高考數(shù)二輪專題突破 （預(yù)測演練+提能訓(xùn)練）第1部分 專題五 第2講 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)（選擇、填空題型）（以真題和模擬題為例） 理

《創(chuàng)新方案》屆高考數(shù)學(xué)（理科）二輪專題突破預(yù)測演練提能訓(xùn)練（浙江專版）：第1部分專題五第2講圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)（選擇、填空題型）（以年真題和模擬題為例，含答案解析）一、選擇題1．(·北京高考)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A.y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC.y＝±eq\f(1,2)x D.y＝±eq\f(\r(2),2)x解析：選B在雙曲線中離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故所求的雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\r(2)x.2．(·江西高考)已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶3解析：選C過點M作MM′垂直于拋物線C的準(zhǔn)線y＝－1于點M′，則由拋物線的定義知|MM′|＝|FM|，所以eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝sin∠MNM′，而∠MNM′為直線FA的傾斜角α的補(bǔ)角．因為直線FA過點A(2,0)，F(xiàn)(0,1)，所以kFA＝－eq\f(1,2)＝tanα，所以sinα＝eq\f(1,\r(5))，所以sin∠MNM′＝eq\f(1,\r(5)).故|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).3．(·福建高考)雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)解析：選C雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(x,2)，即x±2y＝0，所以雙曲線的頂點(±2,0)到其漸近線距離為eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).4．(·四川高考)從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選C由已知，點P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－eq\f(b,a)＝－eq\f(b2,ac)，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即該橢圓的離心率是eq\f(\r(2),2).5．已知雙曲線eq\f(y2,2)－eq\f(x2,3)＝1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，則滿足△PF1F2的周長為6＋2eq\r(5)的動點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(x≠0)解析：選C依題意得，|F1F2|＝2eq\r(2＋3)＝2eq\r(5)，|PF1|＋|PF2|＝6>|F1F2|，因此滿足△PF1F2的周長為6＋2eq\r(5)的動點P的軌跡是以點F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長是6的橢圓(除去長軸的端點)，即動點P的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠0)．6．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為()A.eq\f(\r(3)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),4) D.eq\f(\r(3)＋1,4)解析：選B由題意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，又因為e>0，故所求的橢圓的離心率為eq\f(\r(5)－1,2).7．已知傾斜角為60°的直線l通過拋物線x2＝4y的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，則弦AB的長為()A．4 B．6 C．10 D．16解析：選D設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意得焦點F(0,1)，準(zhǔn)線方程是y＝－1，直線l：y＝eq\r(3)x＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1，,x2＝4y))得y2－14y＋1＝0，所以y1＋y2＝14，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.8．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點在拋物線C：y2＝24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1解析：選B拋物線y2＝24x的準(zhǔn)線方程為x＝－6，所以雙曲線的焦距2c＝12.根據(jù)雙曲線的漸近線方程得b＝eq\r(3)a，代入c2＝a2＋b2，解得a2＝9，所以b2＝27，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.9．(·鄭州模擬)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2) C．1 D．2解析：選D由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，設(shè)弦AB的中點為M，過點M作MM1⊥l交l于點M1，則|MM1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2).因為|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2.10．(·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3) C．24 D．48解析：選C由已知|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，代入到|PF1|－|PF2|＝2中得|PF2|＝6，故|PF1|＝8.又雙曲線的焦距|F1F2|＝10，所以△PF1F2為直角三角形，所求的面積為eq\f(1,2)×8×6＝24.二、填空題11．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(eq\r(5)，0)，則a＝________，b＝________.解析：雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1的漸近線為y＝±2x，則eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，又因為c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.答案：1212．(·哈爾濱四校統(tǒng)考)已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0.在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________．解析：由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．點P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值為3eq\r(2)－1.答案：3eq\r(2)－113．(·遼寧高考)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．解析：由題意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，兩式相加，利用雙曲線的定義得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周長為|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.答案：4414．(·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)點A1，A2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，若在橢圓上存在異于點A1，A2的點P，使得PO⊥PA2，其中O為坐標(biāo)原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．解析：由題設(shè)知∠OPA2＝90°，設(shè)P(x，y)(x＞0)，以O(shè)A2為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\f(a2,4)，與橢圓方程聯(lián)立，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2)))·x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一實根a，且由題設(shè)知，此方程在區(qū)間(0，a)上還有一實根，由此得0＜eq\f(b2,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2))))＜a，化簡得0＜eq\f(a2－c2,c2)＜1，即0＜eq\f(1－e2,e2)＜1，得eq\f(1,2)<e2<1，所以e的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))15．已知P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，雙曲線的離心率是eq\f(5,4)，且·＝0，若△PF1F2的面積為9，則a＋b的值為________．解析：由·＝0得⊥，設(shè)||＝m，||＝n，不妨設(shè)m>n，則m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝9，又eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝5，))∴b＝3，a＋b＝7.答案：716．(·湖北八校聯(lián)考)已知點A，D分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點和上頂點，點P是線段AD上的任意一點，點F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，且·的最大值是1，最小值是－eq\f(11,5)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)點P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則