－y|＜1，如取x＝1.1，y＝0.9，則[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的充分不必要條件．2．已知p：eq\f(1,x－1)<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，－1]B．[－2，－1]C．[－3,1]D．[－2，＋∞)解析：選A不等式eq\f(1,x－1)<1等價(jià)于eq\f(1,x－1)－1<0，即eq\f(x－2,x－1)>0，解得x>2或x<1，所以p為(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化為(x－1)(x＋a)>0，當(dāng)－a≤1時(shí)，解得x>1或x<－a，即q為(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此時(shí)a＝－1；當(dāng)－a>1時(shí)，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此時(shí)－a<2，即－2<a<－1.綜上可知a的取值范圍為(－2，－1]．3．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0的根為x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因?yàn)閤是整數(shù)，即2±eq\r(4－n)為整數(shù)，所以eq\r(4－n)為整數(shù)，且n≤4，又因?yàn)閚∈N*，取n＝1,2,3,4，驗(yàn)證可知n＝3,4符合題意，所以n＝3,4時(shí)可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根．答案：3或4——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)區(qū)別——“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是